Calcolo dei limiti base

R

+ - , raccogliamo il fattor comune x

-d ·

a +...

9

-

(aox" X-" In dot

an)

lim lim

a +...

+ +

=

, X

+

x D

X -

+ N

>

- x"

lim doxh

(dox" lim

anl

- a +... =

- ,

O

valgono X x L

I

1 +

- D

-

esempio D -1

: +

m-

im(x-3x +=

↓

2) limite du una funzione irrazionale

esempio : 1)

lim x

(x F I 0

+

=

+ d

- -

.

+ funzione (a

e

3 per sparire

+ X+

D la far b) (a

il

· per b)

x

: +

>

- +1 =

- -

-O

x

X x2 (x2

+1 1)

- +

-

1)

X (x

x =

+ f(x)

> lim

1

+ 0

= =

x .

- +

- =

x

x x

+ + 1 + x X 3 D

- +

1

+

+

A

Forma Co

indeterminata

- raccolgo x^n con n più grande sia al numeratore che al denominatore

esempio 1 : -E

( E5)

E

+ +

-

x5 2x2 1

+

-

lim =

3x

x - 6

+ 2x 4)

E

+ 4)

E

x

- ( (3

+

- +

-

esempio 2 : 3

2x2

1 - E

lim Craccolgox) = -

1 103x2 2x

x 5

+ -

-

esempio 3 : 1

2x - ex

lim Craccolgo denominatore)

numeratore 0

al

al

x =

x 0x3

- 2x

- +

Limite di una funzione razionale fratta per x—> :

S

- sen > m

anX"

dox" an

+ + ...

lim sen m

=

xm

Doxm + bm

b +

x +...

c 0 +

- , 8 senm

⑧

Forma O

indeterminata utilizzare

può

Questa si

tecnica

4

1)

x2 3)(x

(x +

2x 3 -

- - 8 polinomi

il

cui

in di

goziente

ims due

nel

↓ caso

fattori

in

= scompongo

= =

= 3

2x (x 3)(2x

gx g 3)

+ si

g(x) annullano per

f(x)

- X

- e - x

00 000

Forme 18

, ,

indeterminate im fixen

si di

incontrano

· nei limite

calcoli : fixico

con

esempio : pinxinx

in ein

xix +

lim x go

= = e

=

-

=

x +

> 0

-

Funzioni

continue f(Xo)

f(x)

lim

Una funzione f(x), definita in un intorno di un punto X , è continua in X se: =

0 0 X-Xo

La funzione è continua in X0 se:

è Cioè esiste f(Xo)

definita Xo

in

· , f(x)

lim

finito

esiste

· x X0

- e f(xol

limite

Il del a

valore uguale

· infatti

può limf(xo h)

funz

di

La f(X0)

Cont

def seh-10 sina

come

essere anche Xoth

posto

espressa + X

=

· : = ,

. .

. n >0

-

f(Xo)

lim

X-310 f(x)

Che 1 =

= X 3x0

-

FUNZIONE CONTINUA A DX E SX: lim f(x)

f(x)

• f(x) è continua a destra in Xo, se f(Xo) coincide con il limite destro di f(x) per x che tende a Xo: =

xot

X - f(x)

lim f(X0)

=

• f(x) è continua a sinistra in Xo, se f(Xo) coincide con il limite sinistro di f(x) per x che tende a Xo: Xp

X - -

Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo

CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA:

è di

nell'insieme

è

f"

Diettiva inversa

Sey continua immagini f

continua

D allora funz

funz in

e

f(x) la

una

· = ,

. .

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE:

Data la funzione y = f(x) definita nell’intervalli I, chiamiamo:

1. Massimo assoluto di f(x), se esiste, il massimo M dei valori assunti dalla funzione I

2. Minimo assoluto di f(x), se esiste, il minimo m dei valori assunti dalla funzione I

⑪

Controesempi 1: Questo accade se alcune ipotesi del

teorema non sono verificate

②

③

Controesempi 3:

③

PUNTI DI

DISCONTINUITÀ Questa definizione presuppone che per avere la

è

funzione lim

CONTINUA f(Xo)

f(x)

una se

· = continuità in un punto siano verificate 3 condizioni:

X X0

>

- 1. Il punto in questione deve appartenere al dominio della funzione, deve esistere f(Xo)

2. Esiste il limite che tende a Xo della funzione

3. Il risultato del limite deve essere il valore che la funzione assume nel punto

Se non è verificata abbiamo PDD

Una funzione si dice discontinua in Xo se:

• Xo è un punto di accumulazione (buchi del dominio, che di solito togliamo perché li la funzione non è definita ma esiste ovunque li

intorno) del dominio che non appartiene al dominio PACC

• Xo è un punto del dominio in cui: es

7 mai

7)

lim da f(x)

f(x) =

0 .

.

= ; ;

X Xo

>

- ~ è

= che

0 funz

P la

A X

un

y . .

- definita in

non (si

O

e definita

, è

annullerebbe) ma

O ja

... Subito ovunque

prima e dopo

Lin Qualunque INTORNO

!

PUNTI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE: ax

SX

è limf(x) esistono

specie

10 limf(x) finiti

Xo P sono

D e

un se

D ma emai

. . - xot

>46

x X >

- -

21)

lim (l2

l 12

#limf(x)

f(x) Salto

=

=

= -

,

X X

> X0 +

- Xg

>

- - To

PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE:

è 2o lim

specie f(x)

Xo PDD se per ,

3xj7

X - of

è

(axox)

dei D

lim

uno 2

Fanno parte tutti gli asint Verticali

· .

PUNTI DISCONTINUINO TERZA SPECIE:

è 30 quando

specie

PDD f(x)

di

↓ di :

o è lim l

finito

7 il

ea f(x)

1) =

>X0

X -

f NON l

+

è f(x)

in

definita

2) oppure

to ,

Anche detta discontinuità ELIMINABILE!

ASINT

OTI

Una retta è un asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico

punto del grafico da tale retta tende a zero quando l’ascissa o l’ordinata del F

punto tendono a infinito ascissa

ASINTOTI VERTICALI:

estremi

lim agli

Devo del

i

calcolare dom

lim f(x)

ReHa

Ea X0

x 0

+ d

: -o

=

= :

. ,

+

X- Xo

)

↳ limf(x) finito

se n

=

x 11957

=

x +

ASINTOTI ORIZZONTALI: l

Reha l selimf(x) laS

Ea lim f(x)

y

: =

= >

= 0 -

. 10

>

X -

X I

-

Una funzione può avere

contemporaneamente un asintoto orizzontale

destro e uno sinistro se:

lim le

f(x) l2 12

f(x) lim

1 +

& =

= 1

X X

2

3+ D

>

- dominio

-

- lim estremi

i del

determinarli agli

Per calcolo