Analisi I: Taylor, derivate, studi di funzione

Analisi I - Taylor, derivate, studi di funzione

1. Si studino le seguenti funzioni:

   f(x) = sin x + e^-x

   g(x) = cosh x = ^{ex + e-x}/₂

   determinando insiemi di definizione, continuità e derivabilità. Limiti ed asintoti, intervalli di crescita e decrescenza, massimi e minimi assoluti e relativi, intervalli di concavità e convessità.

   Dimostrare che risulta:

   cosh²x - sinh²x = 1

   e calcolone la derivata della funzione

   f(x) = e^x(coshx - sinhx)

   e spiegane il motivo del risultato ottenuto

2. Stabilire per quali x ∈ R la seguente funzione è conver sa su tutta R

   f(x) = {^ex-1 per x >>

   2x x <>

3. Calcolare il polinomio di Taylor del terzo ordine per f(x) = sinx(e^x-1) in x > 0, per g(x) = log x in x = 2, per h(x) = sinx e k(x) = cosx in x = ^π/₂.

   Si può calcolare il polinomio di Taylor del terzo ordine in 0 per la funzione

   p(x) = {^sinx/_x per x ≠ 0

   1 per x >>