Analisi matematica A - domande teoria

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA A

WORK IN PROGRESS

ANNAMARIA MONTANARI

INDICE

1. Insiemi e strutture numeriche
2. Funzioni reali di una variabile reale
3. Numeri Complessi
4. Limiti di successioni e di funzioni
5. Funzioni continue
6. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
7. Integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale
8. Serie numeriche

1. INSIEMI E STRUTTURE NUMERICHE

1. Dati due insiemi A e B, cosa significa che A ⊆ B?
2. Dati due insiemi A e B, cosa significa che A ⊂ B?
3. Che cosa si intende per unione di due insiemi?
4. Che cosa si intende per intersezione di due insiemi?
5. Che cosa si intende per complementare di un insieme?
6. Che cosa si intende per differenza di due insiemi?
7. Quali sono gli assiomi di R?
8. Quali sono gli elementi di N, Z, Q?
9. Cosa afferma il principio di induzione?
10. Che cosa si intende per minimo (massimo) di un sottoinsieme di R?

Date: 16 novembre 2018.

DOMANDE DI TEORIA DI ANALISI MATEMATICA A

WORK IN PROGRESS

11. Che cosa si intende per maggiorante (minorante) di un sottoinsieme di R?
12. Che cosa vuol dire che un sottoinsieme di R è superiormente (inferiormente) limitato?
13. Che cosa vuol dire che un sottoinsieme di R è limitato?
14. In cosa consiste l’assioma di completezza di R?
15. Che cosa si intende per estremo superiore (inferiore) di un sottoinsieme di R?
16. Perché un insieme superiormente limitato ammette estremo superiore finito?

2. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

17. Che cos’è una funzione?
18. Che cosa significa che una funzione è iniettiva (suriettiva)?
19. Che cos'è l’immagine di una funzione?
20. Che cos’è una funzione biiettiva?
21. Che cosa si intende per funzione inversa di una funzione biiettiva?
22. Che cosa si intende per composizione di due funzioni?
23. Che cosa vuol dire che una funzione è crescente (decrescente)?
24. Perché una funzione monotona strettamente e suriettiva è invertibile?
25. Come si definisce il valore assoluto di un numero reale?
26. Quali sono le sue principali proprietà?
27. Quali sono le soluzioni di una generica equazione algebrica di secondo grado in R?
28. Come si determina l’equazione della retta per due punti del piano?
29. Come si definiscono le potenze a esponente naturale di un numero reale?
30. Come si definisce la radice n-esima di un numero reale non negativo?
31. Come si definiscono le potenze a esponente razionale di un numero reale positivo?
32. Quali sono le principali proprietà delle potenze?

Domande di teoria di analisi matematica A

(88) Che cosa dice il teorema di Rolle? Sapreste dimostrarlo?

(89) Che cosa dice il teorema di Lagrange? Sapreste dimostrarlo?

(90) Che cosa dice il teorema di Cauchy? Sapreste dimostrarlo?

(91) Che cosa si può dire della derivata di una funzione monotona? (Precisare bene tutte le condizioni richieste)

(92) Conoscete un risultato che permetta di ottenere informazioni sulla monotonia di una funzione da informazioni sulla sua derivata? Sapreste dimostrarlo?

(93) Come si definiscono le derivate di ordine superiore?

(94) Che cosa vuol dire che una funzione è derivabile n volte?

(95) Cosa vuol dire che una funzione è convessa? (Precisare come deve essere il dominio)

(96) Come si definisce un punto di flesso?

(97) Conoscete un criterio di convessità per funzioni che ammettono derivata seconda?

(98) Sapete enunciare il teorema di L'Hôpital? Sapreste dimostrarlo?

(99) Nell'ipotesi che non esista il limite del quoziente delle derivate, si può dire che non esiste il limite del quoziente delle funzioni di partenza?

(100) Definire cosa s'intende col simbolo di Landau o piccolo

(101) In cosa consiste la formula di Taylor con resto secondo Peano?

7. Integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale

(102) Che cosa si intende per partizione di un intervallo?

(103) Che cosa si intende per somma superiore (inferiore) relativa alla funzione f e alla partizione σ? (precisare bene le ipotesi su f)

(104) Che cosa si intende per integrale superiore (inferiore)?

(105) Che relazione c'è tra l'integrale inferiore e l'integrale superiore?

(106) Quando si dice che una funzione è integrabile?

(107) Conoscete delle condizioni sufficienti per l'integrabilità di una funzione?

(108) Che cosa dice il teorema della media integrale? Sapreste dimostrarlo?

Funzioni Reali di una Variabile Reale

(1) Che cos'è una funzione?

Dati due insiemi A, B ⊂ R, una funzione f: A -> B è una legge che associa a ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di B.

(1-B) Cosa significa che f è iniettiva?

Una funzione f: X -> Y è iniettiva se ∀ x₁, x₂ ∈ X, f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂;

(1-B) Cosa significa che f è biiettiva?

f: X -> Y si dice biiettiva se è sia suriettiva che iniettiva.

• Suriettiva: ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X: f(x) = y
• Iniettiva: vedi sopra

(20) Cosa è l'immagine di una funzione?

Sia f: X -> YL'immagine di f è l'insieme {y = f(x), x ∈ X}

(21) Cosa si intende per funzione inversa a una funzione?

Sia f: X -> Y iniettiva, suriettiva, allora invertibile. Si definisce inversa di f la nuova funzione f^-1: Y -> X tale chef(f^-1(x)) = x ∀ x ∈ Xef^-1(f(y)) = y ∀ y ∈ Y

(22) Cosa si intende per composizione di funzioni?

Siano f: A -> B e g: B -> CSi dice g o f: A -> Ctale che(g o f)(x) = g(f(x)) ∀ x ∈ A

(23) Cosa si intende per funzione crescente (decrescente)?

f: [a,b] -> R

• f si dice crescente (non decrescente) su [a,b] ⇔ x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) >= f(x₂)∀ x₁, x₂ ∈ [a,b]
• f si dice decrescente (non crescente) su [a,b] ⇔ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) <= f(x₂)∀ x₁, x₂ ∈ [a,b]

(40) COME SI DEFINISCONO LE FUNZIONI SIN E COS?

FUNZIONE SENO

sin: [-π/2, π/2] —> [-1, +1]

f(x) = sin x

• x in [-π/2, π/2]
• t in [-1, 1]
• f(x) = f(-x) V x in [-π/2, π/2]
• 2π PERIODICA sin(x) = sin(x + 2πk) V x e [-π/2, π/2] V k e Z

FUNZIONE COSENO

cos: [0, π] —> [-1, 1]

f(x) = cos x

• x in [0, π]
• f(x) = cos(x) = cos(-x)
• 2π PERIODICA

(41) QUALI SONO LE PROPRIETÀ DI SIN(X) E COS(X)?

• sin: R —> [-1, 1] è
  • 2π PERIODICA
  • DISPARI sin(x) = -sin(-x)
• cos: R —> [-1, 1] è
  • 2π PERIODICA
  • PAR cos(x) = cos(-x)

(42) COME SI DEFINISCE LA FUNZIONE ARCSIN?

• sin: [-π/2, π/2] —> [-1, 1]
• su [-1, 1] —> ∃!
• arcsin: [-1, 1] —> [-π/2, π/2]
• ARCSIN(sin x) = x

(57) Enunciare il teorema del confronto per le successioni.

Teorema del criterio di Squeeze

• Hp \(a_n, b_n, c_n\) succ.
• \(a_n \leq b_n \leq c_n\)
• \(c_n \rightarrow \lambda\)
• Th \(b_n \rightarrow \lambda\)

Dim \(\forall \epsilon > 0 \space \exists n \in \mathbb{N}\)

• \(|a_n - \lambda| < \epsilon \quad \forall n \geq \bar{n}\)
• \(|c_n - \lambda| < \epsilon \quad \forall n \geq \bar{n}\)

Siccome un intervallo che restringe con continuità.

e c'è da \(\lim\) di unite. \(b_n \rightarrow \lambda\)

Teorema dei due punti inverso

• Hp \(a_n \leq b_n \leq c_n \quad \forall n \geq \bar{n}\)
• \(a_n \rightarrow \lambda\) con \(\lambda > \epsilon \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\)
• \(c_n \rightarrow \lambda\)
• Th \(b_n \rightarrow \lambda\)

(58) Quando esiste limite di \(a_n\)

per \(m \rightarrow +\infty \quad \lim a_m = +\infty \quad m \rightarrow + \infty\)

Significa

\(\forall H \in \mathbb{R}^+ \space \exists m \in \mathbb{N} : a_m > H \quad \forall n \geq \bar{m}\)

Enunciare il criterio del massimo per successioni non negative

• Hp \(a_n \geq 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}\)
• \( \lim \frac{a_{m+n}}{a_m} = c \text{ ossia come si compara a_m}\)
• \(\lim a_{m+n} = s \in \mathbb{R}^+ \cup \{+\infty\}\)

Se

• \(s > 1\) \(\Rightarrow a_m \rightarrow +\infty\) infinita
• \(s < 1\) \(\Rightarrow a_m \rightarrow 0\) infinitesima
• \(s = 1\) \emph{criterio non va}