Analisi: i Limiti, Continuità, Formula di Taylor

Analisi I - Limiti, continuità, formule di Taylor

1. Dimostrare che per ogni x ≥ 0, si ha
   • e^x < 1 + x
   • log(1 + x) ≥ x - ^x2/₂
2. Sia
   • f(x) = x³ per 0 ≤ x ≤ 1
   • 2x + a - a per 1 < x ≤ 2
   Determinare a ∈ ℝ in modo che sia applicabile il teorema del valore medio (o teorema di Lagrange) in [0, 2] e calcolare i punti ξ soddisfacenti la tesi del teorema.
3. Sia f(x) = √_x/√_1+x Determinare per quale valore di a è applicabile il teorema di Rolle nell'intervallo [1/4, a] e trovare il punto ξ che verifica la tesi del teorema.
4. Sia f(x) = (^{x2 + 1)} log x/_x Dimostrare che f è invertibile in (0, +∞) e determinare il dominio di f^-1.
5. Calcolare il dominio delle seguenti funzioni:
   • ^{x2 - 2}/_{x(x + 1)}
   • √_{x e^{-1 - x2}}
   • cos √^{1 + x2}
   • (x^3/2 + 1)sin x
   • log | log(cos x) |