Algebra e Geometria - 30 Es. Svolti (pratica e teoria)

I

è un sottogruppo del gruppo GL(2, R) delle matrici quadrete invertibili di ordine 2 su R.

C

il

Considerato poi gruppo moltiplicativo C* = {O}dei numeri complessi non nulli,

provare che l'applicazione C* ~ G

<1>:

+

definita per ogni z = a ib E C da

è un isomorfismo.

aZ bZ

+

det M = per essere sottogruppo deve rispettare le seguenti 3 proprietà:

1) G O

=1=

2) \fgvgz E G T.C. gl' gz E G

3) Vg G T. C. g-l G

E E

-b) -d)

(C bC)

(a -ad -

1) b a d c = (ac - bd det A; O det A, O

=1= =1=

+ ac - bd

A A ad be

1 Z

det(A1Az) = (detAl)(detAz) O

=1=

(a b)

2) 1 G

=

M-l E

+

Z Z

a a

b -b +

3) C* ~ G

<1>: VO z a ib <I>(ZlZZ)= <I>(Zl). <I>(zz)

=

=1= bC)

+

O Zl a ib

=

=1= -ad -

+ + +

Zz = a ib <I>(ac- bd i(ad bc») = (ac - bd

0=1=

{ + ac - bd

ad be

Omomorfismo) <I>(Zl). <I>(zz)= (~ ~b) (~ -cd)

(1 1

+

Iniettiva) <I>(a ib) = O) = (a -b) {a =

1

O b a b=O

SERIE 2 - Pratica

f: f(~) x+z )

+

3 4

Es: l) Data R R l'applicazione lineare defmita da: !Y_ 2y z

=

_, ( x+y+z

a) determinare una base di Kerf e di Imf h+ 1)

(

b) determinare i valori di h per i quali il vettore v = ~ appartiene a Kerf

1 O 1)

a) A O 2 O

= p(A) = 2 ~ dim Imf

(

1 -2 1

111 ;: ~z

0=0

{ 0=0

(h 1) i)

+ +

h 1 O

b) v = ~ deve essere un multiplo ( 2

=

P -1 O

I h + 1 21 = h + 1 + 2 = O h = -3

-1 1

2) Discutere al variare di k nei reali la diagonalizzabilità della seguente matrice:

Es: k O O)

(

A 1 1 O

= 3 O 1

Dato k

= O determinare una matrice diagonale simile ad A e la relativa matrice diagonalizzante

!~

p(d) = det(A - = 1.)(1- 1.)(1- I.) l.

Id) (k - O ~)

ÀG p(A - lÀ) = 1 ~ dim V(l) = 2

k=l NON diagon.

O

A- 11.= G O

!~ O D

k=l=l p(A - lÀ) = 1 ~ dim V(l) = 2

O

A - lÀ = ~

••

l. O

3 ~

dim R = dim Kerf + dim Imf ~ diagonalizzabile

3=2+1

O D

ÀG

k=O 1

A=G O ie~)

{y =-x

r=o 3x)

V(O) x + Y= O (Xi - Xi - =

V(O)

z = -3x

3x + z = O GHD

-1

V(l) A -

= = ~

lÀ V(l)=

(

1 O O)

(

B= -1 1 O

-3 O 1

3) Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema risulta risolvibile e in caso

Es:

affermativo si dicaquante soluzioni ammette:

x+z=O

!

2x + ky + 2z = 2k - 2

x+y+kz = k-l

1 O 1)

( Z 1) Vk

A= 2 k 2 detA = k 2 + 2 - k = k(k - R{O,l} p(A) = 3 = p'(A)

E

-

1 1 k

soluzione

3! O D

<

k=O p(A) 3 p(A) = 2

O

A=G 1 1

O 1 O O

-21

A

Orlato con coIonnaA' = G p(A') = 3 ~ soluzioni

O

4 2 O

2 O

~2) =1=

-1

1 -1 1 1

O

O 1 D 1 soluzioni.

1

k=l p(A) = 2 = p(A') 3

2 00

A=G 1 1 1 O

=

X - e il punto P(0,4,1)

Si consideri la retta r: x _ y + z = O

Es: 4) {

a) determinare il piano contenente r e passante per P

b) determinare la retta perpendicolare e incidente r e passante per P

a) a(x - 1) + ~(x - y + z) = O per P - a + ~(O - 4 + 1) = O - a - 3~ = O a

-3~

= y

per ~ = 1 ~ a = -3 - 3(x - 1) + (x - y + z) = O - 2x - + z + 3 = O

n

b) s = piano per P k piano per P e contenente r

.L

TIl TIz TIl TIz

1

x

! =

Y= 1 + t parametri direttori di r (0,1,1) O(x) + l(y - 4) + (z - 1) = O

z t

= y+Z-5=0

TI ~ { +

2x y - z - 3 O

=

1

Es: 5) Nel gruppo GL(2, R) delle matrici quadrate invertibili di ordine 2 su R si

considerino le seguento matrici:

S = (O 1) T = (1 1)

-1 O O 1

a) Determinare l'ordine di S >

=<

il

b) Determinare sottogruppo H T generato da T

>

=<

c) Provare che H T è isomorfo al gruppo additivo degli interi (Z; +)

SZ= (O 1) (O 1) = (-1 O)

S (~1 ~)

a) = -1 O -1 O O 1

S3=sz'S=(-1 0)(0 1)=(0 -1)

O 1 -1 O 1 O

-1) (O 1) = (1 O) = Id

S4= S3. S = (~ S ha ordine 4 in GL(2, R)

O -1 O O 1

i) i) T-l=(~ ~1)

Z

b) T = (~ = (~

T

~2)

= (~

T Z}

< > z

= {(~ ~) : E ~: H ~ Z (deve essere iniettiva, suriettiva)

c) H isomorfo a (Z; +)

~((~ i)) A (1 Zz)

=

Z Al

= = (~ z O 1

Al . Az Zl ~ Zz)

= (~ SERIE 3 - Pratica X) x+y-t

4 3

f: f ~

Es: l) Data R R l'applicazione lineare defmita da: ;t )

= (~~

(

_,

a) determinare la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche

b) determinare una base di Kerf e di Imf (GHi:))

3

c) determinare una base del sottospazio f(V) di R dove V L

=

,

1 1 O -1)

a) A O 1 O 2

= ( O O 1 -1

fX + 3t

! x =

y - t O

= (3t, -2t, t, t)

y -2t

=

b) Kerf l~!;t O

=

i z t

=

2

K",

B )}

= {( + +

f (1,1,0,2) 2), 4), (-2) (0), (5), (-2)

(1 1 - (1

= =

+

f (2, -3,1, -1) (2 - 3 1), (-3 - 2), (2) (0), (-5), (2)

= =

((1:, -!,

0,2), (2, 1,

f

c) (V) V L -1»)

= - Vi - Vz

f(Vl), f(vz) generano f(V)

f(Vl) (0,5, -2) f(vz) (0, -5,2)

= = !(JJl

sono proporzionali quindi sono generatori e la base è una dei due: B,cv) =

2) Discutere al variare di k nei reali la diagonalizzabilità della seguente matrice:

Es: 1 O O)

(

A= k-3 1 O

+

k 3 6 -5

Dato k 0, determinare gli autovalori e i relativi autospazi

= 1- O O)

À

(

'AI

A - k - 3 1 - À O det(A - ÀI) (1 - À)(l - À)( -5 - À)

= =

+

k 3 6 -5 - À

O O O)

dim V(l) A- I k- 3 O O dim V(l) 2 p(A - ÀI) 1 k 3

= = = =

H H

( +

k 3 6 -6

01 IO O I

k - 3

+

0 k 3 6 6 (k - 3) Oz 6 _ 6 O

= = = =

I

1

La matrice è diagonalizzabile se k 3

=

k=O 1 O O)

(

A = 3 1 O

-3 6 -5 O

=

O O O) lO = O X (O,y,y)

V(l) A- I= -3 O O -3x = O {

( y=z

3 6 -6 3x + 6y - 6z = O

(D

= =

V(l) {(O, y, y): y R} L

E G:

6 O O) 16X = O O (0,0, z)

A + sI = -3 6 O -3x + 6y = O O

( 3 6 O 3x + 6y = O

G)

= =

V( -5) {(O,O,z): z R} L

E

3) Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema risulta risolvibile e in caso

Es:

affermativo si dicaquante soluzioni ammette:

ky

x- + 2kz = O

I

kx-y-z=k

x+y+z=O

1 -k 2k)

A k -1 -1

= ( 1 1 1 I~ I~

det(A) = 11~1 ~11 + k ~11 + 2k ~11 = k(k + 1) + 2k(k + 1) = 3k(k + 1)

Vk -l} p(A) = 3 = p(A') 3! soluzione

R{O,

E

k=O O ~1)

A=G p(A) = 2

-1

1

O O D p(A') = 2

A'=G -1 -1

1 1 1

p(A) = p(A') ~ soluzioni

3 00

k =-1 -Z)

1

(~1

A= -1 -1

1 1

-2

1 ~1)

(~1

A' = p(A') = 3 ~ soluzione

-1 -1

1 1 +

1

x 2t

=

I {X +

s: y - 2 O

= il

Es: 4) Si considerino le rettr r: y = 1 + 4t e punto P(0,1,3)

z-2=0

z 2 +t

=

il

a) determinare piano contenente s e passante per P

il

b) determinare piano ortogonale ad r e èassante per P

c) determinare la retta ortogonale ad r e ad s e passante per P

a) a(x + y - 2) + ~(z - 2) = O «(O + 1 - 2) + ~(3 - 2) = O a=~=l

x+y+z-4=0

b) Parametri direttori di r ~ (2,4,1) k =-7

2x + 4y + z + k = O 4+3+k=0

+ + z -

2x 4y 7 = O z

lt 2

x= =

I l

+ Param. direttori di s (-1,1,0)

c) 1

y mt y=t

= +

z x=2-t

3 nt

=

+ + -6m

n =

4m

21 n = O (m, m, -6m) Param. direttori della retta p

{

{ + l = m

m=

-l O

t

x=

I n Y Y 1

- x+ + k = O tutti i piani per s - x+ + k- = O

P y= l+t p = TIl TIz

z 3 - 6t

=

s(-I,I,O) (2,4,1)

r k

j i j

l-l

(a, c) (-1,1,0)x(2,4,1)

b, = = 1 O -1 1

2 4 1 2 4 j)

i + O . 2 . j + 4· k - (2 . k + 4· O . i + (-1) . = i + Oj + 4k - 2k - j

1. 1. (-1) . 1. 1.

(1,1, -6)

Es: 5) Per ogni coppia (a, b) di numeri reali con a O sia R ~ R l'applicazione

=1= <I>(a,b):

definita da:

= ax + b x R

E

<I>(a,b)

Sia

G={ a, bER, a =1=

<I>(a,b):

O}. Provare che G dotato della composizione di applicazioni è un gruppo e si verifichi

il

che sottoinsieme H = bR} è un sottogruppo normale.

E

{<I>(1,b):

<I>(al,bl) <I>(a2,b2)

+ bi ~~~~~ a + bi) + b = a a x + a b + b =

X ~~~~~ a.x (ajx

z z 1 Z Z 1 z <I>(ala2,a2bl+b2)

al O az O

=1= =1=

Chiuso per composizione

<1>(1,0) = x c'è l'identità <l>Ca\)

quindi l'inversa è G è un gruppo

_!,_)

<1>(10 E G

= a' a

x+b+c

H è un sottogruppo SERIE 4 - Teoria

Es: l) Com'è definita la matrice associata? Come si costruisce?

3 Z

YIZ)

f'(x.y.z) (x - f:

= R R

~

La costruisco:

(1,0)

f(I,O,O) =

f(O,l,O) = (-1,0)

f(O,O,l) = (0,1)

La matrice associata è così definita:

1 -1 O)

Sia A M R t. c. A ( O O 1

E

zx3

ES: 2) Ricavare matrice associata partendo da una generica immagine (codominio):

+ + 3 Z

f'(x.y.z) (2x 3y - z,4x 27y - 5z) f: R R

= ~

f(l,O,O) = (2,4) +

2 3 -1 2x 3y - Z

Xl

f(O,l,O) = (3,27) +

[

As [4 27 -5] ~ [4X 27y - 5Z]

= =

f(O,O,l) = (-1, -5)

ES: 3) Ricavare matrice associata a partire da determinati vettori del dominio:

Supponiamo di avere n vettori linearmente indipendenti e di conseguenza le loro immagini.

Ci basta trovare le immagini collegate alla base canonica dell'applicazione lineare ottenendo:

At [T(e T(ez), ... T(e

= m)]

1); I

Sfruttando la linearità: v.)

+ ...+ + ...+

T(ea T(a vl an,i al T(Vl) an,i T(vn)

= =

1

Es: calcoliamo la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare.

f(1,1,1) = (0,2,1)

3 3

f: R R T. C. f(1,0,1) = (1,1,1)

~ f(0,0,4) = (8,12,4)

Dobbiamo determinare: f(I,O,O), f(O,l,O), f(O,O,l)

Osserviamo e calcoliamo che:

1 1

4 4

f(O,O,l) = f(0,0,4) = (8,12,4) = (2,3,1)

f((l,l,l) - (1,1,1)

f(O,l,O) = (1,0,1») = f(1,1,1) - f(O,l,O) = (0,2,1) - = (-1,1,0)

f((1,1,1) - f(l,l,l) -

f(l,O,O) = (0,1,0) - (0,0,1») = f(O,l,O) - f(O,O,l) =

(1,1,0) -

= (0,2,1) - (2,3,0) = (-1, -2,1)

-1 -1 2]

[

At -2 1 3

= 1 O 1

Es: 4) Data A matrice T.C. AZ O ; quali sono i suoi autovalori? A (~