Analisi matematica uno - Testi e soluzioni

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA COGNOME e NOME:

Facoltà di Ingegneria FIRMA:

docente: A.O.Caruso MATRICOLA:

C.d.L. in Ing. Elettrica e Meccanica REGOLARITÀ STUDI: In Regola Ripetente Fuori Corso

Anno Accademico 2007/ 2008 PROGRAMMA DEL PROF.:

Prova Scritta di Analisi Matematica I del 01/12/2007 CORSO SEGUITO NELL’A.A.:

Non è consentito l’utilizzo di testi, dispense, formulari, ne’ di calcolatori. È vietato comunicare con i colleghi. Si danno chiarimenti solamente in

merito all’interpretazione del testo. Tempo a disposizione: due ore. Durante la prova scritta non è possibile uscire dall’aula, a meno che non si

abbia una reale necessità o si decida di ritirarsi. Per svolgere i calcoli in brutta copia è possibile utilizzare tutti i fogli a quadretti di cui si ha

bisogno; va però consegnato un solo foglio a quadri di bella copia, autenticato con firma e matricola; il presente foglio va comunque restituito

correttamente compilato, anche nel caso in cui si decida di ritirarsi, al fine di consentire il riconoscimento del candidato. Verranno considerati

nulli i compiti privi dei dati sufficienti a riconoscere il candidato e la sua regolarità negli studi. Per superare la prova occorre affrontare

correttamente almeno due fra i punti E1),E2),E3) ed il punto E4). Il non attenersi alle suddette regole comporta l’annullamento della prova.

E1) Calcolare almeno uno fra i seguenti limiti (preferibilmente evitando l’utilizzo del teorema di de l’Hôpital):

ln n!

1

lim 2 ln(cos lim

x) , ,

sin2 x 2

n

n→+∞

x→0 p 2

1 + ln(1 + sin ) − cos

3 x x

e

n lim

lim , .

√ 2

5x

n n

n→+∞ x→0

E2) Studiare il carattere di almeno una fra le seguenti serie:

√ ∞ ∞

∞ (2n)! cos(nπ)

− 1

1 n

X X

X √ √

√

ln , , .

2 3

n n!

3 n + +1+ +2

n n n

n

n=0 n=0

n=2

E3) Svolgere almeno uno fra i seguenti due esercizi:

– Calcolare dx

Z ;

2 (x + 1)

x

– Studiare l’integrabilità della funzione 1 1

(x) = sin · ln 1 +

f x x

α

in [1, +∞[ al variare del parametro ≥ 0

, α .

E4) Studiare la funzione definita dalla posizione

f

|x|+1

−

(x) = + |x| 2

f x ,

|x|

e tracciarne un grafico qualitativo.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA COGNOME e NOME:

Facoltà di Ingegneria FIRMA:

docente: A.O.Caruso MATRICOLA:

C.d.L. in Ing. Elettrica e Meccanica REGOLARITÀ STUDI: In Regola Ripetente Fuori Corso

Anno Accademico 2007/ 2008 PROGRAMMA DEL PROF.:

Prova Scritta di Analisi Matematica I del 10/05/2008 CORSO SEGUITO NELL’A.A.:

Non è consentito l’utilizzo di testi, dispense, formulari, ne’ di calcolatori. È vietato comunicare con i colleghi. Si danno chiarimenti solamente in

merito all’interpretazione del testo. Tempo a disposizione: due ore. Durante la prova scritta non è possibile uscire dall’aula, a meno che non si

abbia una reale necessità o si decida di ritirarsi. Per svolgere i calcoli in brutta copia è possibile utilizzare tutti i fogli a quadretti di cui si ha

bisogno; va però consegnato un solo foglio a quadri di bella copia, autenticato con firma e matricola; il presente foglio va comunque restituito

correttamente compilato, anche nel caso in cui si decida di ritirarsi, al fine di consentire il riconoscimento del candidato. Verranno considerati

nulli i compiti privi dei dati sufficienti a riconoscere il candidato e la sua regolarità negli studi. Per superare la prova occorre affrontare

correttamente almeno due fra i punti E1),E2),E3) ed il punto E4). Il non attenersi alle suddette regole comporta l’annullamento della prova.

E1) Calcolare almeno uno fra i seguenti limiti (preferibilmente evitando l’utilizzo del teorema di de l’Hôpital):

√ 1

2x ln (2n) arctan n!

n

√

1− x n

lim lim n

, ,

sin 2x (2n)!

+ n→+∞

x→0 3 2

arctan ln(1 + )

ln[(2n)!] x x x

−

lim

lim .

,

√ sin

x x

3

2 n −

n→+∞ x→0

E2) Studiare il carattere di almeno una fra le seguenti serie:

√ √

2

∞ ∞ ∞

ln +2 2

n n n

− −

X X X

(−1) (−1)

n n n!

, x , x .

, R

√ ∈

4

n 2 3

+

n n

n=1 n=1 n=0

E3) Svolgere almeno uno fra i seguenti due esercizi:

– Calcolare 2 1

Z x − dx ;

3 2

(2x + 1)

x 1

– Studiare l’integrabilità della funzione (x) = in ]0, 1[ .

f √

1− x

E4) Studiare la funzione definita dalla posizione

f 3x arctan

(x) = x ,

f −

2

1 + x

e tracciarne un grafico qualitativo.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA COGNOME e NOME:

Facoltà di Ingegneria FIRMA:

docente: A.O.Caruso MATRICOLA:

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica e Meccanica REGOLARITÀ STUDI: In Regola Ripetente Fuori Corso

Anno Accademico 2007/ 2008 PROGRAMMA DEL PROF.:

Prova Scritta di Analisi Matematica I del 22/01/2008 CORSO SEGUITO NELL’A.A.:

LEGGERE ATTENTAMENTE QUANTO SEGUE PRIMA DI AFFRONTARE LA PROVA SCRITTA

Durante la prova scritta non è consentito l’utilizzo di testi, dispense, formulari, né di calcolatori; lo studente dovrà depositare l’eventuale

zaino, borsa, etc. dove indicato dall’assistente di turno: eventuali telefoni cellulari, etc. vanno lasciati spenti dentro la borsa. E’ vietato

comunicare con i colleghi; è possibile ricevere chiarimenti solamente in merito all’interpretazione del testo. Durante la prova scritta non

è possibile uscire dall’aula, a meno che non si abbia una reale necessità o si decida di ritirarsi. Tempo a disposizione: tre ore e mezza

(3.5 ore) complessive per affrontare la Parte A e la Parte B. Gli studenti che allo scadere delle tre ore e mezza non avranno consegnato,

dovranno rimanere seduti: passerà l’assistente di turno a ritirare gli elaborati. Per svolgere i calcoli in brutta copia è possibile utilizzare

tutti i fogli a quadretti di cui si ha bisogno; vanno però consegnati solamente il testo della prova scritta debitamente compilato in tutte

le sue parti e due fogli a quadri, entrambi in bella copia, uno relativo alla Parte A e l’altro relativo alla Parte B; entrambi i due fogli di

bella copia consegnati dovranno riportare in scrittura chiara e leggibile: 1) Nome e Cognome dello studente a stampatello; 2) Firma dello

studente; 3) Matricola dello studente completa in tutte le nove (9) cifre. Nel caso in cui si decida di ritirarsi, dovrà essere consegnato

il testo della prova scritta debitamente compilato in tutte le sue parti, al fine di consentire il riconoscimento del candidato. E’ possibile

utilizzare solamente una penna con inchiostro indelebile di colore blu o nero, non è possibile adoperare correttori: le cancellature vanno

fatte con la stessa penna che si adopera per scrivere lo svolgimento della prova. Verranno considerati nulli gli elaborati privi dei dati

sufficienti a riconoscere il candidato. In generale, il non attenersi alle suddette regole, comporta l’annullamento della prova. Come

affrontare la Parte A: Occorre svolgere correttamente almeno tre dei quattro esercizi proposti. Come affrontare la Parte B: Occorre dare

correttamente almeno 2 delle 4 definizioni proposte, dimostrare correttamente almeno un teorema “difficile” ed almeno un teorema “più

facile” fra i tre teoremi proposti, che vanno comunque enunciati correttamente tutti e tre. Il punteggio finale, in trentesimi, sarà dato

dalla media aritmetica dei voti conseguiti in entrambe le due prove che, a loro volta, sono singolarmente superate quando si ottiene un

voto non inferiore a 18/30. A conferma e completamento della votazione ottenuta nella prova scritta, qualche ulteriore domanda potrebbe

essere fatta allo studente prima di registrare la materia.

PROVA N.1 PARTE A

Svolgere i seguenti esercizi: 2 2

1) Studiare la funzione definita dalla posizione (x) = − 1 − ln |x − 2|, e tracciarne un grafico qualitativo.

f x n α al variare del parametro reale ∈

2) Studiare il carattere della serie di termine generale = α

a R.

n 2−α

ln n

3) Calcolare, possibilmente tramite approssimazione asintotica, il

√

ln(cosh − cos 2x +

x) x x

√

lim .

2

4 + − 2

+ x

x→0

(n) (x)

f

1 calcolare ∀n ∈ ≥ 1.

4) Posto (x) = , n

f N,

x+2 n! PROVA N.1 PARTE B

corredandole, se lo si ritiene opportuno, di esempi e/o controesempi significativi:

Dare le seguenti definizioni

1) Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale.

2) Definizione di funzione iniettiva.

3) Definizione di funzione continua.

4) Definizione di insieme compatto.

corredando le dimostrazioni, se lo si ritiene opportuno, di esempi e/o controesempi

Dimostrare i seguenti teoremi

significativi:

1) Teorema ponte fra i limiti di funzioni ed i limiti di successioni.

2) Caratterizzazione degli insiemi chiusi in R.

3) La Convergenza assoluta di una serie numerica ne implica la convergenza semplice.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA COGNOME e NOME:

Facoltà di Ingegneria FIRMA:

docente: A.O.Caruso MATRICOLA:

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettrica e Meccanica REGOLARITÀ STUDI: In Regola Ripetente Fuori Corso

Anno Accademico 2007/ 2008 PROGRAMMA DEL PROF.:

Prova Scritta di Analisi Matematica I del 22/01/2008 CORSO SEGUITO NELL’A.A.:

LEGGERE ATTENTAMENTE QUANTO SEGUE PRIMA DI AFFRONTARE LA PROVA SCRITTA

Durante la prova scritta non è consentito l’utilizzo di testi, dispense, formulari, né di calcolatori; lo studente dovrà depositare l’eventuale

zaino, borsa, etc. dove indicato dall’assistente di turno: eventuali telefoni cellulari, etc. vanno lasciati spenti dentro la borsa. E’ vietato

comunicare con i colleghi; è possibile ricevere chiarimenti solamente in merito all’interpretazione del testo. Durante la prova scritta non

è possibile uscire dall’aula, a meno che non si abbia una reale necessità o si decida di ritirarsi. Tempo a disposizione: tre ore e mezza

(3.5 ore) complessive per affrontare la Parte A e la Parte B. Gli studenti che allo scadere delle tre ore e mezza non avranno consegnato,

dovranno rimanere seduti: passerà l’assistente di turno a ritirare gli elaborati. Per svolgere i calcoli in brutta copia è possibile utilizzare

tutti i fogli a quadretti di cui si ha bisogno; vanno però consegnati solamente il testo della prova scritta debitamente compilato in tutte

le sue parti e due fogli a quadri, entrambi in bella copia, uno relativo alla Parte A e l’altro relativo alla Parte B; entrambi i due fogli di

bella copia consegnati dovranno riportare in