Analisi modale - Esempio reale

La prova in laboratorio di analisi modale sperimentale si articola nello studio di una struttura che si

comporti come un telaio shear – type bidimensionale a 3 DOF (tre piani). Tale ipotesi si realizza

sollecitando la struttura per mezzo di forze di carattere impulsivo applicate in prossimità dei singoli

piani (nella direzione di massima rigidezza). Attraverso tre accelerometri posizionati in

corrispondenza dei nodi è stata misurata l’accelerazione di ogni grado di libertà nel tempo.

L’obiettivo della prova consiste nel ricavare la matrice di risposta dinamica in frequenza della

struttura. Da un punto di vista teorico è necessario conoscere i valori della forza applicata e della

risposta strutturale, dati che in laboratorio corrispondono rispettivamente all’input e all’output.

Figura 1. Supporto telaio

Il telaio viene realizzato mediante:

➢ 9 barre di acciaio di diametro 4 mm, ciascuna con massa (comprensiva di bullonatura) pari

a 54 g, costituenti gli elementi di collegamento tra i nodi;

➢ 6 elementi di alluminio sagomato, ognuno con massa 139,3 g, posizionati in corrispondenza

dei nodi del telaio. 2

I tre piani della struttura sono realizzati collegando due elementi di alluminio tramite 3 barre di

acciaio che conferiscono una rigidezza di tre volte maggiore rispetto a quelle verticali (poiché i piani

sono collegati mediante una sola barra). Questa condizione di differenza di rigidezza ci permette di

considerare il modello di telaio shear-type.

Realizzata la struttura, essa viene incastrata alla base lungo un supporto di alluminio.

Successivamente abbiamo posizionato gli accelerometri in corrispondenza dei piani. Essi

permettono di misurare l’accelerazione del nodo nelle tre direzioni ortogonali (x,y,z) tramite sensori

elettrici funzionanti per differenza di potenziale, in grado di valutare una certa grandezza fisica

(l’accelerazione) mediante una variazione di tensione.

La sensibilità dello strumento è compresa tra 0,5V e 4,5V in termini di differenza di potenziale,

corrispondenti rispettivamente a -2g e +2g in termini di accelerazione gravitazionale.

Al di fuori di questo range si arriva alla saturazione del segnale ovvero il sensore non è più in grado

di leggere ulteriori variazioni di tensione, e quindi di accelerazione.

Figura 2. Prova su telaio 3

Il modello è stato completato facendo una stima delle masse e delle rigidezze nodali in modo tale

da poter costruire le matrici corrispettive del sistema. Ad ogni nodo (piano) è stata ricondotta la

massa di due profili in alluminio, della bullonatura, delle aste orizzontali, di metà delle aste verticali

e degli accelerometri.

➢ m = m + m + m + m

piano all aste(orizzontali + 0,5verticali) bull %cavo

➢ m =m = 0,686 kg

piano1 piano2

➢ m = 0,634 kg

piano3

Le rigidezze nodali vengono calcolate considerando le aste verticali incastrate:

2∗12∗∗

K = 2*K = con E Modulo di Young, I Momento d’inerzia, h Altezza asta

tot asta 3

ℎ

Le forze sono generate colpendo, nella direzione del piano, i vari nodi con un martello dotato di cella

di carico utilizzata per misurarne l’intensità. Tali forze, che hanno carattere impulsivo, sono

applicate sulla struttura sei volte per ogni piano (tre forti e altrettante deboli). Le sollecitazioni non

possono avere intensità eccessive, poiché un’accelerazione troppo elevata porta alla saturazione il

segnale degli accelerometri, rendendo la prova inutile.

Uno strumento alternativo utilizzato per eccitare la struttura è lo shaker, che se collegato alla

struttura le trasmette una vibrazione con frequenza nota. Esso è stato collegato al primo piano del

telaio ed ha permesso di visualizzare direttamente sulla struttura reale i primi tre modi di vibrazione,

incrementando la frequenza dello strumento fino ad ottenere un grafico del tempo “pulito” ovvero

con delle risposte in una frequenza dominante.

La seguente trattazione si concentra però solamente sulle prove effettuate con il martello, in

particolare con quelle applicate al terzo piano.

L’acquisizione dei dati è stata effettuata collegando tutta la strumentazione (accelerometri e

martello) ad una scheda ACQ che li riceve secondo un ordine predisposto dei fili (terra, intensità, x,

y, z e forza). Infine collegando la scheda al PC è stato possibile registrare i dati nel tempo tramite un

programma che converte i segnali elettrici nella grandezza fisica dell’accelerazione. 4

2 - Elaborazione Dati:

2.1 – Elaborazione ed osservazioni:

Le prove di laboratorio sono state effettuate con un martello e lo shaker. Quest’ultimo è stato

utilizzato solo per visualizzare meglio i modi di vibrazioni della struttura. Quindi le prove realmente

utilizzate per la seguente relazione di calcolo sono quelle relative alla forza impulsiva data dal

martello. In particolare si è deciso di considerare solamente le tre prove “forti” in cui viene colpito

il piano 3. Nel seguito verrà fatto un breve confronto con le tre prove “deboli” applicate sempre al

medesimo piano.

Prima di effettuare le valutazioni numeriche, si è deciso di graficare la forza impulsiva data dal

martello nel dominio del tempo. Si osserva che lo strumento fornisce il valore in Volt quindi si è

proceduto con conversone in Newton (figura 1).

Figura 3. Forza impulsiva del martello nel dominio tempo 5

Successivamente si è deciso di ripulire il segnale, per eliminare il “rumore” di fondo generato

probabilmente dalle vibrazioni locali e inoltre centrare il picco degli impulsi al tempo t=0.

Figura 4. Segnale ripulito

In maniera analoga alla forza, si sono convertiti i valori dell’accelerazione, misurata in differenza di

2

potenziale, in m/s ed in seguito si estrapolano per tutti i piani i dati rappresentanti la direzione

parallela ad essi in linea con l’ipotesi di telaio shear-type. Di seguito si riportano i risultati ottenuti.

Figura 5. Accelerazioni dei tre piani 6

A partire dai dati registrati durante le prove si vuole ricavare la matrice H(ω) di risposta complessa

in frequenza. I singoli elementi H rappresentano la risposta complessa in frequenza nel nodo i-

ij

esimo eccitato da una forza impulsiva nel nodo j. Avendo considerato soltanto le prove sul terzo

piano l’obiettivo si limita alla valutazione della colonna H .

i3

Tale passaggio richiede la valutazione del vettore della risposta del sistema Q’’(ω) che viene

calcolato tramite la trasformata di Fourier del vettore delle accelerazioni nel tempo q’’(t). Fino a

qua si è lavorato sulle accelerazioni (Q’’); volendo valutare la risposta in termini di spostamenti

2

durante l’operazione si genera un termine ω che divide le accelerazioni in frequenza. A livello

teorico è utile osservare che nel grafico dello Spettro di Fourier della risposta in termini di

accelerazione si evidenziano dei picchi che corrispondono alle frequenze dei modi. Inoltre mi

consente di ripulire i primi modi che rappresentano la risposta quasi-statica. n

Tuttavia conoscendo la risposta per passi discreti si deve utilizzare la DFT che lavora su 2 punti

corrispondenti alla potenza più prossima alla lunghezza del segnale campionato: di conseguenza si

taglia il segnale alla minima lunghezza di campionamento delle tre prove in modo tale da evitare il

fenomeno dell’aliasing quando lavora la FFT sul software Matlab.

Q(ω)

(ω) =

La matrice H si ottiene con la seguente formula: F(ω)

In modo conveniente si vuole ottenere un numero complesso solo al numeratore (rappresentante

la fase, essenziale per la valutazione del verso del moto) mantenendo un denominatore reale. Si

moltiplicano entrambi i membri del rapporto per il coniugato di F.

∗

Q(ω)F (ω)

(ω)

= ∗

F(ω)F (ω)

Avendo a disposizione 3 misurazioni sullo stesso piano si effettua il calcolo valutando una media

sul numero di prove sia dello Spettro della risposta Q(ω) per ogni piano sia della forza F(ω).

=

I termini della colonna H sono calcolabili banalmente come: 3

i3

3 7

Essi contengono una parte reale e una immaginaria. Si rappresentano in seguito il modulo

(ampiezza) e la fase.

Figura 6. Modulo e fase della matrice di risposta complessa nel dominio della frequenza

Attraverso la prima figura si riescono a valutare le frequenze dei modi associati alla struttura reale.

Nella seconda invece si evidenziano gli sfasamenti tra i diversi gdl nei pressi dei picchi. Essi

rispecchiano i modi teorici valutati a priori tramite il problema agli autovalori che vengono

rappresentati in seguito: Figura 7. Primo modo 8

Figura 8. Secondo modo

Figura 9. Terzo modo 9

Per valutare dinamicamente una struttura servono tre informazioni: frequenze, autovettori e

smorzamento. Tramite queste informazioni descriviamo la struttura modalmente. La prima

informazione ricavata è il valore delle frequenze:

2.2 – Frequenze:

Modo Frequenza teorica [Hz] Frequenza sperimentale [Hz]

1 5.17 4.88

2 16.61 14.81

3 28.62 23.08

Tabella 1. Frequenze teoriche e sperimentali

Si nota che le frequenze calcolate tramite metodo teorico del problema agli autovalori e quelle

valutate dal grafico sperimentale, differiscono perché l’ipotesi di piano infinitamente rigido a

flessione non è pienamente rispettato dalle tre aste di alluminio utilizzate nel modello di laboratorio.

Ovviamente questa differenza risulta più marcata all’aumentare del modo.

2.3 – Smorzamento:

L’incertezza nel ricavare le frequenze è piccola perché dipende solo dalla temperatura. Mentre lo

smorzamento risulta essere molto più incerto perché dipende da un insieme di fattori: materiali,

particolari costruttivi, finiture, ampiezza di oscillazione.

Se i picchi sono ben separati (osservato nel grafico delle Q’’), allora localmente posso vedere il

sistema come ad un grado di libertà. Questa considerazione prende luogo filtrando la funzione di

risposta nei pressi di ogni picco a pulsazione ω . Dividendo i picchi posso ricavare ξ con i metodi del

k k

sistema ad un grado di libertà:

• Decremento logaritmico;

• Larghezza di banda;

La valutazione dello smorzamento risulta essere approssimata ma permette di effettuare il calcolo

degli autovettori reali. 10

2.3.1 - Larghezza di banda:

Dato che H(ω) è nota per passi discreti, in generale il massimo reale non corrisponde al massimo

,

misurato, per avere un valore ottimale dello smorzamento esso si valuta per due frequenze ( )

√2.

corrispondenti ad un valore pari al rapporto del massimo misurato diviso Ovviamente i valori

corrispondenti