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Ae cos x, Be sin xAxcos 3x, Bxsin 3x06. Una soluzione dell'equazione differenziale y"-6y'+9y=0 è data dalla somma delle funzioni 3xA, Be 3xAx, Be3x 3xAe , Bxe3x 3xAe , Be07. L'integrale generale dell'equazione differenziale y"+2y'-3y=0 è una combinazione lineare delle funzioni cos 3x, sin3x e , 2e-x 3xe , ex -3xx xe cos 3x, e sin 3x08. Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti, ha 1 come unica radice della corrispondente equazione caratteristica. Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è (a, b costanti reali)t tae +btetat+bet tae +betae09. Un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine, a coefficienti costanti, ha 0 e 1 come radici della corrispondente equazione caratteristica. Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è (a, b costanti reali)a+btt tae +bteta+be tat+be10. Un integrale generale
dell'equazione y''-y=0 può essere espresso come-x e^(-bx) cos(x) + b e^(-bx) sin(x) + bx e^(-bx)
Lezione 060 t t t^2 t^0.
La soluzione del problema di Cauchy y''-2y'+y=e, y(0)=1, y'(0)=2 è y(t)=a e^t + b e^(-t) + (1/2)t e^t, con a=0, b=-1
a=1, b=-1
a=b=1
a=0, b=1
A≠0, t^0.
2. Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y''-2y'+y=e, contAe^t At^2 e^t (At+B)e^t
3. L'equazione differenziale completa ay''+by'+cy=cos(t) ha 0 e 1 come radici dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata; allora la forma generale, più semplice, di una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa è Acos(t) + Bsin(t) + At cos(t) + Bt sin(t) + At^2 cos(t)
4. Per il problema di Cauchy y''+ty'+y=0, y(0)=1, y'(0)=0, la funzione f(t)=exp(-t/2), dove exp(x)=e^x, è l'unica soluzione.soluzioneè una soluzione, ma ce n'è esattamenteun'altra è una soluzione, ma ce ne sonoinfinite altrenon è soluzione -2t05. Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"+y'-2y=10e è-2t(at+b)eate -2t-2tae +bae -2t A≠0,t06. L'equazione differenziale y"+y'-2y=te ha la soluzione particolare, per un opportuna2 t(At -t/3)e2 t(At -t/9)et(At-3)e t(At-9)e A≠0,207. Una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"+2y-3t =0 è, per opportune costanti con3 2At +Bt +Ct-3/22(3/2)t +At+B(3/2)t-A2At -3/2 x08. La forma più semplice della soluzione particolare dell'equazione y''-y=e èxA+BexAe x(A+Bx)exAxe 209. L'equazione differenziale completa ay"+by'+cy=3t ha 0 e -1 come radici dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata; alloraesisterà certamente una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa di forma generale (ottimale) 2A+3Bt+Ct2+Dt3 nella lezione 06, 0<t<3π/2.
1. L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y)=2xyexp(x), dove exp(t)=e, lungo la curva data da r(t)=(3cos t, 3sin t), con t che varia da 0 a π, vale (9e3-1)/2 (per risolvere l'integrale, può essere utile la sostituzione u=9cos t).
2. L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x+y-z lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(3cos t,3sin t, 4t), con t che varia da 0 a 5π, vale (8-9π)/5.
3. L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x+y-z lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(2cos t,2sin t, 0), con t che varia da 0 a π, vale 4π.
4. La lunghezza della curva r(t)=(cos t+tsin t, sin t-tcos t), con t che varia da -π a π, è 2π.
5. La lunghezza della curva r(t)=(et,2et,t), con t che varia da 0 a 4π, è 8π.equazione z = 0.equazione z=5y
z=5x-1
z=5y+1
z=5x0
Un campo scalare f ha (2,-1) come gradiente calcolato nel punto P. Allora la derivata di f, calcolata in P, nella direzione di v=(3,4) vale 2/58
28/5
203.
La derivata di f(x,y)=x +sin(y) nella direzione di (3,-4), calcolata nel punto (1,0), vale 3/5
2/52
3.
Il piano tangente al campo scalare f(x,y)=x +sin(y) nel punto (1,0) ha equazione x+y-2z+1=0
2x+y-z=0
2x+y-z-1=0
x+2y-z=0
Il piano tangente al grafico di z=x+xy nel punto (0,0,0) ha equazione z=x
z=x-y
z=0
z=x+y
Lezione 0700
1. Il campo scalare f(x,y)=2xy/(x+y) ha un punto di minimo e un punto di massimo
ha un punto di minimo e un punto di sella
non ha punti stazionari
2. Il campo scalare f(x,y)=xy-x -y ha due punti di massimo
un punto di minimo e un punto di massimo
un punto di sella e un punto di massimo
un punto di sella e un punto di minimo
3. Il campo scalare f(x,y)=3x +y -x y+1 ha un punto di minimo e un punto di massimo
un punto di minimo e due punti di sella
un punto di massimo,
- uno di minimo e uno di massimo: <strong>uno di minimo</strong> e uno di massimo
- un punto di massimo e un punto di sella: <strong>un punto di massimo</strong> e un punto di sella
- il campo scalare g(x,y)=arctan[-f(x,y)] ha A come punto di massimo, nulla si può dire su B: il campo scalare g(x,y)=arctan[-f(x,y)] ha <strong>A come punto di massimo</strong>, nulla si può dire su B
- B come punto di sella, nulla si può dire su A come punto di minimo e B come punto di sella: B come punto di sella, nulla si può dire su A come punto di minimo e B come punto di sella
- Per il campo scalare f(x,y)=ln(1+x)+y-3y(2,1) è punto di minimo, (2,-1) è di massimo: Per il campo scalare f(x,y)=ln(1+x)+y-3y(2,1) è punto di minimo, (2,-1) è di massimo
- (0,1) è punto di minimo, (2,-1) è di massimo: (0,1) è punto di minimo, (2,-1) è di massimo
- (0,1) è punto di minimo, (0,-1) è di sella: (0,1) è punto di minimo, (0,-1) è di sella
- (2,1) è punto di minimo, (0,-1) è di massimo: (2,1) è punto di minimo, (0,-1) è di massimo
- Per il campo scalare f(x,y)=arctan(1+x)+exp(y), dove exp(t)=e, il punto P=(0,0) è un punto di minimo locale, non assoluto: Per il campo scalare f(x,y)=arctan(1+x)+exp(y), dove exp(t)=e, il punto P=(0,0) è un punto di minimo locale, non assoluto
- un punto di minimo assoluto: <strong>un punto di minimo assoluto</strong>
- un punto di sella: <strong>un punto di sella</strong>
- il campo scalare f(x,y)=2x-2y+(x-y)-2x+2y ha esattamente due punti di sella, un punto di minimo e un punto: il campo scalare f(x,y)=2x-2y+(x-y)-2x+2y ha esattamente due punti di sella, un punto di minimo e un punto
Due punti di sella, un punto di minimo e uno di sella, due punti di minimo, un punto di sella e un punto di massimo f(x,y)08.
Il campo scalare f(x,y) ha A come punto di massimo e B come punto di sella. Allora il campo scalare g(x,y)=e ha B come punto di sella, nulla si può dire su A come punto di massimo, nulla si può dire su B come punto di massimo e B come punto di sella, A come punto di minimo e B come punto di sella 4 3 2 209.
Il campo scalare f(x,y)=x +y -4x -3y ha almeno 2 punti di minimo e 2 di sella, almeno 2 punti di minimo e al più 2 di sella, almeno 2 punti di massimo e 2 di minimo, almeno un punto di massimo e al più 2 di sella 210.
Il campo scalare f(x,y)=ln(x+y)+x -y ha (-1/2,3/2), (1,0) e (0,1) come punti di sella, (-1/2,3/2) come punto di sella, (1,0) e (0,1) come punti di massimo, (-1/2,3/2) come punto di massimo 211.
Il campo scalare f(x,y)=xy+y -3x ha (-6,3) come punto di massimo, (6,-3) come punto di massimo, (-6,3) come punto di sella, (6,-3) come punto di sella 2 212.
minimo locale, C è un punto di massimo locale. 3massimoC è un punto di minimo locale, B è un punto di sellaD è un punto di minimo locale, B è un punto di massimo localeB è un punto di minimo locale, C è un punto di sella2 4 218. Il campo scalare f(x,y)=x -2x+y +y ha(1,0) punto di massimo(1,0) punto di minimo(1,-1) punto di sella(1,0) punto di minimo e (1,-1) punto di sellaLezione 076 3 2 2 201. Il campo vettoriale F(x,y,z)=(z +6xy , 6x y+1, 3xz ) èirrotazionale, non conservativonon conservativo e nonsolenoidale solenoidaleconservativo02. Per un campo vettoriale F, l'unica affermazione, fra le seguenti, che in generale non vale èSe F è conservativo, allora è anche irrotazionaleSe F è conservativo, allora ammette unpotenzialeSe F è irrotazionale, allora è conservativo
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