Scienza delle costruzioni

Da cui:

= ℎ

ℎ−

Da cui:

= ℎ

ℎ 3 4 3

ℎ ℎ

ℎ− ℎ ℎ

2 2 3

( ) � �

ℎ

= = − = − =

∫

∫

0

ℎ ℎ ℎ 3 4 12

ℎ

0

3 4 3

ℎ ℎ

ℎ− ℎ ℎ

2 2 3

( ) � �

ℎ

= = − = − =

∫

∫

0

ℎ ℎ ℎ 3 4 12

0

Sezione circolare

Sezione circolare Si calcoli il momento di inerzia polare di un cerchio rispetto al suo centro e il momento di

inerzia rispetto a un diametro. Si utilizzano le coordinate polari per calcolare

=

Si calcoli il momento di inerzia polare di un cerchio rispetto al suo centro e il momento di

l’integrale:

inerzia rispetto a un diametro. Si utilizzano le coordinate polari per calcolare

=

l’integrale: 4

2

2 3

= = 2 =

∫ ∫ ∫

0 0 0 2 4

2

2 3

= = 2 =

∫ ∫ ∫

Per simmetria si ha e quindi essendo si ottiene il momento di inerzia rispetto a un

0 0 0

= = +

2

diametro:

Per simmetria si ha e quindi essendo si ottiene il momento di inerzia rispetto a un

= = +

diametro: 4

= =

2 4 4

= =

2 4

9. Indicare per sommi capi la procedura operativa per ottenere il sistema principale di inerzia ed i

momenti principali di inerzia di una sezione generica.

- Data una sezione, dapprima la si può scomporre in forme semplici base di cui è facilmente calcolabile

l’area e il baricentro.

- Si calcola l’area e i momenti statici rispetto agli assi x-y dell’intera sezione, sommando i contributi

delle varie sotto figure ottenute semplificando la sezione.

= + ⋯ +

1

= + ⋯ +

1

= + ⋯ +

1

- Si possono quindi ottenere le coordinate del baricentro totale della sezione.

=

=

- Al centro del baricentro si colloca il nuovo sistema di riferimento −

′ ′

- Calcolare i momenti di inerzia e il momento misto

1 3 2

( )

= + ⋯ + = ℎ + − …

1 1 1

12

1 3 2

( )

= + ⋯ + = ℎ + − …

1 1 1

12 ( )( )

…

= + ⋯ + = 0 + − −

1 1 1 1

- Se Si trova l’angolo di rotazione che individua il sistema principale d’inerzia:

≠ 0

2

tan 2 = −

- I momenti principali di inerzia si calcolano utilizzando le formule di rotazione, sostituendo ad il

valore numerico trovato:

2 2

= cos + sin − 2 sin cos

2 2

= cos + sin − 2 sin cos

10. Quali sono le ipotesi alla base della trattazione della flessione semplice retta?

Si consideri una trave rettilinea di sezione costante, priva di vincoli e soggetta a due coppie uguali e contrarie

di valore M applicate agli estremi. Le due coppie agiscono in un piano, detto piano di sollecitazione, la cui

traccia sulla sezione, indicata con è un asse di simmetria per la sezione stessa. Valutiamo gli sforzi e le

,

deformazioni indotti dal momento della trave. La trave si inflette e, essendo il momento costante, ogni tronco

di trave si deforma in ugual misura. Le fibre longitudinali si incurvano, evidenziando allungamenti nelle fibre

inferiori e accorgimenti in quelle superiori. Alcune fibre intermedie mantengono inalterata la loro lunghezza.

Ipotesi cinematica: nel processo deformativo, le sezioni rette della trave si mantengono piane e ortogonali

alle fibre longitudinali deformate.

Ciò implica che le fibre che conservano la loro lunghezza originaria attraversano la sezione secondo una retta

che è normale all’asse tale retta è detta asse neutro In virtù di questa prima ipotesi, le

. . ( ⊥ ).

Ipotesi cinematica: nel processo deformativo, le sezioni rette della trave si mantengono piane e ortogonali

alle fibre longitudinali deformate.

Ciò implica che le fibre che conservano la loro lunghezza originaria attraversano la sezione secondo una retta

tale retta è detta asse neutro In virtù di questa prima ipotesi, le

che è normale all’asse . . ( ⊥ ).

deformazioni di ogni fibra longitudinale variano linearmente con la distanza dall’asse neutro e sono

espresse dalla relazione: ( )

=

Per valutare gli sforzi si assume, invece, la seguente ipotesi: ogni fibra longitudinale, di area dA, si comporta

come un elemento in regime uniassiale, teso o compresso dalla forza infinitesima (si suppone cioè che

.

la contrazione trasversale di ogni fibra non sia contrastata dalle fibre adiacenti.

con

Si ottiene quindi: ( ) ( )

= = =

L’andamento degli sforzi sulla sezione si presenta come in figura

e prevede trazione nelle fibre che si allungano e compressione

in quelle che si accorciano. I punti appartenenti all’asse neutro

non sono sollecitati.

Le forze infinitesime su ogni fibra devono dare luogo, come risultante, solo a un momento M rispetto

all’asse neutro Deve quindi risultare:

= .

= = 0

∫

= =

∫

verificata dalla simmetria rispetto all’asse z.

= − = 0

∫

Si ottiene quindi:

questa relazione stabilisce che l’asse neutro passa per il baricentro G della sezione; infatti,

= 0

∫

l’integrale rappresenta il momento statico della sezione rispetto all’asse neutro ed è nullo se e solo se questo

è baricentro. La costante K è fissata, e risulta:

2 che rappresenta il momento di inerzia della sezione rispetto neutro. È quindi e si

= =

∫

ottiene:

che definisce l’andamento degli sforzi sulla sezione in funzione del momento flettente applicato. Si

=

ottiene:

=

Per effetto della contrazione trasversale, la sez