Analisi I - Totale

ANALISI I

Appunti per esame totale Analisi I

Politecnico di Milano - Ingegneria

Basato sul libro Analisi I (Bramanti, Pagani, Salsa), Zanichelli

Formula esponenziale N. Complessi

Basata sulla formula di Eulero

e^iθ = cosθ + i senθ

ρe^iθ = ρ (cosθ + i senθ)

È molto conveniente

z₁ ⋅ z₂ = ρ₁ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]

1) z₁ ⋅ z₂ = ρ₁e^iθ₁ ⋅ ρ₂e^iθ₂ = ρ₁ρ₂e^{i(θ₁+θ₂)}

2) zⁿ = [ρe^iθ]ⁿ = ρⁿe^inθ

3) z₁ / z₂ = ρ₁ / ρ₂ e^{i(θ₁−θ₂)}

e^{−2 + 3i} = ? rappresento z

e⁻² ⋅ e³ⁱ = e⁻² ⋅ i³ ⋅ eⁱ³ = e⁻² (cos3 + i sen3)

Ordinamento in R

A ⊆ R

sup_A (esistr. sup.) inf_A (esistr. inf.)

1. M è maggiorante di A se M > x ∀ x ∈ A
2. L è minorante di A se L < x ∀ x ∈ A in ℕ ĀM (sup., +∞), L è 0
3. inf_A → è il più grande dei MINORANTI
4. sup_A → è il più piccolo dei MAGGIORANTI
5. Se inf_A ∈ A => Minimo = inf_A = min_A
6. Se sup_A ∈ A => Massimo = sup_A = max_A

es. A = { x ∈ R | x = 1/n e n ∈ ℕ \ {0} }

? sup_A; inf_A; min_A; max_A

inf_A ma non min_A

Verifico che 0 = inf_A

lim_n→∞ 1/n = -∞ lim_n→0⁺ 1/n = +∞

0 < 1/n < ε

∀n≠0

n>1/ε ∴ vero DIM

Funzione è una relazione che associa per ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

• a è controimmagine di b
• b è immagine di a
• a ∈ dominio
• b ∈ codominio

Dominio naturale (di f) è il più grande sottoinsieme di A dove la legge è ben definito.

Insieme immagine è la totalità degli elementi del codominio effettivamente raggiunti dalla legge.

Quindi im(f) ⊆ B

f(a) = b

Successioni

È una f. che ha dominio in N.

Codominio R

f: N → Rn → f(n)

Grafico della successione

{(x,y) ∈ R² | x = n_n, y = f_n }

Intrinsecamente discretoL_n non è continuo!!!

Algebra dei Limiti

Procedure per confronti, che posso eseguire rigorosamente:

• 1) ∼ "Asintotico"
• 2) Ø "O piccolo"

a_n ∼ b_n se a_n è trascurabile rispetto a b_n

Esempio: a_n = 3n⁴ ∼ 4n⁵ ∼ 5n³

• ⌀(a_n) + ⌀(a_n) = ⌀(a_n)
• ⌀(Ka_n) = K⌀(a_n) = ⌀(Ka_n)

Esempio: ⌀(3n⁴) = ⌀(n²)

Asintotico

a_n ∼ b_n se le due successioni hanno uno stesso limite e ci tendono allo stesso modo

Esempio: a_n = n³ + 4n − 6

Teorema che Lega Asintotico a o-piccolo

a_n ∼ b_n ⟺ a_n = b_n + ⌀(b_n) cioè uno è differenziabile

a_n = (1 + 1/n)ⁿ

se n→∞ → 1^∞

{ (1 + 1/n)ⁿ tende a e

Gerarchie degli infiniti

• a_n = ln n
• b_n = n^k
• c_n = eⁿ

ln(n) = o(n^k)

eⁿ = o(n!)

_{ln n / n} → 0

_{eⁿ / n!} → 0

n! = o(nⁿ)

_{n! / nⁿ} → 0

{ln n} < {n^k} < {eⁿ} < {n!} < {nⁿ}

• Questa gerarchia vale anche se metto delle potenze (positive)

ES (ln n)¹⁰⁰⁰ = o(n^1/1000)

• La proprietà vale se n→+∞ (non già all'inizio!)

Polinomi nell'intorno di∞

2x³ + 3x + 1 se x → +∞ ∼ 2x³

infatti 3x = β(x) e 1 = ϒ(1)

Tutti i polinomi in x ±∞ sono asintotici ai termini di grado massimo

Nell'intorno di 0

4x⁴ - 2x³ + 3x ≃ 3x

2x ≃ (3x)

lim_x→0 2x³ / x² = 2¹ = 0

4x⁴ ≃ β(3x) lim_x→0 4x⁴ / 3x = 0

Limiti notevoli

• lim_x→0 sen x / x = 1

(sen x ≃ x; sen x = x + β(x))

Dimostrazione

per contatto lim_x→0 sen x / x = 1

cos x ≃ sen x / sen x

lim_x→0 cos x = 1

(x Teor. Confronto) sen x / x = 1

lim_x→0 tg 3x / sen 6x

Per x → 0 ben x = Z cos 3x ≃ 1

sen x ≃ 3x + β(x)

3x + β(x) = 1 / (6x + β(x))

Se x → 0 cos 3x ≃ 1 + β(x)

= 3x + β(x)

= 3x + β(x) / 6x + β(x) ≃ 3x/6x ≃ 1/2

Es:

Trova a e b in modo che

• lim_x→π/2 -2senx = 2

• lim_x→π/2 cosx = 0

• lim_x→π/2 asenx + b = a•0 + b

  • a•b = 2
  • a•b = 0

• lim_x→π/2 asenx + b = a

b = 1

a = -1

-senx + 1

Es: Classifica Discontinuità

lim_x→0 e^-1/x

lim_x→0 cosx/senx

t = 1/x

e^-t • t

t→∞

lim_x→0 e^-1/x, 1/x

e⁺ • (-∞) = -∞

4) f(x) = Sech x

5) f(x) = Cosh x

Funzioni derivate

• Non più la derivata puntuale: x₀ non è più fissato, varia in D di f, ovvero in A o in un sottoinsieme se lim_h→0(f(x₀+h) - f(x₀))/h = ∞.

Introduco la funzione derivata

f: A ⊆ R → R

x → y = f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) - f(x))/h

DA' LA PENDENZA DEL GRAFICO IN x

Retta orizzontale

y = k

lim_h→0 (k-k)/h = 0

Retta con pendenza m

y = mx

lim_h→0 (mx₀+mh-mx₀)/h = m

• y = e^x → y' = e^x
• y = ln x → y' = 1/x
• y = sen x → y' = cos x
• y = cos x → y' = -sen x

I punti di ottimo per f(x) lisce sono più stazionari

Teorema di Rolle

HP: f : A = [a_c, b]_i → R

1. Continuo in A
2. Esista, derivabile in (a,b)
3. f(a) = f(b)

1. x - fermat f'(x) = 0

Teorema di Lagrange

HP: f : [a_i, b] → R

1. Continuo su A
2. Derivabile in (a,b), liscio

Dimostrazione