Analisi probabilistica e teoria delle code - prova

SOLUZIONE

1) Proporre un modello a coda adeguato allo scenario applicativo descritto ….

λ 0

.

16

= ⋅ = ⋅ =

p t 1 0

.

0008

Possiamo supporre arrivi poissoniani perché risulta K 200

Inoltre identifichiamo il “processo di evasione al netto dell’attesa” come un “servizio” e

disponendo solo del valore medio della durata del servizio non possiamo che utilizzare la legge

esponenziale, essendo l’unica distribuzione che è completamente definita dal solo valore medio.

Infine, considerando che ci sia un solo servente e il numero dei posti in coda sia illimitato

concludiamo per il modello M/M/1.

…. e calcolare le seguenti prestazioni:

.1) la percentuale delle richieste che non viene immediatamente evasa;

1 ρ µ ρ

− −

= − ⋅ (

1 ) t

F ( t ) 1 e

La distribuzione del tempo di attesa in coda è W

Nel nostro caso, dai dati forniti nel testo dell’esercizio, risulta:

2

1

λ − −

= =

1 1

min 0

.

16 min

6

1 1

µ − − −

= = =

1 1 1

sec min 0

.

33 min

180 3

λ 0

.

16

ρ = = = 0

. 48

µ 0

. 33 (t) per t=0 (attesa = 0 prima del servizio) si

quindi, sostituendo questi valori e calcolando F

W

ha: − − ⋅

> = − = − − ⋅ = − −

0 .

33 (

1 0 .

48 ) 0

Pr( attesa 0 ) 1 F ( 0 ) 1 (

1 0 .

48 e ) 1 (

1 0 . 48

)

W

ρ

= ≡

0 . 48

(che è la risposta al quesito 1.1)

1.2) la percentuale delle richieste la cui evasione comporta un’attesa superiore al minuto;

Calcoliamo la probabilità con cui una richiesta attende più di 1 minuto:

= ≤ = − > ⇒

F (

t ) P (

W t ) 1 P (

W t )

W µ ρ µ ρ

− − − −

(

1 )

t (

1 )

t

ρ ρ

> = − ≤ = − + ⋅ = ⋅

P (

W t ) 1 P (

W t ) 1 1 e e

− − ⋅

> = ⋅ =

0

.

33

(

1 0

.

48 ) 1

P (

W 1

) 0

. 48 e 0

.

40

quindi, che è la risposta al quesito 1.2).

(

1.3) il tempo medio di soggiorno (attesa + servizio) di una richiesta all’interno del sito

Web.

Calcoliamo il tempo medio di risposta (attesa + servizio):

ρ

[ ] [ ] 1 1

−

µ 1

= + = + = ⋅ + =

E D E W 3 0

. 92 3 5 .

76 min.

µ ρ µ

−

(

1 )

dove E[D] e E[W] indicano il valore atteso del tempo speso in stazione ed il tempo speso in

coda. Si osservi che il tempo d’attesa medio è pari a 2.76 min.

2) Si supponga di duplicare il sottosistema di gestione delle richieste utente e si valuti, con

un secondo modello a coda:

2.1) la variazione della percentuale di richieste che non dovrebbe sopportare alcuna

attesa:

Avendo un secondo sottosistema IDENTICO al primo per gestire le richieste degli utenti,

ovvero si passa al cosiddetto modello M/M/m con m=2 :

= 2

m

µ −

= 1

0

. 33 min

λ −

= 1

0

.

16 min

λ

ρ = = 0

. 24

µ

2 3