Analisi matematica II - Esercizio 13

Esercizi proposti nell’ambito del corso di Analisi Matematica II

Prof. Lignola - Anno Accademico 2008-2009

n.15

− Si calcoli il flusso del campo vettoriale w(x, y, z) = yi + xk, attraverso la superficie ottenuta dalla

− ≤ ≤

rotazione intorno all’asse z del segmento del piano yz d’equazione y = 3 z, 1 z 2, orientata in modo

che la terza componente del versore normale sia positiva.

− Si calcoli il flusso del campo vettoriale w(x, y, z) = zj + yk, attraverso la superficie ottenuta dalla

≤ ≤

rotazione intorno all’asse y del segmento del piano yz d’equazione z = y + 1, 0 y 2, orientata in modo

che la seconda componente del versore normale sia negativa.

− −zi

Si calcoli il flusso del campo vettoriale w(x, y, z) = + xyk, attraverso la superficie ottenuta dalla

≤ ≤

2 2

rotazione intorno all’asse y dell’arco di circonferenza del piano yz d’equazione y + z = 4, 0 z 1,

orientata in modo che la seconda componente del versore normale sia positiva.

− −

Si calcoli il flusso del campo vettoriale w(x, y, z) = yzi xk, attraverso la superficie ottenuta dalla

≤ ≤

2

rotazione intorno all’asse x dell’arco di parabola del piano zx d’equazione z = x , 1 x 2, orientata in

modo che la prima componente del versore normale sia negativa.

− 2 2

Sia S la superficie chiusa ottenuta unendo la porzione di superficie cilindrica d’equazione x + z = 1,

delimitata dai piani d’equazione y = 1 e y = 2, ai due cerchi di base. Si calcoli il flusso entrante in S del

campo vettoriale w(x, y, z) = yi + zk.

− 2 2 2

Sia S la superficie chiusa ottenuta unendo la porzione di superficie sferica d’equazione x + y + z = 1,

≥

contenuta nel semispazio y 0, al cerchio del piano zx di centro (0, 0, 0) e raggio 1. Si calcoli il flusso uscente

−

da S del campo vettoriale w(x, y, z) = yi xk.

− 2 2 2

Sia S la superficie chiusa ottenuta unendo la porzione di superficie sferica d’equazione x + y + z = 4,

≤

contenuta nel semispazio z 0, al cerchio del piano xy di centro (0, 0, 0) e raggio 2. Si calcoli il flusso

entrante in S del campo vettoriale w(x, y, z) = yj + zk.

− Detto D il quadrato del piano xy di vertici (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), si consideri la porzione di

superficie, S , di equazione z = 1 + xy che si proietta in T , orientata concordemente con l’asse z e si calcoli

il flusso attraverso S del campo vettoriale w(x, y, z) = xy i + z j.

− Detto C il cerchio del piano yz di centro (0,0,0) e raggio 1, si calcoli il flusso del campo vettoriale

−

w(x, y, z) = z j y k attraverso la porzione S di superfice di equazione x = 2 + y , che si proietta in C e

orientata in modo che la prima componente del versore normale sia negativa. ′

− − ≥

2 2

Siano S la porzione di paraboloide di equazione z = 4 (x + y ) con z 0 e S il cerchio del

′

∪

piano z = 0 di centro (0,0,0) e raggio 2. Si determini il flusso entrante nella superficie chiusa S S del

− 2 2

campo vettoriale w(x, y, z) = (y x)i + (x + y )k .

− Sia S la porzione di superficie cilindrica di curva generatrice la semicirconferenza del piano yz di centro

≥

(0,0,0) e raggio 1 con z 0 e generatrici parallele all’asse x compresa tra i piani x = 1 e x = 3, orientata

in modo tale che la terza componente del versore normale sia negativa. Si calcoli il flusso attraverso S del

− 2 2

campo vettoriale w(x, y, z) = yxi (x + y )j . 1