Analisi probabilistica e teoria delle code - prova dicembre 2006

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 04-12-2006

ESERCIZIO n°1

Un sistema di elaborazione è organizzato con 3 processori indipendenti, che lavorano in parallelo

sugli stessi dati di input. L’elaborazione dei dati è ritenuta corretta se almeno 2 dei 3 processori

restituiscono lo stesso risultato. La legge di guasto, identica per i 3 componenti non riparabili, è

quella esponenziale, con un MTTF pari a 5 anni.

su uno qualunque dei 3 processori:

Fissando l’attenzione

1) scrivere come si calcola la probabilità che un guasto si verifichi fra il secondo e il terzo anno

di vita;

2) spiegare perché risulta nulla la probabilità che un processore subisca un guasto in un preciso

istante di tempo, t, ma si può valutare la probabilità che un guasto si verifichi

nell’intervallino (t, t+dt).

3) valutare la durata media della vita residua dopo il primo anno di vita;

sistema:

Adesso, fissando l’attenzione sul

4) Qual è la probabilità che il sistema sia ancora funzionante dopo 1 anno?

5) Qual è la probabilità che solo 2 processori siano ancora funzionanti dopo 1 anno?

6) Calcolare la probabilità che uno qualunque dei 3 processori risulti guasto pur risultando

funzionante il sistema.

7) Ricavare la distribuzione della variabile aleatoria “tempo al primo guasto”.

8) Utilizzando il diagramma a blocchi del sistema e la formula della probabilità totale, ricavare

la formula dell’affidabilità del sistema condizionando sullo stato del processore 1.

un quarto componente identico di riserva ai primi tre e ipotizzando (a) che la

Ancora, aggiungendo

commutazione sia perfetta e (b) che la riserva non possa guastarsi quando inattiva,

9) scrivere l’espressione della funzione di distribuzione del “tempo al 2° guasto” ;

rimuovendo l’ipotesi di commutazione perfetta, si immagini di potersi permettere la

Infine,

ripetizione dei tentativi (indipendenti) di commutazione e, assumendo una probabilità di successo al

generico tentativo pari a 0.8, si calcoli:

10) la probabilità che la commutazione riesca entro il 3° tentativo.

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(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 04-12-2006

ESERCIZIO n°2

Da una popolazione di circa 200 terminali, indipendenti, provengono richieste di elaborazione ad un

sistema dotato di quattro unità di calcolo identiche (serventi) e di un unico buffer dove vengono

accodate le richieste in arrivo. Il sistema è illustrato in figura.

Le richieste vengono elaborate in ordine FIFO ed indirizzate in maniera completamente casuale ad

uno qualunque dei serventi liberi. Ognuna di esse tiene occupato un servente per 96 secondi, in

media.

Con riferimento ad un intervallo di 4 minuti, si stima che da un qualsivoglia terminale possa essere

lanciata al massimo una richiesta di elaborazione e che ciò possa verificarsi con probabilità 0.04.

1. Proporre un modello degli arrivi al buffer che tenga conto della popolazione finita.

2. Verificare la congruenza del precedente con un modello di arrivi “poissoniani” di parametro

-1

λ=2 min e proporre un modello a coda con il quale calcolare:

2.1 la percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna attesa;

2.2 il numero medio di richieste servite nell’unità di tempo;

2.3 il tempo mediamente speso nel sistema da una richiesta di servizio.

Adesso, si supponga che il buffer sia indisponibile per un guasto e si voglia valutare il sistema sotto

la condizione che le richieste in arrivo quando tutti i serventi sono occupati vengono rigettate.

3. Adottando un nuovo modello a coda, calcolare i seguenti indici di prestazione:

3.1 la percentuale di richieste rigettate;

3.2 la probabilità che una richiesta trovi due serventi qualsiasi occupati con altre richieste;

3.3 il fattore di utilizzazione del generico servente;

3.4 il numero medio di richieste nel sistema.

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 11-01-2007

ESERCIZIO n°1

In un sistema informatico due processi (A e B) sono configurati in un rapporto produttore (A) -

consumatore (B). Il processo A produce due tipi di oggetti diversi, A1 e A2, lavorando ad

intermittenza (prima per un tipo e poi per l’altro) e ciclicamente. Gli oggetti prodotti vengono

depositati tutti in un unico buffer intermedio, da cui il processo B effettuerà i prelievi

successivamente. Il tempo medio fra due produzioni consecutive di oggetti di tipo A1 è pari a 5 sec,

mentre per il tipo A2 occorrono, in media, 10 sec.

Fissando l’attenzione sulla produzione dei soli oggetti di tipo A1:

dopo aver motivato la scelta di una funzione di distribuzione per la variabile aleatoria “tempo tra

due produzioni successive”,

1. calcolare la probabilità che trascorrano meno di 2 sec fra due produzioni successive;

2. calcolare la probabilità che trascorrano meno di 4 sec, posto che già ne siano passati 2 di

secondi tra due produzioni successive;

3. calcolare la probabilità che in 20 secondi vengano prodotti almeno 4 oggetti.

Analizzando un grandissimo numero di oggetti prodotti da A, è stato verificato che il 75% di questi

corrisponde al tipo A1 e, dunque, il 25% al tipo A2:

4. proporre una funzione di distribuzione per la variabile aleatoria “tempo di produzione del

generico oggetto” (cioè prescindendo dal fatto che si tratti del tipo A1 o del tipo A2);

5. prendendo, allora, in considerazione un lotto di 10 oggetti, proporre un modello per

calcolare la probabilità che 2 di essi siano del tipo A2;

6. sapendo che risultano inconsistenti il 5% degli oggetti A1 e il 2% degli A2, qual è la

probabilità che un oggetto accertato come inconsistente appartenga al tipo A1?

-1 e inizia il processo di

Il processo B preleva gli oggetti dal buffer ad un ritmo medio di 4 sec

prelievo in corrispondenza di istanti di tempo completamente casuali.

7. Adottando una legge geometrica estesa per l’occupazione del buffer, di media pari a 1,5,

esprimere la funzione di distribuzione della variabile aleatoria “tempo allo svuotamento del

buffer”.

S’immagini di affiancare un secondo produttore, identico, al processo A, facendolo lavorare in

parallelo. -1 , ricavare le funzioni di

8. Sapendo che entrambi hanno un tasso di guasto pari a 2000 h

distribuzione delle variabili aleatorie “tempo al primo guasto” e “tempo al guasto del

sistema intero”.

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 11-01-2007

ESERCIZIO n°2

In un’ottica di ristrutturazione del reparto di verniciatura della propria impresa, un imprenditore

vuole valutare le seguenti alternative:

1. utilizzare due linee di produzione alimentate separatamente attraverso due distinti buffer di

accumulo dei prodotti da verniciare (in ordine FIFO) ed entrambe caratterizzate dallo stesso

tempo medio di verniciatura, pari a 1,25 min per prodotto;

2. utilizzare due linee di produzione più lente del 15% rispetto alle precedenti, però alimentate

congiuntamente attraverso un unico buffer.

La valutazione sarà basata sul confronto di alcuni indici di prestazione riferiti alle due alternative.

Assumendo che il carico medio di lavoro sul reparto corrisponda a 70 prodotti da verniciare all’ora,

l’adozione di due possibili modelli a coda e calcolare:

giustificare

a. la produttività di ogni linea di produzione;

b. il livello di utilizzazione di ogni linea di produzione;

c. la lunghezza media della coda;

d. il tempo medio speso in coda da un generico prodotto;

e. il tempo mediamente speso da ogni prodotto nel reparto di verniciatura.

Adesso, con riferimento alla prima alternativa soltanto, calcolare:

f. la probabilità che un prodotto debba attendere almeno 5 minuti prima che l’operazione di

verniciatura abbia inizio;

g. la probabilità che un prodotto debba attendere non più di 9 minuti ed almeno 3 minuti.

Infine, prendendo a riferimento il tempo medio speso in coda, spiegare quale delle seguenti

configurazioni sia preferibile e quanto (a parità di fattore di utilizzazione del servente):

λ

µ e tasso degli arrivi ;

1. 2 modelli M/M/1, ciascuno con tasso di servizio λ

µ 2

un modello M/M/2 con un tasso di servizio ed un tasso degli arrivi .

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 02-04-2007

ESERCIZIO n°1

Elaborando i dati della rete nazionale, si vogliono eseguire operazioni di previsione dei tempi di

viaggio per mezzo di potenti calcolatori.

CASO A

Il sistema di elaborazione dati è costituito da un unico calcolatore, caratterizzato da un tempo medio

di guasto settimanale pari a 0,2.

Si calcoli, utilizzando la legge esponenziale:

almeno due giorni fra l’istante di messa in opera ed il primo

9. la probabilità che trascorrano

guasto;

10. la probabilità di avere un guasto entro il 3 giorno, posto che nel primo giorno non si siano

verificati guasti.

3. Illustrare, inoltre, un modello di guasto che tenga conto dell’usura (tasso crescente).

CASO B

Per garantire un alto livello di efficienza, il sistema di elaborazione dati è organizzato per coppie di

calcolatori identici, come illustrato in Figura 1.

4. Scrivere la formula dell’affidabilità del sistema ad un generico istante t.

1 2

3 4

Figura 1

Fissando l’attenzione sulla sola coppia di calcolatori 1-2, si ipotizzi che il tempo di elaborazione dei

-1 .

dati per entrambi i calcolatori sia distribuito con legge esponenziale di parametro pari a 2 sec

5. Ricavare la distribuzione della variabile aleatoria “tempo di elaborazione complessivo”.

CASO C

Si ipotizzi, infine, che il sistema sia costituito da 3 calcolatori identici, caratterizzati da un tempo

medio di guasto settimanale pari a 0,2 (legge esponenziale). Il sistema può essere considerato

funzionante se funzionano almeno 2 calcolatori.

6. Calcolare l’affidabilità del sistema ad un giorno dalla messa in opera.

7. Ricavare la distribuzione della variabile aleatoria “tempo al primo guasto”.

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 02-04-2007

ESERCIZIO n°2

Un server Web per il peer-to-peer garantisce ai suoi 250 utenti registrati un efficiente servizio di file

sharing per mezzo di 3 potenti server. Le richieste provenienti dagli utenti registrati vengono

accodate in un’unica lista e sono elaborate in ordine FIFO da uno qualsiasi dei server liberi. Ogni

richiesta occupa un server per 1,2 minuti in media.