Algebra lineare - esercitazione

Determinare un sistema di equazioni parametriche della retta r passante per P e

Q. Dire se R e S appartengono a r.

4. Supponiamo fissato un sistema di riferimento nello spazio e consideriamo le rette

r , r ed r di equazioni parametriche

1 2 3    1

−1 −

x = + t x = 2t x = 1 t

  

   2

− −t

r : y = 1 + 2t ; r : y = 3 t ; r : y = .

1 2 3

  

   1

−t −1 −

z = z = t z = 2 + t

2

∩ ∩ ∩

(1) Studiare le intersezioni r r , r r e r r .

1 2 2 3 1 3

(2) Dire quali tra le rette considerate sono parallele tra loro e quali sghembe.

1

2

5. Supponiamo fissato un sistema di riferimento nello spazio e consideriamo i punti

P , Q, R, S di coordinate

       

1 1 1 2

       

P : 1 ; Q : 0 ; R : 2 ; S : 3 .

1 2 0 0

(1) Verificare che P , Q ed R sono allineati.

(2) Verificare che i punti P , Q ed S non sono allineati e scrivere un sistema di

equazioni parametriche del piano π passante per essi. 3

Soluzioni

       

−3

0 3 0 √

√ −1 −2 −1 − 2

2

       

1. λu + µv = (1 + 2) + (−1) = + =

       

−1

0 1

0

√ √

− − −1

−

2 1 2 2

 

−3

√

−

1 2

  .

 

1

√

− −

2 3

2. Studiamo prima w. Dobbiamo controllare se esistono due numeri reali x e y tali

   

2 y

   

−1 −x

che w = xu+yv, cioè, esplicitamente, = + 2y . Questa uguaglianza

−

3 x y

di vettori equivale al sistema:  y =2



 −x −1

+ 2y =



 −

x y =3

Dalle prime due equazioni otteniamo y = 2 e x = 5; sostituendo questi valori nella

terza equazione otteniamo l’identità 5−2 = 3. Perciò il sistema ha soluzione (unica)

x =5 . Dunque w è combinazione lineare di u e v, precisamente w = 5u + 2v.

y =2 0

Per w il procedimento è analogo: dobbiamo studiare il sistema

 y =1



 −x + 2y = 0



 − −1

x y =

Dalle prime due equazioni otteniamo y = 1 e x = 2; sostituendo nella terza troviamo

0

−1,

la relazione 1 = che è falsa. Perciò il sistema non ha soluzione e w non è

combinazione lineare di u e v.

3. Se chiamiamo O l’origine del sistema di riferimento, i punti della retta per P e

Q sono tutti gli X tali che −−→ −→ −→ −→

−

OX = OP + t( OQ OP ), (1)

     

1 0 1

−→ −→      

R.

∈ − −1 − −1

con t Abbiamo OQ OP = = 0 quindi, se X ha

2 1 1

coordinate x, y, z, l’equazione precedente diventa

     

x 0 1

     

−1

y = + t 0 (2)

z 1 1

4

equivalente a  x = t



 R)

−1 ∈

y = (t (3)



 z = 1+ t

che è un sistema di equazioni parametriche di r.

Per studiare l’appartenenza di R alla retta r basta studiare se le coordinate di R

verificano le equazioni parametriche o, equivalentemente, l’equazione (2). Quindi

basta verificare se     

 2 0 1

     

−1 −1

= + t 0

3 1 1

R,

∈

per qualche t cioè se    

2 1

   

0 = t 0

2 1

È chiaro che t = 2 verifica questa equazione, quindi R sta su r.

Ora consideriamo S. Il conto da fare è analogo al precedente, possiamo motivarlo

anche cosı̀: guardando direttamente l’equazione (1), vediamo che S sta su r se (e

 

4

−→ −→ −→ −→ −→ −→  

R.

− − −

solo se) OS OP = t( OQ OP ) per qualche t in Ma OS OP = 0 ,

1

 

1

−→ −→  

−

OQ OP = 0 e questi due vettori non sono proporzionali. Quindi S non sta

1

su r.

4.(1) X è un punto di r se e solo se le sue coordinate x, y, z verificano le equazioni

1

parametriche di r , quindi se e solo se esiste un numero reale t tale che

1 1

 −1

x = + t



 1

y = 1 + 2t (1)

1



 −t

z = 1

Analogamente, X appartiene a r se e solo se esiste un numero reale t tale che

2 2

 x = 2t



 2

−

y = 3 t (2)

2



 −1 −

z = t 2

∩

Quindi per determinare l’intersezione r r occorre determinare tutte le coppie t

1 2 1

e t (se ce ne sono) tali che

2  −1 + t = 2t



 1 2

−

1 + 2t = 3 t

1 2



 −t −1 −

= t

1 2