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Analisi probabilistica e teoria delle code - prova

Prova d'esame di Analisi probabilistica e teoria delle code per il corso del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il comparatore dei risultati, il calcolo della probabilità, il calcolo del "rischio di guasto", la proposizione di un modello a coda adeguato.

Esame di Analisi probabilistica e teoria delle code docente Prof. P. Legato

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ESERCIZIO n° 2

Uno sito Web per la vendita on-line di CD utilizza un sistema automatico per la gestione dei

rapporti con la clientela. Da un monitoraggio del sistema risulta che una popolazione di 200 utenti

accede abitualmente al sito sia per comprare i prodotti pubblicati sul catalogo on-line, sia per

richiedere ulteriori informazioni. Il monitoraggio evidenzia, inoltre, che quella popolazione produce

una richiesta (di acquisto o di informazioni) ogni 6 minuti. La durata media del processo di

evasione della generica richiesta è di circa 180 secondi, al netto dell’eventuale attesa.

1. Proporre un modello a coda adeguato allo scenario applicativo descritto e calcolare le

seguenti prestazioni:

1.1 la percentuale delle richieste che non viene immediatamente evasa;

1.2 la percentuale delle richieste la cui evasione comporta un’attesa superiore al minuto;

1.3 il tempo medio di risposta (attesa + servizio) di una richiesta all’interno del sito Web.

2. Si supponga di duplicare il sottosistema di gestione delle richieste utente e si valuti con un

secondo modello a coda:

2.1 la variazione della percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna attesa;

la variazione del tempo medio di risposta.

2.2

3. Ritornando al caso di un unico sottosistema di gestione delle richieste utente, si supponga

che al più 3 richieste possano essere accettate dal sito (2 nel buffer d’attesa e una sotto

servizio) e si valuti, con un terzo modello a coda:

3.1 a variazione del tempo medio di attesa in coda per la generica richiesta accettata;

3.2 la variazione del tempo medio di risposta.

SOLUZIONE

1) Proporre un modello a coda adeguato allo scenario applicativo descritto ….

λ 0

.

16

= ⋅ = ⋅ =

p t 1 0

.

0008

Possiamo supporre arrivi poissoniani perché risulta K 200

Inoltre identifichiamo il “processo di evasione al netto dell’attesa” come un “servizio” e

disponendo solo del valore medio della durata del servizio non possiamo che utilizzare la legge

esponenziale, essendo l’unica distribuzione che è completamente definita dal solo valore medio.

Infine, considerando che ci sia un solo servente e il numero dei posti in coda sia illimitato

concludiamo per il modello M/M/1.

…. e calcolare le seguenti prestazioni:

.1) la percentuale delle richieste che non viene immediatamente evasa;

1 ρ µ ρ

− −

= − ⋅ (

1 ) t

F ( t ) 1 e

La distribuzione del tempo di attesa in coda è W

Nel nostro caso, dai dati forniti nel testo dell’esercizio, risulta:

2

1

λ − −

= =

1 1

min 0

.

16 min

6

1 1

µ − − −

= = =

1 1 1

sec min 0

.

33 min

180 3

λ 0

.

16

ρ = = = 0

. 48

µ 0

. 33 (t) per t=0 (attesa = 0 prima del servizio) si

quindi, sostituendo questi valori e calcolando F

W

ha: − − ⋅

> = − = − − ⋅ = − −

0 .

33 (

1 0 .

48 ) 0

Pr( attesa 0 ) 1 F ( 0 ) 1 (

1 0 .

48 e ) 1 (

1 0 . 48

)

W

ρ

= ≡

0 . 48

(che è la risposta al quesito 1.1)

1.2) la percentuale delle richieste la cui evasione comporta un’attesa superiore al minuto;

Calcoliamo la probabilità con cui una richiesta attende più di 1 minuto:

= ≤ = − > ⇒

F (

t ) P (

W t ) 1 P (

W t )

W µ ρ µ ρ

− − − −

(

1 )

t (

1 )

t

ρ ρ

> = − ≤ = − + ⋅ = ⋅

P (

W t ) 1 P (

W t ) 1 1 e e

− − ⋅

> = ⋅ =

0

.

33

(

1 0

.

48 ) 1

P (

W 1

) 0

. 48 e 0

.

40

quindi, che è la risposta al quesito 1.2).

(

1.3) il tempo medio di soggiorno (attesa + servizio) di una richiesta all’interno del sito

Web.

Calcoliamo il tempo medio di risposta (attesa + servizio):

ρ

[ ] [ ] 1 1

µ 1

= + = + = ⋅ + =

E D E W 3 0

. 92 3 5 .

76 min.

µ ρ µ

(

1 )

dove E[D] e E[W] indicano il valore atteso del tempo speso in stazione ed il tempo speso in

coda. Si osservi che il tempo d’attesa medio è pari a 2.76 min.

2) Si supponga di duplicare il sottosistema di gestione delle richieste utente e si valuti, con

un secondo modello a coda:

2.1) la variazione della percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna

attesa:

Avendo un secondo sottosistema IDENTICO al primo per gestire le richieste degli utenti,

ovvero si passa al cosiddetto modello M/M/m con m=2 :

= 2

m

µ −

= 1

0

. 33 min

λ −

= 1

0

.

16 min

λ

ρ = = 0

. 24

µ

2 3


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi probabilistica e teoria delle code e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Legato Pasquale.

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