Analisi matematica: limiti ed esercizi svolti
Grafico della funzione logaritmica
Per A e B, ricordiamo il grafico della funzione logaritmica:
lim log x-1 log 1 -1 log 0 ∞ 1 1 1 x→ 1 A) errato 2 2 2
lim log 3 log ∞ ∞→ B) corretto lim tan ∞ ∞→ C) corretto lim 0# #!" $→ %D) 2022
A)&'( 2 4) += − = +∞"→ −4 02 2 2 2 &'( ) + ≅ &'( ) + = &'( ) + = =0−4 −∞"→ "→ "→
B) soddisfa le condizioni richieste 2 −1 −5 &'( ) += = −∞+2 0"→ 2 −1 2 &'( ) + ≅ &'( ) + = 2+2"→ "→
C) 2 − 10 −2 &'( /= = +∞. −4 0"→ 2 − 10 2 &'( ≅ &'( /=2. / .−4"→ "→
D) −2 4 &'( ) += =1− +2 4"→ −2 −2 &'( ) + ≅ &'( ) + = &'( 2 = 2− +2 −"→ "→ "→
Limiti e forme indeterminate
20222022 20222022 20222022 20222022 20222022 20222022 20222022 cos 1 1 1 0 sin 0 0 &'("→0
Il limite si presenta in forma indeterminata. Utilizziamo due limiti notevoli: cos 1 1 cos 1.
Dividiamo numeratore e denominatore per 1 cos 1 12 &'( &'( &'( sin sin sin 1 2 "→ 0 "→ 0 "→ 0 # # &'( 1 4 1 0 1 " 0"→0 &'( 56 7 8 ""→4
Troviamo tre forme indeterminate: ∞ ; 0 ; 10 0 : Usiamo il limite notevole: # &'( 1 ; 4 ""→0 # &'( 1 4 < ""→0
Limiti notevoli
2022 tan 2 0 sin 0 &'("→0 tan 2 tan Dividiamo numeratore e denominatore per x: 2 &'( &'( sin sin "→0 "→0 tan sin &'( &'( 1 "→0 "→0
1 2 3 &'( 31 1 0 "→0 "10 &'( ) + 1 "→
Riconduciamo al limite notevole: " " "10 10 10 &'( ) + &'( ) + &'( ) 1 + "→ "→ "→ poniamo: → 10 > #0 # " = e sostituiamo #0=1 1 1 ??= = &'( )1 + &'( )1 + &'( @)1 + A ?> > >=→ =→
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