ANALISI I
Appunti per esame totale Analisi I
Politecnico di Milano - Ingegneria
Basato sul libro Analisi I (Bramanti, Pagani, Salsa), Zanichelli
ANALISI I
Appunti per esame totale Analisi I
Politecnico di Milano - Ingegneria
Basato sul libro Analisi I (Bramanti, Pagani, Salsa), Zanichelli
Formula esponenziale n. complessi
Basata sulla formula di Eulero
eiθ = (cosθ + i senθ)
reiθ = r(cosθ + i senθ)
È molto conveniente
- z1 · z2 = r1eiθ₁ · r2eiθ₂ = r1r2ei(θ₁+θ₂)
- zn = [reiθ]n = rn ei(nθ)
- z1 / z2 = r1 / r2 ei(θ₁-θ₂)
x dim. ho usato la trigonometria
e-2+3i = z = rappresento z
e-2 · e3i = e-2 · i3 · e = e-2 (cos3 + i sen3)
Equazioni Quadratiche
(polinomiali di gr. 2)
ax2 + bx + c = 0
x1,2 = -b ± \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) / 2a
[La formula vale anche con i numeri complessi]
La radice deve essere fatta in C
Da 2 soluzioni uguali ma opposte mi sono, quindi non serve
cioè: ±.
Dunque → -b ± \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) / 2a
iz2 + 2z + 1 = 0
z = -1 ± \(\sqrt{1 - i}\)
z1 = -1 + w1/i =
z2 = -1 + w2/i =
w12 = 1 - i
p = \(\sqrt{2}\)
arg -1 = 7 π/4
w12 = \(\sqrt{2}\) [cos \(\frac{7π}{4}\) + i sin \(\frac{7π}{4}\)]
p2 [cos 2Θ + i sin 2Θ] = \(\sqrt{2}\) [cos \(\frac{7π}{4}\) + i sin \(\frac{7π}{4}\)]
- p2 = \(\sqrt{2}\)
- p4 = \(\sqrt{2}\)
- 2Θ = \(\frac{7π}{4}\) + 2kπ
- Θ = \(\frac{7π}{8}\) + kπ
- k = 0
- k = 1
24 [cos \(\frac{7 π}{8}\) + i sin \(\frac{7 π}{8}\)]
\(\sqrt{2}\) [cos \(\frac{15π}{8}\) + i sin \(\frac{15π}{8}\)]
- iz6 + 2z3 + 3i = 0
- z3 = w
iw2 + 2w + 3i = 0
w1,2 = -1 ± 1 + 3/i = (-1 ± 2) · (-i) =
3i -i
3i = (z3)3
z = v3
3i = V3
ρ3(cos 3θ + i sin 3θ) = 3(cos π/2 + i sin π/2)
- ρ3 = 3
- 3θ = π/2 + 2kπ
ρ = 3√ρ3
θ0 = π/6
θ1 = 5π/6
θ2 = 3π
v = z
→ v = v-1
→ v = z
z0 = 3√3[cos(-π/6) + i sin(-π/6)]
z1 = 3√3[cos(-5π/6) + i sin(-5π/6)]
z2 = 3√3[cos(π/2) + i sin(π/2)]
z0 = 33[cos(-π/6) + i sen(-π/6)]
z1 = 33[cos(-5π/6) + i sen(-5π/6)]
z2 = 33[cos(π/2) + i sen(π/2)]
-i = z̅3
1[cos(π/2) + i sen(π/2)] = ρ3[cos 3θ + i sen 3θ]
ρ = 1
3θ = π/2 + 2kπ
θ = π/6 + 2k/3π
Ordinamento in R
A ⊆ R
sup A (estr. sup.)
inf A (estr. inf.)
- M è maggiorante di A se M > X ∀ X ∈ A
- L è minorante di A se L < X ∀ X ∈ A in ℕ ÂM (sup. = + ∞), L è 0
- inf A è il più grande dei MINORANTI
- sup A è il più piccolo dei MAGGIORANTI
- Se inf A ∈ A => Minimo = D inf A = min A
- Se sup A ∈ A => Massimo = D sup A = max A
es. A = { x ∈ R | x = 1⁄n, e ∈ ℕ \ {0} }
- sup A; inf A; min A; max A
Verifico che 0 = inf A
limn → ∞ -1⁄n = -∞
limn → 0+ 1⁄n = +∞
es. (-π; 2
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