Prove appelli Metodi quantitativi

K

(A) venderà un'opzione put con strike price 80

=

K

(B) venderà un'opzione con strike price 80

cali =

* K

(C) acquisterà un'opzione put con strike price 80

=

K

(D) acquisterà un'opzione con strike price 80

cali

2) (3 Punti) Si consideri un titolo azionario che ha prezzo odierno pari a 20€ e il cui prezzo

in semestre futuro salire del 25% oppure scendere del 25%. Sul mercato presente un'opzione

ogni potrà è

Cali europea con scadenza 6 mesi scritta su tale sottostante azionario con strike a 20€. Il tasso annuo

pari

d'interesse (TAN convertibile semestralmente) privo di rischio del 4%. Si calcoli il prezzo odierno Cdi tale

è

Cali europea.

= =

C C=

(A)* 2,647 (B) 2, 70 (C) C 2,596 C

(D) =4,902

~

3) (3 Punti) u2

µ

Sia (IO, 36) una variabile aleatoria normale di parametri IO e 36.

X N = =

=

>

Allora 5)

P(X

= = = =

(B) O,

(A) O, 20327 (C) O, 83333

55567 (D)* O, 79673

P(x76)

3

) o,s~)

-o,s3) r(z

(27 5-~0) - (z )'

p

f <

.e

L<wo~ 0,03 ~a..

~iPf-d-a

r(o, %

7-9,

~:5613) 67-3 1

A,'2..S

S::

2) 2ot., .)A::

6~ k = ').O

%

/4

TAN~ ,f- R::.

u +- =

z q

,{~ ~o-b =- -1 1,

02

3/o 02

/'(\"-Ol)t(tzr;-20,o):::~0-.V(5,o):5

15( C,ft-=

s.,{,,;25:

<

-~ o $· l CJ:. (-s,o)-=O

,-.,. /}\A-<,>jc(1s-2D,o)=

= ,~

5

0

r2-d : O

q-= A,O2 -Di-=7-5 :: Sb-

1

A(lr; -0,+-f>

».-d D

(:=

i Vn[ -°'s~]

[e~· •(1-q)]-=-

CJ

q

C-= 0-(-1

5. 2,641"

+ Qç4- -1-

"9 S:100 PUT

o,

PVT: K-s)

HAx (

-1-

K. S(T)

~-ss- sy(+

se J

[s(

~]=

o

y..A!to T)+t·W / K-S) T) ,,. K

[s(r) ,

= 11,4)( K - 11AX

I

s(r)

f S(T)7K

S(r) ~k

DOMANDA A RISPOSTA APERTA (Scrivere le risposte nello spazio sottostante)

4) (6 Punti) paga

Si consideri un titolo che non dividendi con prezzo corrente e volatilità

102€

= =

K

cali

pari a Si consideri un'opzione (europea) su tale titolo con prezzo di esercizio di e

0.20. 100€

u

scadente tra 4 mesi. Il tasso annuo d'interesse a capitalizzazione continua del titolo privo di rischio sia del

12%.

• Si calcoli prezzo teorico dell'opzione con la Formula di Black-Merton-Scholes.

il

= volatilità di log S

0.20

u = = =

S T

prezzo in del titolo

102 O

€

100

K=

T-t= 1~ ·n

1n( ½$)+e 0.12+~)

= =

d 1 0.2.Ji 0.575 64 A

JT -

= = =

t

u ·

d1 - 0.575 64 - 0.2 · 0.460 17 =

0·12

0-12

= =

·-à . ·-à ·

O) 64) - O.

C(S, 102 · N(0.575 100 . e- N(0.46017) 102. 71566 - 100 . e- 0.67724 7.

9288

• In questo momento l'opzione ATM, ITM, OTM?

è

ITM Delta= N(d

• Si calcoli parametro e si commenti suo valore.

il il

)

1

=

Delta= N(d misura la sensibilità del valore della cali rispetto al prezzo del sottostante

0.71566

)

1

• Si calcoli portafoglio di replica e si commenti la sua composizione

il ·n •

0-12

+ b 102 • 0.71566 - 100 • e- 0.67724 7. 928 8

x = =

= = = informa che occorre acquistare nel titolo sottostante;

102•N(d1) 102-0.71566 72. 997 72. 997 €

ci

x

ed = =

0-12

·-à •

b informa che occorre scrivere del titolo privo di rischio

-100. e- 0.67724 -65. 069 65. 069€

ci 2 d'!Jnpreaa

MetodJ QunnLltuUvl por lo Doclalonl

DACA, DFAMF,

(crocettare):

CdS In li PARTE • AttMtà In nrnblto atOt'Jllltico

fi i111~iario

scritta

Provn del G febbraio 20:20

@ognome Nomo Matricola

SOLUZIONI

I

. . ~.. .

. ~.. . .~.. . . . . I

pgni

. E' co~tita sola co;"l.ri~e domanda: annullare la rùpo1ta rocdiiwlnla

am.nderala

per ffl1lla

~M per ,vpoau

lettere

infine

un an:h,o. Ri.,,ort4re nel riquadro date

C,01TUpondfflti tuando

le alle

1n letume maiuacole.

le

N.B. /oglw

risf>o~ essere gìustìficote modo lnollre,

in i

!1Ul

l~ dt!VOnO chiaro . complt!to profocolu,,

e

uercizi

piu rilevanti e le solutioni degli a domanda con aperta vanno !roll'~ .

riportate

ptJMQ9!II fÙpOlta

-

-~ Si

(3 Punti) . precise del

• / I!) un operatore che abbia idee sull'evoluzione del

immagini preao

n

sul sia

tito16 del

sottostante voglia sc:ommettero rialzo del prezzo. prezzo attuale titolo 100€,

sottostanU

e

tenendo del dell'opzione, • , ·

~ t o , lXln!,O premio = K

ca11

acquisterà

(A) un'opzione prioe-K

strike

con 60 e venderà un'opzione put con strike_price = -160

= =

K K

(B) venderà

un'opzione çall strike atrike

con price 60 e vn'opzione put con price

60 " =

=

(C) acquisterà un'opzione strike

put con price 100 e,venderà un'opzione con price 100

K K

call

strilte =

* K

un'opzione cali con price -100 e venderà un'opzione put con price

(D) strilre stri.Ire

acquisterà

K==lOO · . 'J

(i} supponga

(S Punti) .dividendi

Si consideri un titolo che non con preuo corrente Si

20€.

,paga

c:M~ il possa

mesi, di rispetto

prossimi tale titolo aumentare del 25% oppure del 25%

diminuire al

mese tale

meae

preoen~. Put l

prezzio Sul mercato presente un'opzione con scadenza su

del europeo IICritta

è

= n

K

strike

titolo tasso di

con price annuo convertibile mensilmente)

18€. d'interesse {TAN privo ri.9chio

calcoli il P di

del 12%. Si prez7.0 corrente tale opzione.

è =

=

= (D)' 1.426

(C) 1.44 P

P

. (B) 1.56

P

· .(A) P=2.4

t3 ' Sapend9 il dal br:owniano

che

(S Punti) ~(t) moto ~rlco

processo prcu.o go~to

di è

= =

dS(i) 3·S(t)dz, prooeeso

che l'equazione differenziale atocastlca che governa U F(S(c))

.s(t)dt+ ha

si

2

ln~tjè . .

= -Jdt +

+ 3dz .

(A)* dlnS(t) (B) ln2 ln3·d.:

dlnS(t) = •dt

!dz ·

= +

+

Jj,dt =

(C) 3th (D) dlnS(t)

dlnS(t) -jdt

1

dsU-)= s(t)o(n,

2 3

<;(t)cM: +-

J. .Jr

-6

A... -r·3 :

'l

I I 1. E,

71-6 :: 2- --:i:

(\J::: ).)._- o-1.k+

Ar•dt 'èrrm.

+

d~s(1:)= 3oUl-

--+ -

S=20 K= <a

I q1-5 -

q--_...,_-_ {

- 1,0 I - O 52

1 · COAJ

CASO DJ CALL

SI

IN UJJA

ACQUISTA

RIALZO s

s PUT

VEJJOE

$) I(::

K

PAQI A CO}J

E (})Jff D.

bEL IJDI

SOTTOSTANTE, RISPOSTA

QlJI

CASO

• IN DI RIBASSO f<SA

VICEvE

DOMANDA A RISPOSTA APERTA (Seri.vere le riapo,te nello ,otto.tante)

•~io

6 un

Punti) Si conaiderl titolo che non paga dividendi con preu.o corrente 100€. Si

( S • =

crescita

suppo~a che nel proeaimi meei, il prezzo di tale titolo aumentare con fattoré di u 1.1 con

p0811a =

= = =

f.r

reale probabilità

0.3 oppure diminuire con fattore di decremento 0.9000009 con

=

Proòabilitd P d .l

(1- p) 0.7.

reale u ..

=

T

i

• Si calcolino possibili prezzi del titolo dopo 2 meel e le pro~bilità reali

relative

T=O, 100

prezzo = =

T=l, 110 0.3 90.9090909 (1- 0:7

probabilità reale e prezzo con probabilità

prezzo con reale p)

p = 4

3k

2 2

T=2, 2

con reale ( ) .

prezzo 121 probabilità (1- 0.09;

p p)

• - •

= 2

100 reale ( ) . (1-p) '": 2 •·0.3 •.0.7 0.42;

prezzo con probabilità p • *

=

2 0

82.6446281 (l

prezzo con probabilità reale( ~) . -p! 0.49

0

p -

• =

s,;rike

• Si consideri un'opzione au tale titolo, con,scad~ 2 me,si e 110€.

Call T.,,; K

price

eur0pet1 1

=

Si T i di

calcolino in 2 mesi possibili tale. opzione CalL • _

payoft'

della

Payoff Cali

o, 121- /IO: .I(,{

11, O Jll»tcJ~ :::.

;-y.., 0 ·

11Ò- 10:) :: 0

I 90/~ _; N- ~e,J,"r,.-:.

O -

I

·tasso

• n prlyo rischio calcoli

Si

di

annu~ d'interesse (TAN convertibile mensilmente) sia del 12%. il·

corrente di

prezzo tale opzione

P CalL

R- 0.12 · · »-~ JJ

At- =

101

_ ! - -

- \'i . . = Q.52857 .

9

_ R-d _ l.Ol-0.909090 .\I,,~

u-cl -

q - 1.1-0.9090909 ì'.

=

-.¼.,. .

= . .

11 11 . 0.528 5'72 3. 012 7

1

P -2 -

'I - 1.01 .

-1iA p-=-0,3

-4-= q7-

d:: qgo -1-p-;.

w.....

r~o 'lJWW--0 I

00 p::

•.

AAO q3

Chr\. C11-

t-=

g

'.3f.'.1t GO'}'\.

'2

T-=-

Metodi Quantitativi per le Decisioni d'Impresa DPc

(crocettare):

CdS in ACA,

II PARTE - Attività finanziarie in ambito stocastico

Prova scritta del 5 GIUGNO 2020

!Cognome Nome Matricola

SOLUZIONI

i . .

I ....

~--- ·--~--- ---~--- .... I

Riportare nel riquadro le lettere corrispondenti alle risposte date usando le lettere maiuscole.

N.B. Tutte le risposte devono essere giustificate in modo chiaro e completo sul foglio protocollo che verrd poi

fotografato e inviato al docente . I passaggi più rilevanti e le soluzioni degli esercizi a domanda con risposta

aperta vanno riportate sul/ 'elaborato.

~

1) (3 Punti) X N

Sia (2, 9) la v.a. normale del guadagno di un investimento. Il Valore a

Rischio (VaR) di tale investimento a livello 0.01 è:

= =

VaR VaR =

(A) 18.97 (B) -4.99 =

* (D) VaR

(C) VaR 1.66

4.99

2) (3 Punti) Si consideri un titolo che non paga dividendi con prezzo corrente 20€ e volatilità

pari a 40% . Un'opzione cali (europea) su tale titolo ha data di scadenza a 1 anno (tra mesi) da oggi

a= 4

=

K

e prezzo di esercizio di 22€ e . Il