Calcolo dei limiti, forme indeterminate senza teorema di De L'Hospital

2022Per A e B, ricordiamo il grafico della funzione logaritmica:lim log x-1 log 1 -1 log 0 ∞1 1 1x→1A) errato2 2 2lim log 3 log ∞ ∞→B) correttolim tan ∞ ∞→C) correttolim 0# #!" $→ %D) 2022A)&'( 2 4) += − = +∞"→ −4 02 2 2 2&'( ) + ≅ &'( ) + = &'( ) + = =0−4 −∞"→ "→B) soddisfa le condizioni richieste 2 −1 −5&'( ) += = −∞+2 0"→ 2 −1 2&'( ) + ≅ &'( ) + = 2+2"→ "→C) 2 − 10 −2&'( /= = +∞. −4 0"→ 2 − 10 2&'( ≅ &'( /=2. / .−4"→ "→D) −2 4&'( ) += =1− +2 4"→ −2 −2&'( ) + ≅ &'( ) + = &'( 2 = 2− +2 −"→ "→ "→

20222022202220222022202220222022cos 1 1 1 0sin 0 0&'("→0

Il limite si presenta in forma indeterminata. Utilizziamo due limiti notevoli:

cos 1 1 cos 1Dividiamo numeratore e denominatore per 1cos 1 12&'( &'( &'(sin sinsin 1 2"→0 "→0 "→0# #&'( 1 4 1 0 1" 0"→0 &'( 56 7 8 ""→4

Troviamo tre forme indeterminate: ∞ ; 0 ; 10 0 :Usiamo il limite notevole: #&'( 1 ; 4""→0 #&'( 1 4 <""→0 2022tan 2 0sin 0&'("→0tan 2 tanDividiamo numeratore e denominatore per x: 2&'( &'( sinsin"→0 "→0tan sin&'( &'( 1"→0 "→0 1 2 3&'( 31 1 0"→0 "10&'( ) + 1"→Riconduciamo al limite notevole:" " "10 10 10&'( ) + &'( ) + &'( )1 +"→ "→

<p>→poniamo:→ 10>#0 #" = e sostituiamo #0=1 1 1 ??= =&'( )1 + &'( )1 + &'( @)1 + A ?> > >=→ =→ =→D DTutte le funzioni dell’argomento del logaritmo sono definite nello zero:cos 2 sincos 2 sin 0 2⋅12 2&'( log ) + log C E log ) + log 2 1Dcot 1 0 1cot 1B 2"→ 2022ln 1 &G1 0sin sin 0 0&'("→0dividiamo numeratore e denominatore per x:ln 1&'( sin"→0 sin&'( 1"→0 ln 1&'("→0 2 ⋅ ln 1&'("→0 ln 12 ⋅ &'( 2⋅1 2"→0 ln 6 5 1 0&'( 0"→0scomponiamo l’argomento del logaritmo:6 5 1 6 2 3 1 2 1 3 1per le proprietà dei logaritmi si ha: ln I ⋅ J ln I ln Jln 6 5 1 ln 2 1 3 1 &G 2 1 ln 3 1ln 6 5 1 &G 2 1 ln 3 1&'( lim lim→0 →0"→0operiamo un cambio di variabile:nel primo, poniamo :2 >→ = e sostituiamo:

&G > 1lim 2 2>K→0 nel secondo, poniamo: 3 >→ =! e sostituiamo: &G > 1lim 3 3>K→0

Il limite è la somma dei limiti: