Bioelettromagnetismo - Ravazzani - Tutti gli esercizi d'esame

F i , j, k , n+ , j , k ,n−

−F (i )

2 2

∂ F i , j , k , n

( ) =

∂t ∆t

NB: la variabile tempo viene indicata con un indice n che non significa un esponente!

3. Aggiornamento: traslo nel tempo e nello spazio

• Equazioni da cui ricavo le componenti di E derivate nel tempo  aggiorno le

variabili in gioco nella derivata, cioè il tempo e la variabile della componente. E si

muove solo nella direzione in cui è calcolata.

• Equazioni da cui ricavo le componenti di H  aggiorno le altre variabili. H si muove

nelle 2 direzioni spaziali lungo cui non la sto calcolando.

Ad esempio: 1 1

( )

E i , j , k ,n → E i , j, k , n+

( ) + (1)

z z 2 2

1 1

( )

H i , j, k , n → H i+ , j+ , k , n

( ) (2)

z z 2 2

L’aggiornamento vale PER TUTTA L’EQUAZIONE che calcolo e dipende dalla componente

che sto calcolando (quella derivata rispetto al tempo); Se sei nell’equazione di dEz / dt ,

aggiorni anche le componenti di H con la legge (1).

In questo modo E ed H sono sfasati sia nello

spazio che nel tempo. E parte a metà dello spigolo, mentre H parte dal centro del cubetto ;

E è calcolata in tempi con numeri naturali mentre H è sfasata di ½ .

Ez dipenderà cioè da grandezze calcolate ad istanti precedenti o relative a celle contigue.

Calcolo della dimensione della cella e del tempo massimo.

1. Trovi la λminima.

Se hai diversi materiali, calcoli la lunghezza d’onda in ogni dielettrico e scegli la più bassa:

c

λ= √

f εr∗μr '

f : frequenza del l onda. εr : permeabilità elettrica. μ: permettività magnetica

1 m

8

c= =3∗10 s

√ ε0∗μ0 c .

Se non hai dielettrici, la lunghezza d’onda è data da f

2. Trovi la dimensione massima della cella di calcolo:

λmin

∆≤ 10

3. Trovi l’intervallo temporale massimo per la stabilità del calcolo

∆

∆t≤ per cella cubica

√

vmax∗ 3

Dove Vmax è la massima velocità di propagazione del sistema; se passi anche nel vuoto, è

c. Se hai solo dielettrici, considera che la velocità è sempre spazio/ tempo:

velocità = lunghezza d’onda * frequenza.

In generale per cella non cubica vale il criterio di

stabilità di Kuran:

SAR: Tasso di assorbimento

E’ la derivata nel tempo dell’energia elementare d.W assorbita da una massa elementare dm

contenuta nel volume elementare di data densità. Conducibilità: σ

Densità: ρ

1. Calcolo numerico:

Se è noto il calore specifico del materiale + due Temperature associate a due time point.

2. Calcolo analitico: 6 componenti

2 componenti per ogni asse (uno della cella in studio, uno

dalla cella adiacente) tutte collocate nel vertice della cella.

Media pesata di due componenti, quindi all’esterno ho ½ , pesati rispetto a conduttività e

densità: 2 2

σ1x E1x σ0x E0x

∣ ∣ ∣ ∣

1

SARx= ( + )

2 2ρ1x 2ρ0x

SAR tot = SAR x + SAR y + SAR z

3. Calcolo analitico: 12 componenti

Si hanno 4 componenti per ogni asse (una per ogni spigolo del cubo orientato come l’asse).

Media: - Se densità e conduttività sono costanti, puoi fattorizzare

- Se le componenti con lo stesso numero sono uguali lungo i 3

assi,

SAR x = SAR y = SAR z

J: corrente generata in uno sferoide da un campo esterno E 0

1. Calcolo dell’area superficiale TOTALE e RIDOTTA [m2]

M = peso del soggetto in esame

L = altezza 0.51456 0.42246

SBT =0.1644∗M ∗L

SBR =0.82∗SBT

2. Ricavo il raggio dello sferoide [m]

√ SBR

2

R=−0.738∗L+ 0.545∗L + π

3. Calcolo A [Adimensionale]

R

L

¿

¿

2

¿

1−¿

¿

√ 1

a= ¿

4. Definisco le condizioni espositive e trovo K [F/m]

a. Campo Eo parallelo all’asse maggiore z  Calcolo di Kez

a+1

( )

−1

a−1

a∗0.5∗ln ¿

¿

2

( )

a −1 ¿

2πε0

Kez= ¿ −12

ε0=8.854∗10 F /m

E’ la condizione peggiore, cioè quella per cui si genera una corrente di intensità

più alta.

b. Campo Eo perpendicolare all’asse z  Calcolo di Ker

a+1

( )

a−1

2

( )

a− a −1 ∗0.5∗ln ¿

¿

a∗¿

4πε0

Ker= ¿

5. Calcolo J [A/m2] e Ei [V/m]

J f E

=K

J

Ei= σ

J nel modello assisimmetrico

1. Calcolo di J nello sferoide equivalente

Idem come sopra fino al punto 5

2. Calcolo del raggio dello sferoide all’altezza del punto di interesse nel modello

assisimmetrico

√ 2

h

( )

rs=R∗ 1− L

H è l’altezza del punto dove sto calcolando il flusso nel modello assisimmetrico (ad

esempio il collo).

3. Calcolo la densità nel modello assisimmetrico:

2

Js∗r s

Ja= 2

ra

Dove ra è il raggio del modello A in corrispondenza della h in studio. Il modello A consente

di stimare più correttamente di S le zone ad area minore (come collo e caviglie), in cui S

sottostima l’intensità della J generata.

ESERCITAZIONE 4

Esposizione a campi magnetici costanti

1. Ipotesi da verificare: B uniforme, a frequenza costante e perpendicolare al disco. Disco

omogeneo con conduttività costante. Se B non fosse uniforme, il livello del campo

diminuirebbe allontanandomi dalla sorgente.

2. Calcolo del campo elettrico indotto:

Eindotto(r )=πf ∗B ∗r

0

Con r che varia tra 0 e il raggio R del disco; è massimo sul bordo (r = R)

Unità di misura: trasformo il Tesla del campo magnetico

1 ∗V∗s

V s

= ∗m

m 2

m

3. Calcolo della densità di corrente indotta:

Jindotto r

( )=Eindotto(r)∗σ

E’ una densità di corrente, quindi sarà corrente / superficie. Trasformo Siemens della

conduttività in A/V perché la conduttanza è l’inverso della resistenza.

V ∗A

A m

= V

2 ∗m

m

Potenziale di equilibrio per specie ioniche

1. Considero separatamente ciascuna specie ionica. Calcolo per ognuna il potenziale di

equilibrio secondo Nerst (è il potenziale tc il flusso netto = 0). Esprimi la temperatura in K:

∫

[ ]

C ¿

[ ]

C ext

¿

RT ⁡

E= ∗ln ¿

Fz J

R=costante gas=8.314 mol∗K

A∗s

F=costante Faraday=96487 mol

Z = valenza dello ione. Ad esempio -1 per Cl o +1 per K.

2. Date le permeabilità, calcolo il potenziale a riposo della membrana.

Ad esempio, per gli ioni K+ , Na + e Cl- vale:

∫ ¿

[ ] [ ] [ ]

P C ext+ P C ext+ P C

k Na Cl ∫ ∫

[ ] [ ] [ ]

P C P C P C ext

+ +

k Na Cl

¿

RT ⁡

Vm= ∗ln ¿

F

NB: Cl ha valenza -1 , quindi nel logaritmo inverti la sua frazione.

3. Dato un potenziale a riposo, come si muovono gli ioni? MODELLO A CONDUTTANZE

PARALLELE Vm

I = (Vm – E_eq) * g

NB: Se i due potenziali sono uguali, non si ha flusso netto di carica. Per convenzione, la

corrente positiva è quella che scorre dall’interno verso l’esterno della membrana.

All’equilibrio si considera che non scorra corrente in Cm.

4. Pompa per equilibrio?

Calcoli Vm, calcoli Eq e trovi la direzione della corrente. Imponi che la pompa applichi una

forza opposta per avere equilibrio.

5. Esiste un potenziale transmembrana per il quale tutti gli ioni sono in equilibrio?

Solo se è verificato l’equilibrio di Donnan.

I_Na = I_K = I_Cl = 0

SOLO SE  Tutti i potenziali di equilibrio sono uguali, cioè se:

∫ ¿

[ ]

Cl [ ]

Cl ext

∫

[ ]

Na ¿=¿

[ ]

Na ext

∫

[ ]

K ¿= ¿

[ ]

K ext

¿

6. Data una conduttanza, ricava l’altra all’equilibrio

Applichi la legge di Ohm delle correnti e imponi che la somma sia = 0. (Come con

potenziali e resistenze).

Dinamica dei canali ionici

1. Date le frequenze di transizione a un dato potenziale di membrana, si calcola la

probabilità di avere canali aperti come:

dn 1−n

( )−β∗n

=α

dt α

n=

Probabilità di trovare canali aperti : α β

+ 1

τ =

Costante di tempo associata al canale: α β

+

2. Vm = scostamento dal potenziale di membrana.

ESERCITAZIONE 5

Propagazione di uno stimolo

1. Data una fibra su cui viaggia PA e dato il potenziale di membrana, trova la corrente:

2

∂ Vm ( )∗ℑ+

= ℜ+ri ℜ∗ip

2

∂ x

Dove ip è una corrente di stimolo esterno, re e ri le resistenze esterne ed interne della

membrana.

2. Trova la costante spaziale di membrana:

2

∂ Vm ∂ Vm

2 2

λ λ fp∗ip+Vm

=τ +

2 ∂t

∂x

Se i primi due termini a destra sono nulli (il potenziale è stazionario e non ho iniezione di

altre correnti), posso scrivere:

¿

x∨

−¿ λ ¿

Vm x 0

( )=Vm ( )∗e

Da qui ricavi lambda (puoi togliere il modulo se consideri solo la propagazione lungo x>0).

NB: λ è la distanza tc Vm = 0.37 * V0.

3. Trova la distanza x per cui il potenziale dimezza (dato λ) :

−x

λ

Vm x 0

( )=Vm ( )∗e

voluta

Ricavi x.

4. Modello spike response

Dato il grafico del potenziale post sinaptico generato da spike, sommi ad ogni istante

temporale dove hai un impulso: Quando superi la soglia data, parte il

potenziale d’azione.

Analiticamente, il potenziale post-sinaptico del neurone i è dato da:

∑ ∑

Vi t Wij εij(t−tk

( )=Vrest+ )

j

Dove Vrest è il potenziale di partenza della membrana; W è il peso della sinapsi e ε indica se

la sinapsi è eccitatoria (>0) o inibitoria (<0).

5. Istogramma degli intervalli inter-spike, calcola la frequenza di sparo:

1

fsparo= si∗¿ eventi s

∑ TOT eventi

¿

Dove s è la variabile che si muove sull’asse temporale (80-90 ms….) e il # eventi è l’altezza

della colonna.

6. Generica curva di probabilità:

La frequ