Analisi matematica II - Esercizio 11

Esercizi proposti nell’ambito del corso di Analisi Matematica II

Prof. Lignola - Anno Accademico 2009-2010

n.10

1. Si calcoli la circuitazione del campo vettoriale − −

v(x, y) = (x + 2y)i (x y)j

lungo ognuna delle seguenti curve:

- l’arco di parabola di rappresentazione parametrica: ∈

2

p(t) = (−t , t) t [−2, 1]

−2)

di primo estremo (−4, e ultimo estremo (−1, 1);

- l’ asteroide di rappresentazione parametrica: ∈

3 3

p(t) = (cos t, sen t) t [0, 2π]

orientata positivamente;

- la semicirconferenza di rappresentazione parametrica: ∈

p(t) = (1 + cos t, 1 + sen t) t [π, 2π]

di primo estremo (2,1) e ultimo estremo (0,1).

2. Si studino i seguenti campi vettoriali, determinando per ognuno di essi:

- l’insieme di definizione A,

- le proprietá topologiche di A,

- le proprietá del campo stesso: irrotazionalitá, se é gradiente, e, in caso affermativo, l’espressione di un suo

potenziale scalare. ( ) ( )

2x 1

v(x, y) = y + i + x + j ,

2 2

y + x y + x

( ) ( )

x x

v(x, y) = + log(x+y) i + j ,

x+y x+y

( ) ( )

2x 1 −

v(x, y) = + cos(x−y) i + cos(x−y) j ,

2 2

y+x y+x

( ) ( )

√

y x

√ √

√ i + j ,

v(x, y) = − −

2 2

2 x 1 x y 1 x y

( ) ( )

1 2y

−

v(x, y) = sen(x−y) i + + sen(x−y) j .

2 2

x+y x+y

1