Analisi matematica - Formulario

Formule di trigonometria Archi associati

− −

cos(π + t) = cos t, sin(π + t) = sin t, tg (π + t) = tg t,

− − − − −tg

cos(π t) = cos t, sin(π t) = sin t, tg (π t) = t,

− −cotg

cos(π/2 + t) = sin t, sin(π/2 + t) = cos t, tg (π/2 + t) = t,

− − −

cos(π/2 t) = sin t, sin(π/2 t) = cos t, tg (π/2 t) = cotg t,

− −tg

cos(−t) = cos t, sin(−t) = sin t, tg (−t) = t.

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione

−

cos(t t ) = cos t cos t + sin t sin t ,

1 2 1 2 1 2

−

cos(t + t ) = cos t cos t sin t sin t ,

1 2 1 2 1 2

− −

sin(t t ) = sin t cos t sin t cos t ,

1 2 1 2 2 1

sin(t + t ) = sin t cos t + sin t cos t ,

1 2 1 2 2 1

tg t + tg t

1 2

tg (t + t ) = ,

1 2 −

1 tg t tg t

1 2

−

tg t tg t

1 2

− ,

tg (t t ) =

1 2 1 + tg t tg t

1 2

sin 2t = 2 sin t cos t ,

2

2 −

cos 2t = cos t sin t ,

2tg t

tg 2t = .

2

−

1 tg t

Formule di Werner e di prostaferesi

1 −

[sin(t + t ) + sin(t t )] ,

sin t cos t =

1 2 1 2 1 2

2

1 − −

sin t sin t = [cos(t t ) cos(t + t )] ,

1 2 1 2 1 2

2

1 −

cos t cos t = [cos(t t ) + cos(t + t )] ,

1 2 1 2 1 2

2 −

p + q p q

sin p + sin q = 2 sin cos ,

2 2

−

p + q p q

−

sin p sin q = 2 cos sin ,

2 2

−

p + q p q

cos p + cos q = 2 cos cos ,

2 2

−

p + q p q

− −2

cos p cos q = sin sin .

2 2

Formule di bisezione

r r

−

t 1 cos t t 1 + cos t

sin = , cos = .

2 2 2 2

Formule parametriche

2

−

2t 1 t x

sin x = , cos x = dove t = tg

2 2 2

1 + t 1 + t

Funzioni iperboliche: relazioni fondamentali

2 2 2 2

−

cosh x sinh x = 1, cosh 2x = cosh x + sinh x sinh 2x = 2 sinh x cosh x 2

Tabella delle derivate fondamentali

0

f (x) f (x)

n n−1 ∈

x nx n N

α α−1 ∈

x αx x (0, +∞)

x x

a a log a a> 0

1 1 6

log x = log e a > 0, a = 1

x

a a

x log a

sin x cos x

−

cos x sin x

1 2

tg x = 1 + tg x

2

cos x

1 2

− −1 −

cotg x = cotg x

2

sin x 1

arcsin x p 2

−

1 x

−1

arccos x p 2

−

1 x

1

arctan x 2

1 + x

1

arcotg x - 2

1+ x

sinh x cosh x

cosh x sinh x

1 2

−

tanh x = 1 tanh x

2

cosh x

1 2

− −

coth x = 1 coth x

2

sinh x 1

settsinh x p 2

1 + x

1

settcosh x p 2 −

x 1

1

setttanh x 2

−

1 x

1

settcotg x 2

−

1 x

Serie di Fourier

∞ 2π 2π

X

a + a cos k x + b sin k x ,

k

0 k T T

k=1

T +c T +c T +c

1 2 2π 2 2π

R R R

dove a = f (x)dx, a = f (x) cos k x dx, b = f (x) sin k x dx. Inoltre, l’identità di

0 k k

T T T T T

c c c

Parseval è ∞

T +c

Z T X

2 20 2 2

f (x) dx = T a + (a + b ).

k k

2

c k=1

Operazioni su campi vettoriali

1

Se F = (f , f , f ) è un campo vettoriale di classe C ,

1 2 3 ∂f ∂f ∂f

1 2 3

div F = + + ,

∂x ∂y ∂z

i j k

∂ ∂ ∂

∇∧

rot F = F = ∂x ∂y ∂z

f f f

1 2 3

∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f

3 2 1 3 2 1

− − −

= i + j + k.

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y 3

Sviluppi di McLaurin

∞ k

x

X

x

e = (−∞, +∞)

k!

k=0

∞ 2k+1

x

X k (−∞, +∞)

sin x = (−1) (2k + 1)!

k=0

∞ 2k

x

X k

cos x = (−1) (−∞, +∞)

(2k)!

k=0

∞ 2k+1

x

X

sinh x = (−∞, +∞)

(2k + 1)!

k=0

∞ 2k

x

X

cosh x = (−∞, +∞)

(2k)!

k=0

∞ k

(−1)

X 2k+1

x [−1, 1]

arctan x = 2k + 1

k=0

∞

α

X k

α

(1 + x) = x (−1, 1)

k

k=0

∞ k−1

(−1)

X k

log(1 + x) = x (−1, 1]

k

k=1

∞

1 X k

= x (−1, 1)

−

1 x k=0

Equazioni differenziali

0

1.) y = a(x)y + f (x) x −A(s)

A(x) A(x) R

Soluzione: y(x) = ke + e e f (s)ds, (A(x) è una primitiva di a(x)).

x

0

00 0

2.) y + by + cy = 0

Soluzione: m x m x 2

+ c e , (se m e m sono le soluzioni reali e distinte di m + bm + c = 0);

a) y(x) = c e 1 2

2 1 2

1 mx 2

b) y(x) = (c x + c )e , (se m è la soluzione doppia di m + bm + c = 0);

1 2 p

−bx/2 −bx/2 2

2

−

c) y(x) = c e cos βx + c e sin βx, (dove β = c b /4, se l’eq. m + bm + c = 0 non ha sol. reali).

1 2 Integrali

Z 1

α α+1 6 −1

x dx = x + c se α =

α +1

Z dx |x|

= log + c

x

Z x x

e dx = e + c

x

Z a

x

a dx = + c

log a

Z −

sin x dx = cos x + c

Z cos x dx = sin x + c