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FORMULA DI TAYLOR
Formula di polinomi
i
Taylor per reale di
plx polinomio
t
1 grado
tant
an da
aot n
un
x derivate
derivabile R di
le
La indefinitivamente in
è
funzione sue
e
p mentre
identicamente nulle mentre
ordine di se
se
sono
n
maggiore della derivata Kma
KKE è
l'espressione
ne 1 n K 1
K
M
t
Zaktax
K
2 1
1 tn
K
Ok amx
m
P x
Difatti 2
a t
x 303
202 Manx
P 2
amxn
603
222
x 7 tn 1
m
p plo
Ponendo ottiene
o
1 X
in 2 a
si p o
an
e K
Queste il
female significato dei
finiscono
del
coefficienti 1
polinomio
tenuto del
La delle
conto dei polinomio
1 coefficienti
espressioni
la forma
assume PIP
PI PI
plx plo x Mae
che di
chiama Laurin polinomi
formula i
si per
il
rappresenta in
La formula polinomio
precedente ponendo
p
valori dalle
assunti
risalto stesso
dal polinomio
i sue
e
È
derivate naturale domandarsi
nel 0 possibile
punto è
se
mediante
il
rappresentare evidenzi
polinomio che
formula
una
assunti dal
valori derivate
stesso dalle
polinomio
i sue
e
punto qualsiasi
in to
un platt Her
Fissato definita alt
ER la funzione
to tale
della
di variabile t
è Applicando
polinomio a
un grado Mae ha
la Laurin
di
formula
polinomio si ho
pirlott
gh'te da abbiamo
quindi
cui e
o p
q
platt Pitty't
PIÈ
pled t
P'Yptt
te ottiene
ponendo si
x X PI
PI
plx pixo Piffero s
x e t x
Tale di
chiama di
Taylor polinomi
formula punto
formula
si i
per
Un unitariamente
di
reale
iniziale polinomio grado è
neo
to noti che
determinato le
valori
i
siamo esso
quando prime
sue
e
derivate derivabile
Se
punto
in è
n f
assumono m
un
I ed
volte nel di
reale
solo
pt polinomio grado
uno
to un poi
le
che verifica
a
superiore uguaglianze
n
non agua
patto f ko
pila
paleo file
glio ha
polinomio
Il che l'espressione
pm 8
glio
pala xd
t x
e g
S'Y della
chiama di di ordine
il Taylor
polinomio funzione
si n
relativo al iniziale
punto
f to tra
la
Rn
Definiamo differenza f e pa
Resto Peano
il di
di
Formula Taylor con
derivabile volte
Se resto Rula
il infinitesimo
in è
è n to un
g RmIx
di ordine
in II
ossia
superiore to
a 0
m
p_g
la classe
di
Supponiamo f to di
tenendo Rula
la
presente
DIMOSTRAZIONE facciamo
definizione
che
vedere 8kt Pak
FI
III fine m
A g D
8
S'E x
e
840 a
six
n n
lim Xo Ix xD
g
Siamo nelle L'Hopital
applicare
di
ipotesi poter
Derivata prima
l xD
Xix
fix 4
N s'Kalle L xo
to In
A a
mix
D e
Derivata seconda Hits Ix e
e
N 8 x
x E'In a
ma
ma
In
D e g ottiene
di
volte L'Hopital
il teorema
1
Applicando si
n a
8 8
81m xD
e
lion e x
x Ix
x D m to
s K 8 ad o
E
fa g
I s
s x
s
a
e
x
In alla
base di dire che
piccolo
definizione a possiamo
olle
Rnk xd X lo
D
per Peano
Possiamo di
resto
di
la il
Taylor
formula
riscrivere con
8
Eg ok
nella forma an
fix a
x
Se di
la Laurin
ottiene Mae
formula
o si EI s oliference
a
gli K
Scriviamo elementari
alcune
tale delle
formula funzioni
per è
è al
L'Ix
fa f
e Tedx 1
L a oli
1 If
E
it
e è 1
1
Emo I lim
e 1 0 0
1
famo X
D O
X
OK
è 1 OK
è 1 x fix
flat Ale
L'K sent
f
8 cose
seme
esse
sen x
x lo lo filo
gli o
0
1
o 1
o g s
g tofana
Ift
f
f
1
2 sente f i Canta
a
2kt Gantz
Efa i
sen x O
1
24
dispari
potenze dispari
funzione
seno ok
o
se seme
senti x
L
fama fama tale
seme X
sente
lite olim
log
3 E a i 272
I
4 X
1
Eos s 0
x an fix
le
fix fila f cost
cos sent
f
sent
x cosa
x
filo O guide
O
1 1
filo
1
flat a
f 01 2
E test
1
figo cost
1 O
E
fino E de
Et
1
cosa
a olio
5 E
tax x LI
Ix tg
E
A la ala MtDNA
3 a
1
6 2
a 1
a
a
1 tax
e 9 n
042
III
fa
7 aretz I ft
Quello stiamo
che le
è
facendo con
funzioni
approssimare
dei polinomi di
punti di
Eritreo massimo
i minimo
e
per
Se indicate
esistono della
derivate fa
sotto
le punto
nel to
funzione
lo
vale schema relativo in
o massimo
g xo to Mi
i relativo
41 8 o
o minimo
s s
Y relativo
L 8
o o massimo
x x
fa
dello
situazione quella
è
Una schema proposto in
generica volte
derivabile qualche
gli è
cui in to 2
n ma e
per
risulta
L'Ira O
L 0 ad
f s
xo e xo l'annullarsi
Consideriamo delle
Per
il 0
caso f
in cui ro
diventa
derivate di
la Tagle
formula
8 Mt
gli Rnk
flea x e s
fla
fix
lim
che
ha f
E In
e si o
anime n
xD
della 7s
Per del
teorema
il 0
permanenza segno
8 Ix Alcs
te O
I o
Se denominatore risulta
positivo
il è
è perciò
xp
x
pari x
n per
la di
tre quindi
giro
fix minima
s punto
lots è un
a e il
Se
relativa dato che
dispari
invece
fix è
n
per
denominatore della cambia
frazione o
maggiore
segno per
risulta
di fu
flea
minore flea
fix e
y oppure xoxo
per
di
ha
Perciò la funzione né
massimo minima
né into
xoxo non
oppure
RESTO DI LAGRANGE
resto
Formula di
Taylor Lagrange
di con t
derivata
ta continua
derivabile volte
Se b f
in
è nta
f con
Ta tra che
I
Kee tale
b numero
un x
Xo
compreso e
flat nta
Rale es x g
Mta Fissati Ta git
DIMOSTRAZIONE definiamo
b
E tra
x y con
EI D
A
s'I K
git t Rale x Mts
A g
8 t th
8 G
D 717
ghe t
It
sit 8 x
x
2
Riky
te
t estremi
nell'intervallo di
risulta derivabile ehi lo
uso e
g dell'intervallo
estremi valori
inoltre fa
i
agli glx
assume e
E xD
glio fix
Rm
8 x
LH x le
d ed
f'ko
glio 8m
glad 8 x x
e
x 2
Rm 84
x ha gli
Essendo che
gli
anche gli
fa si
Rolle Irst
Per teorema di
il g'la
e o
derivata
la git ha
di
Esplicitando si
III
II
8
È II
H
g'It K
K t Rnk
nta
8 Is
t Rna
D nte
x è A
as S'f
cioè s'Ittiti Itlaktstal
A
A D left
s'A 8
g'it s s
x a
D al
I
t D
t Intel 1
L 1 Rnk
t 1
x
a x
x In 1
e
x
a
Sostituendo t ha
il la
valore te 0 quindi
a si es e
xe g
tesi
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