Analisi probabilistica e teoria delle code - prova dicembre 2002

ANALISI PROBABILISTICA E TEORIA DELLE CODE

(a.a. 2002-03 - docente P. Legato)

PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 06-12-2002

ESERCIZIO n°1

Un particolare sistema di elaborazione è organizzato in tre sottosistemi-componenti identici,

secondo lo schema detto "a ridondanza modulare tripla con voto di maggioranza". In particolare, i

tre componenti lavorano in modo indipendente, processando in parallelo lo stesso insieme di dati

acquisiti in tempo reale. Il comparatore dei risultati può essere considerato "perfetto" e la legge di

guasto consigliata, per ognuno dei tre componenti, è una legge esponenziale di parametro pari a

1/10.000 ore.

Qual'è la probabilità che uno specifico componente si guasti proprio nelle 24 ore successive alle

prime 1.000 ore dall'attivazione del sistema?

( ) λ

λ λ

−

= =

t 1

f t e ,

x 10000 ( ) − −

= 4 0

. 1

Prob(guasto nelle 24 ore successive) = f t dt 10 e 24 = 0.0022

x

Posto che il sistema superi le prime 1.000 ore di vita, quanto piccola risulta la probabilità che due

componenti si guastino uno dopo l'altro e nel giro di qualche ora?

λ λ

( dt)( dt) = o(dt) cioè un infinitesimo di ordine superiore a dt e quindi trascurabile

Qual’è la probabilità che il sistema risulti ancora funzionante dopo 2.000 ore?

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) λ

−

= − =

2 3 t

R t 3 R t 2 R t , R t e

TMR ( ) =

R t 0.913

Da cui: TMR

In particolare, qual’è la probabilità che risultino funzionanti tutti e tre i componenti?

 

3 [ ]

( ) =

  3

Prob(3 componenti funzionanti)= R 2000 0 . 549

 

 

3

E la probabilità che ne funzionino solo due, dei tre?

 

3 [ ] [ ]

( ) ( )

− =

  2

Prob(2 componenti funzionanti su 3 )= R 2000 1 R 2000 0.3645

 

 

2

1