Calcolo dei limiti forme indeterminate e limiti notevoli

2 2 0

ln(2)

(2x) (2

lim = ⋅ 0) = 0

−∞

+

x→0

Forma indeterminata

Utilizziamo l’identità: () ()⋅ln ()

=

[() ]

2

2 ⋅ln(2x) 2

ln(2x)

ln(2)

(2x)

lim = lim e = e

+ +

x→0 x→0

1

− 0

2 )

ln(

lim x = 0

+

x→0 1 1

( ) ( ) 0

(x

lim + 1) = +∞ = ∞

ln x −∞

x→+∞ 1

1 ( )

( ) ln(x+1) ln x

(x

lim + 1) = lim e

ln x

x→+∞ x→+∞

1

( )ln(x+1)

→= lim e ln x

x→+∞ 1

( )ln(x+1)

→= lim e ln x

x→+∞

risolviamo il limite dell’esponente: 1

1

( )ln(x+1) 1

= lim e = e = e

ln x

x→+∞ 1 1

( ) 0

lim x = +∞ = ∞

1+ln x −∞

x→+∞ 1

( )

lim x =

1+ln x

x→+∞ 1

( )

ln x 1+ln x

→= lim e

x→+∞ 1 x⋅ln

→= lim e 1+ln

x→+∞

risolviamo il limite dell’esponente:

lim =

1 + ln x

x→+∞ + 1 − 1

= lim 1 + ln x

x→+∞ + 1 1 1

= lim − lim =1− =1+0=0

1 + ln x 1 + ln x −∞

x→+∞ x→+∞

quindi: 1 x⋅ln 1

lim e = e = e

1+ln

x→+∞ 8 + 2 −∞ ∞

lim = =

−∞ − ∞ ∞

2

→−∞ − √ − 3 2

∞

∞

= ( ) . .

∞

Utilizziamo sempre l’identità: () ()⋅ln ()

=

[() ] −1 +∞

+ 1 1 +

lim ( ) = ( ) = 0

2 − 3 2

→+∞

Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. 1

(1 + )

+1 1

lim ( ) = lim =

3

2 − 3 2

→+∞ →+∞ (2 − )

2

2

4 − ∞

lim = ∞ = ∞

( )

+1

→+∞ 3

−∞

L’argomento del logaritmo per x che tende a tende a 0 da destra.

Ricordiamo l’andamento della funzione arcotangente.

−2 +

lim = 0

2

1 −

→−∞ +

→ ln ′0 = −∞

+ +

→ arctan 0 = 0 −2

lim = −∞

2

1 −

→−∞ 2 − 3 −∞

lim =

12 − +∞

+

→0 +

ln(3 − ) ln(3 − ) ln(3 − ) 0 ∞

lim = lim = lim = = − = +∞

3 2 2 − −

− − 6 ( − − 6) ( − 3)( + 2) 0 0

+ + +

→3 →3 →3 4

Scompongo il denominatore e razionalizzo −1 + 1 0

log = log → . .

9 9

−1 + 1 0 5

6

ln ∞

lim =

ln( + 2) ∞

→+∞

2

3 sin( − 2) 0

lim =

2

(2)

4 − 0

→2

2

4

Raccolgo al denominatore:

2

3 sin( − 2)

= lim 2 −2

(

4 − 1)

→2 2

:

semplifico

3 sin( − 2)

= lim ⋅ −2

(

4 − 1)

→2

→ 2 − 2 → 0

− 2 =

pongo

ed ho: 3 sin

= lim ⋅

(

4 − 1)

→0

divido ora numeratore e denominatoire per y ed uso due limiti notevoli 7