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Le Matrici
Def
Matn,m(K)
A ∈ Matn,m(K) → R
i riga
j colonna
( a11 a12 ... a1m
a21 a22 ... a2m
...
an1 an2 ... anm )
r ∈ {1, 2, ..., n}
c ∈ {1, 2, ..., m}
A = ( 3 √2 3/2
-1 0 2 )
∈ Mat2,3(R)
a23 = 2
Def. Se m = n
Matn(K)
A = ( 1 ⬤ 5
2 4 8
3 1 2 )
∈ Mat3,3(R)
Quadrata
- Diagonal Principale
- Diagonal Secondaria
Matrici Quadrate Particolari
-
Triangolare Superiore
aij=0 per i>j
Sotto la diag. prin.: numeri nulli
-
Triangolare Inferiore
aij=0 per j>i
-
Diagonale
aij=0 per i≠j
-
Scalare e Diagonale
aij=kr
Elementi su diag. uguali tra di loro
20:
[0, 5] * ([3, 7] + [7, 3]) = 5 * (7, 4)
[0, 7] + [7, 1] = (7, 8)
[0, 15, 5] + [20, 15] = (35, 20)
[0, 5] * [5, 35] = (-5, 40)
- (hk)A: A+hKA
- (kA): kA
Prodotto di 2 Matrici
(Prodotto righe per colonne)
A ∈ Matm,p(hK) e B ∈ Matp,n(hK)
Prod. righe x colonne di A x B
(C = AB) ∈ Matm,n (hK)
Cij si trovano sommando i prodotti termine a termine della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Oss:
(1) A: (2, 1, 0)(3, -1, 6)(0, 0, 7)|A| = 12
(2) A: (0, 0, 1)(0, -7, 0)(-2, 0, 0)|A| = 6
(3) A: (13, 0, 0)(32, -7, 0)(8, 9, 7)|A| = 13
(4) Per ogni k ∈ ℝ |A| = 8)
A = (7-k, 2, k²)(3, k, k)(0, -2, 7)|A| = k·k² - 6·k² + k(7-k) - 6 = -9k² + 3k - 6 = 8
K1,2 = ±3 ± √9 + 72---------------- 18K1 = 2/3
Es. 8
A: 1 7
- 3 3
- 4 5
DetA = 0
Es. 9
A:
- 3 0
- 4 0
- 3 0 1
DetA = 0
Per una proprietà A:
A':
- 0
- 4 2 0
- 0 7 1
DetA = 0
Es. 10
A:
- 7 3 0 4
- -9 7 2 0
- 5 -5 7 1
- 4 4 2 2
DetA: |A| =
- 7
- -5
- 5
- 4
4 [2 -8 -2 + 20] = 48
1) Per ogni k ∈ ℝAk è invariante
K =1⁄2
Ak =
| k 1 2k |
| k0 0 0 |
|Ak| = -2k - k2 - 2k - k = k - k
|A2| =
| 1 2 3 |
| 1 0 0 |
| 2 0 0 |
A-1 =
| 1 0 -2 |
| 0 4 6 |
| 2 3 1 |
3 k 6 (Ak
Ancora A = 2
Ak =
|k k+1|
|2 -k|
|Ak| = k2
| 2 2 3 |
| 1 0 1 |
A = 1⁄70
3)
A = 6 70 7 ∈ ℝ3, 2 (ℂℝ)
1 ≤ ℓ(A) ≤ 3
∃ ℓ2 | | I2 | ≠ 0(6 70 7)
| I1, 1 | = 6 7 10 1 07 2 1 = 0
ℓi = Ii + Ii, c
| I1, 1 | = 6 7 50 7 11 7 0 = 1
ℓj = lj + lj, c
| I | = | A2 | che, contenengo I intranante II 2 ℓ 1 I, considerand I
hanno det. 20 ⇒ ℓ(A) = 2
4)
A = 9 27 -7 | 3 4 57 1 2 110 7 20 23∈ ℝ3, 5 (ℝ)
1 ≤ ℓ(A) ≤ 3
∃ ℓ2 con | | I2, c | ≠ 0(7 26 7)〉
2 ≤ ℓ(A) ≤ 3
| Ii, 1 2 3
| 7 6 4-7 9 2-7 6 7 = 66 - 20 + 84 + 30 - 22 = 0
| I1, 1 | 1 2 47 6 2-7 -70 10 = 60 + -220 + 24 + 60 - 20 = 8
g(A) = 2
g(AB) AABB
B=
T ⊂ | | 0 1 0 2
7 3
T ⊂ N0 ? si gs(AB)
|0 3 7|
|1 7 2|
|4 7 3|
g(AIB) = 2 = g(A)
Ak:
k k 1
? k
g(AL) ? 2
∃ N2
k k1
k - 1 x0 kT
|M1| ≠ 0 => scal
p(AIB)2
AIB ( k-1 0 -1 0 k-1 2 k-t 1 k-1 0 k+t 0 1 1 1 )
se k ≥ 2, ∃ M3, t0 => p(AIB) = 3
se k = 2
AIB (1 0 -1 0 1 2 1 1 1 0 3 1 0 1 1 )
det L2 (0 0 1)
|Π3| = (0 -1 1 1 1 0 1 0 1) = 0 => p(AIB)=2
se k = -1
AIB (-2 0 -1 0 -2 2 -2 1 -2 0 0 1 0 1 1 )
|Π3|= (0 -1 -2 -2 1 0 1 0 1 ) = 0 =>
III c.c. IcxI => p(AIB) = 2
B
CRITERIO SOT. VETT.
x, y ∈ R
γ ∈ R
SÌ
∀ α, β ∈ R
αB + βB ∈ B
α
β
=
=
=
z ∈ R
t ∈ R
∈ B ⇒ B ⊆ Mat₂(R)
1) \( \vec{u} \): \( \begin{pmatrix} 0, 1, 0 \end{pmatrix} \)
Determinate se possibile una combinazione lineare delle matrici:
- A \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)
- B \( \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)
- C \( \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \)
A coefficienti non tutti nulli che dia:
\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot A + 0 \cdot B + 0 \cdot C \)
Trovare una combinazione lineare che non sia questa:
\( x \cdot A + y \cdot B + z \cdot C = 0 \)
\( x \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 7 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} x + 5y + 7z & -x + 7z \\ 3y + 6z & 3x + 4y + 7z \end{pmatrix} \)
\( \begin{cases} x + 5y + 7z = 0 \\ 3y + 6z = 0 \\ -x + 7z = 0 \\ 3x + 4y + 7z = 0 \end{cases} \)
Soluzione:
\( \begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \\ z = -2 \end{cases} \)
Ho infinite combinazioni lineari di A, B, C che danno 0
1) T. Esame 02/11/2015
R3 Se determin. se possibile un insieme A t.c. ∠A=>U
U=⟨{(x,y,-z)∈R3| x,y∈R}⟩
In caso non sia possibile si giustifichi la risposta.
Sappiamo che ∠A => deve essere un S.S.V. ma,
∄1Rr ∠U siccome U non è S.S.V., ∃A t.c. ∠A=>U
Insiemi di Generatori
Def.) Sia G∈∠inseme di vettori di V. G è un inisieme di
generatori di V (K) se ∠G =>V
Def.) V (KR) è finitamente generato se ha un insieme finito G di
generatori.
1) I generatori insieme generano R3?
(A) S=⟨{ v1(1,1,1), v2(1,0,0), v3(0,0,0) }⟩
∠S => R3
∠S => = x v1 + y v2 + z v3, ...
⟨S=⟨{(x,x,x)+(y,0,0)+(z,0,0)|
x,y,z∈R3}⟩
{(x+y+z,x+y,x)| ∈ R3, ...}
Il generico vettore di R3 (a,b,c) a,b,c ∈ R
(x+y+z, x+y, x)=(a,b,c)
∠=>$x+y+z=a$
∠=$x+y=b$
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