Analisi matematica II - Esercizio 6

Esercizi proposti nell’ambito del corso di Analisi Matematica II

Prof. Lignola - Anno Accademico 2009-2010

n.6 n

Data una funzione f reale definita in un sottoinsieme aperto A di R :

- quando x ∈ A si dice di massimo relativo per f o di massimo assoluto per f ?

o

- se f é derivabile in x ∈ A secondo una direzione e x é un punto di massimo rela-

o o

tivo per f , come risulta la derivata direzionale in quel punto?

- se f é derivabile in x ∈ A rispetto a tutte le variabili e x é un punto di massimo

o o

relativo per f , come risulta il vettore gradiente in tal punto?

- se n = 2 e f é differenziabile in (x , y ) ∈ A e (x , y ) é un punto di minimo relativo

o o o o

per f , come risulta il piano tangente al diagramma di f in (x , y , f (x , y ))?

o o o o

- quali sono le condizioni necessarie perché x sia un punto di minimo o di massimo rel-

o

2

ativo, nell’ipotesi che f ∈ C (A)?

- quali sono le condizioni sufficienti?

1) Si determinino gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo della seguenti funzioni:

3 4

f (x, y) = x y

1 2 2

f (x, y) = x − xy

2 2

(x−y)

f (x, y) = e

3

f (x, y) = sen(x + y)

4 3

f (x, y) = y − yx

5 q 2 2

4 − (x + y )

f (x, y) =

6 2 4

f (x, y) = x − yx

7 2

x −y

f (x, y) = e

8 1