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Analisi probabilistica e teoria delle code - prova dicembre 2006

Prova d'esame di Analisi probabilistica e teoria delle code per il corso del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: in riferimento all'esercizio uno - scrivere come si calcola la probabilità che un guasto si verifichi fra il secondo e il terzo anno di vita; valutare la durata media della vita residua dopo... Vedi di più

Esame di Analisi probabilistica e teoria delle code docente Prof. P. Legato

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ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 02-04-2007

ESERCIZIO n°2

Un server Web per il peer-to-peer garantisce ai suoi 250 utenti registrati un efficiente servizio di file

sharing per mezzo di 3 potenti server. Le richieste provenienti dagli utenti registrati vengono

accodate in un’unica lista e sono elaborate in ordine FIFO da uno qualsiasi dei server liberi. Ogni

richiesta occupa un server per 1,2 minuti in media.

Con riferimento ad un intervallo di 6 minuti, si stima che ogni utente registrato possa lanciare

tramite il proprio client al massimo una richiesta di elaborazione e che ciò possa verificarsi con

probabilità 0.045.

3. Proporre un modello degli arrivi al buffer che tenga conto della popolazione finita.

4. Verificare la congruenza del precedente con un modello di arrivi “poissoniani” di parametro

-1

λ=2 min e proporre un modello a coda con il quale calcolare:

2.1 la percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna attesa;

2.2 il numero medio di richieste servite nell’unità di tempo da un generico server;

2.3 il tempo mediamente speso nel sistema da una richiesta di servizio.

5. Calcolare la probabilità che passi più di 1 minuto fra una richiesta di accesso al sistema e la

successiva;

Si supponga che il sistema sia riprogettato per rigettare le richieste quando tutti i serventi sono

occupati, calcolare (specificando il modello adottato):

6. la percentuale di richieste rigettate;

7. il fattore di utilizzazione di un generico server.

Il sistemista consiglia di sostituire i tre server con un nuovo tipo molto più potente e di ripristinare

l’attesa per le richieste. Il nuovo server è in grado di servire una richiesta mediamente in 24 secondi.

Si specifichi il modello adottato e si calcoli:

8. la probabilità che un utente debba attendere almeno 5 minuti prima di venire servito.

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 02-07-2007

ESERCIZIO n°1

Una macchina M processa ciclicamente job allocati su 2 diverse file di attesa: “coda A” e “coda B”

(vedi Figura 1). La macchina è stata programmata in modo tale da dedicarsi ai job nella coda B

soltanto quando si svuota completamente la coda A (e viceversa). Da un monitoraggio precedente

risulta che, mediamente, il flusso di job nel sistema di interesse è tale che la coda A si svuota ogni 2

minuti mentre la coda B si svuota ogni 2.5 minuti. coda

B

M

coda A

Figura 1

1. Adottare, motivandoli, due modelli esponenziali per rappresentare le variabili aleatorie

TA=“tempo di svuotamento della coda A” e TB=“tempo di svuotamento della coda B”.

2. Calcolare la probabilità che TA sia compresa fra 2 minuti e 3 minuti.

3. Calcolare la probabilità che TB sia non maggiore di 3 minuti, posto che abbia già superato 2

minuti.

4. Ricavare la distribuzione della variabile T=TA+TB e calcolare la probabilità che T sia superiore

a 270 secondi.

5. Monitorando il funzionamento del sistema su 5 osservazioni casuali ed indipendenti, con che

probabilità TA sarà minore di 125 secondi esattamente 3 volte? E non più di 3 volte?

Nota: il tempo di un’osservazione casuale è pari alla durata di un ciclo (inizio del processo del

primo job nella coda A – fine del processo dell’ultimo job nella coda B).

6. Introdurre un modello alternativo a quello esponenziale che sia capace di ridurre di un fattore 10

la varianza associata a TB.

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B )

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL 02-07-2007

ESERCIZIO n° 2

Un server Web soddisfa un flusso di richieste di accesso generate da un insieme di 20 client. La

probabilità che uno qualsiasi dei client emetta una richiesta in un minuto di tempo è pari a 0,3.

1. Calcolare la probabilità che in un minuto si manifestino 3 richieste di accesso.

2. Elencare le ipotesi necessarie al fine di adottare un modello di Poisson per il flusso di

richieste di accesso. -1

3. Con un modello poissoniano di parametro pari a 2 min , calcolare la probabilità che si

manifestino meno di 2 richieste di accesso in 1 minuto.

Assumendo che il server sia in grado di servire mediamente in un minuto 0,25 richieste di accesso,

calcolare:

4. La probabilità che una generica richiesta debba attendere prima di essere servita.

5. La lunghezza della coda di richieste in attesa di essere servite.

Supponendo che sia possibile tanto rimpiazzare il server con un altro di velocità doppia quanto

raddoppiare il server con un altro identico:

6. valutare queste due alternative dal punto di vista del tempo medio d’attesa delle richieste in

coda.

Il sistemista decide di adottare la soluzione composta dai due server Web. Ipotizzando che il

sistema sia riprogettato per rigettare le richieste di accesso quando tutti i server Web sono occupati,

calcolare (specificando il modello adottato):

7. La percentuale di richieste rigettate.

8. Il fattore di utilizzazione di un servente.

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(corsi A e B)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 10-09-2007

ESERCIZIO n°1

1. Con le notazioni del corso, interpretare il seguente prodotto: R(t)h(t)dt . λ -1

= 0

.

05 u.t. ,

2. Per un componente non soggetto ad usura, fissando il tasso di guasto

calcolare la probabilità che si guasti entro le successive 50 u.t., posto che non si è guastato

nelle prime 50 u.t. . .-2 ,

3. Per un componente soggetto ad una velocità di crescita dell’usura costante, pari a 0.05 u.t

ricavare la distribuzione del tempo di vita.

4. Immaginando di organizzare in parallelo due componenti identici, con tasso di guasto

λ -1

= 0

.

05 u.t. , calcolare la probabilità che il primo guasto si verifichi entro le prime 50 u.t.

5. Immaginando di organizzare in serie due componenti identici e con il tasso di guasto fissato

prima, calcolare la probabilità che il sistema si guasti entro le prime 50 u.t.

6. Immaginando di organizzare uno dei due componenti identici di riserva all’altro e con il

tasso di guasto fissato prima, scrivere l’espressione della funzione di distribuzione del tempo

di vita del sistema, con commutazione imperfetta e fattore c=0.9. Quindi, calcolare la

probabilità che il sistema sopravviva oltre le prime 50 ore.

7. Riconsiderando l’organizzazione seriale ipotizzata al punto 5. e fissando l’istante di tempo

t=50, calcolare la probabilità che uno dei due componenti sia ancora funzionante pur

risultando guasto il sistema.

8. Per un sistema “m-out-of-n” con n=8 e m=5 si sa che 4 degli 8 componenti sono tutti guasti.

Immaginando di estrarne a caso 3, qual è la probabilità che 2 degli estratti siano entrambi

guasti?

9. Un sistema “m-out-of-n” con n=10 e m=5 sta funzionando giusto con 5 componenti

funzionanti su 10. Dunque, estraendone uno a caso, esso risulterà guasto con probabilità 0.5.

Ripetendo 5 estrazioni casuali, qual è la probabilità che 3 dei componenti estratti risultino

tutti guasti?

10. Per un sistema con un componente attivo e n-1 componenti di riserva è stato dimostrato che

la legge di Erlang di ordine n è la distribuzione del tempo di vita, sotto opportune ipotesi.

Fra quelle ipotesi ce n’era una secondo la quale le riserve non possono guastarsi prima di

essere usate. Rimuovendo tale ipotesi e assumendo che il numero di riserve utilizzabili (n-1)

diventi una variabile aleatoria (N) distribuita secondo una legge geometrica di parametro

“p”, ricavare la distribuzione del tempo di vita del sistema.

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DESCRIZIONE ESERCITAZIONE

Prova d'esame di Analisi probabilistica e teoria delle code per il corso del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: in riferimento all'esercizio uno - scrivere come si calcola la probabilità che un guasto si verifichi fra il secondo e il terzo anno di vita; valutare la durata media della vita residua dopo il primo anno di vita.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi probabilistica e teoria delle code e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Legato Pasquale.

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