Analisi matematica I - programma completo

Teorema sulla permanenza del segno

Se $a_n \to a$ e $b_n \to b$, con $a \neq 0$, allora esiste un intero $N$ tale che per ogni $n \geq N$ si ha:

1. Se $a > 0$, allora $a_n > 0$.
2. Se $a < 0$, allora $a_n < 0$.
3. Se $b > 0$, allora $b_n > 0$.
4. Se $b < 0$, allora $b_n < 0$.

Dimostrazione: Siano $L_a$ e $L_b$ i limiti delle successioni $(a_n)$ e $(b_n)$ rispettivamente. Consideriamo il caso in cui $a > 0$. Per definizione di limite, esiste un intero $N_1$ tale che per ogni $n \geq N_1$ si ha $|a_n - L_a| < \frac{a}{2}$. Inoltre, essendo $a > 0$, possiamo scegliere un intero $N_2$ tale che per ogni $n \geq N_2$ si ha $a_n > \frac{a}{2}$. Prendendo $N = \max\{N_1, N_2\}$, otteniamo che per ogni $n \geq N$ si ha $a_n > 0$, come volevamo dimostrare.

Dimostrazioni simili possono essere fatte per gli altri casi. Pertanto, il teorema è dimostrato.

definizione dalla n' to yasegueoo→ + "haHUD lan' sogliaon trovonon "si nnse,b. astanteltn Successionesi no -1o .'ti '!:* =% ¥!beo "Ibl} scriverepossiamo on n- == - µ%! beoii. ! ".sn :*% .Proposizione ftp.o?nb=tbehV.:( %fb m' [indeterminatoforma ?0» oo→too→ ,,qnt =p bco Innb indeterminatoforma [ ?0 o→ → 0,Successioni monotoneSia chediremo èdnsuccessionein una :know strettamente crescente^ Crescente lnand èannoiarse - È' d-ammantino.IN Vnstrettamente time INcrescente ⇐= annoia mase . ! KnowIoVinellititinelliDecrescente '} Sanamise .. INdecrescente timestrettamente" cana.se {ftp.opnsvpsan3/IIlRTeorema crescentesia monotona Iin sesuccessione anuna:) infsaslio.IR decrescentese a.← limitataDim crescentenel incaso: ehtisupcan nelletti dimostrare liEchedobbiamo}a :a)È proprietàÈ: ivi:# ii. «7. crescentetimone

Perché Iana è il timone del Ecomafiele 1- limite a EGilera rapporto del successione per ?(< . È tu I. finito lo fini I allora sia positivi termini successione an > coin a una :. Lo Se allora^ an sto-,2 allora Ostiase In -90, Successioni logaritmiche esponenziali limiti potenze con e: ,»À!% A. limite preliminarmente esponente calcolare del ilo se occorre,. In Vaio! 2%1:DLEIR ! ? →⇐> o:: in È limar ! " "fi+00 2mi? 3h⇐ →= too! too= : ,: Molto in: O! ! :O: !÷!t.n-s-oo.am/ni?..!ogb4n⇐a- : . dell'limite preliminarmente bio calcolare b argomento E il) 1# se occorre,, ogaitftbg " {) !Hd !§ 1! ! →⇐" !! =? .:b: )!% Linguisti : : nei lira ! 4mi 3h⇐ -2-2? ? oo noo= - ,:b! Io fissi!! ! 3.1= ⇐a. o-=! ! ,!timida dellimite esponente) preliminarmente base calcolare della E il Anto se eoccorre t.iq?m!i::...bnlan)bn=elnHI=ebntnKie--m -9+00 di:{ -2,718È numero neper.

. .." ! """ebnh !base fissa! Tuttoµ !!vantaggio ridotto !:[ è a-e→forme Indeterminate .br/nIan)10.00]tipoF.potenzatipo 1 didadi aiprovengono .,calcolo particolari°o°nel b.In o→so→ casi :: , ! abbb !èb.:b¥ sò! Nadia o :p→ →an -a.- →spiegazioni, , !! ab'"00 ! etna!b. !÷% )" !1I. → ± i - =→ e: ÷.,infinitesimiConfronto infinititra einfinito' infinitesimo"dice dice "In too→ si oa. → si, Intimb. velocementedivergequaledm →totoo → successionebn→ piùcapire seoper, Matosdivergono alla velocitàstessa!Ling infinito ordine rispettobn^ diso è ansuperiorese aun», ! infinitoLing ordine rispetto bendi= èansto superiorese aun», bn% I infiniti!1in ugualeordine} di# o an= sonoese , }M tos !) :( Tendeb. quale→b.In successioneto00 →→ piucapire zeroa:* per, , velocitahanno

lavelocemente stessa 'seo!Ling infinitesimo rispetto b.di ordine^ an superioreso èse aun.. . %Ling infinitesimob. rispettodi ordine? a superioreè anse aun, t.to bn! =L infinitesimiti ugualeordine> dian sonoese :*infinitiGerarchia degli )(infinitologin andati inferiore analogamentet) ordine thmm! diin = per" "! : ot-:..t.in/ig.../ogbiN=oVbooProp b Vado#1,an !Dim tesilogbln) 0→2=1 :[ =supponiamo: » n ).to?int=!:..n1.bgsiN=!i:..bgblnY=!:..bgbfvt .ph! !: ÷Prop ! Van! track tesi? o:p % -. Ècriterioil rapportodelDim Useremo successioni ai: per . ? .itIn:p÷ !: :÷ ": " . !)! ( !! ! !% rapporto1 delttf criterio-0 il!:P %<=; ; per= :; » »Propositi M Van lesA o :=:. !n criterioDim il rapportodelUseremo successioni an =per: ' !: % I.: "÷÷: ÷- .."!!Prop tesi-0" !:.. .in?-:.bmbsifibsi.en--igfs!Dini ÷ ;: !!confrontoosffsfsov.in teorema delil ? 0:

ma per ».in?:!!j!:..?--Esiti infiniti! la! ! degligerarchia? o per= :O:-.limiti notevoli !di Jacob berruti1 ! ?lie: +.. " !" I.=LÌ !" finila crescentedimostra che I^ esclusoSi ?èsuccessione va come"* Ì . Ì' 'hadimostra INche 4Vine crescente+Si "bernoulli2 25 * a.sin a. 2si am= =usaÌÈ la"conclusione Ì; successione converge: "Ì" Limitatasuccessioneè una ! )(! '!generalizzazione tbelp!sia→ ±a. »se: ! """in È! È" "! È ": "ha " " ! %eri ! !òi- "! : : ::.. . . ..figo In !definitivamenteSe ha affari 10In amato→ si =, .È È In! ÷ "semplicità o.tn!÷ !! "! "che 1O' =too =- =supponiamo :[:[ =a. →per ;, . 5hadefinitivamente fi.me;Se 1;dioa. sio→ =, bnsfiq.set.iq )ailnlttbnbie alloraSia " " è

-1=0i.-1 - ;, "».! ! :!ii. ! ! :b usando" 1= :*=,:* ;:% . ?. sfiniti: ^ line m:! % m# limine limiti* notevoli0→ "" "⇐ ":p 1-1 i=e 1. natii =»n nati =- -, '-9+00-9700 MM. M m? ?ti tin nLingha .fi?Int--1fi;...t-coasnfnt=1zdefinitivamenteSe an-so.am # o si ,Stime asintoti che )(bn Asintotidefinitivamentetanto che amnbndicono2 an scrivesian sisuccessioni e e :, ,! :diti "siintimi' :[= :