Appunti Scienza delle Costruzioni

Appunti di Federico Gioiosa SDC 2018/2019

2 Ottobre

Struttura - Parte resistente della struttura, l'elemento portante che dipende dalla tecnologia scelta ed è formato di superficie senza definire i volumi.

3 Ottobre

Meccanica - Studio del moto dei corpi

Cinematica - Aspetto geometrico

Statica - Aspetti dinamici (forze)

Scienza delle costruzioni - Studio al comportamento di strutture in equilibrio statico (equazione di equilibrio) guarda le cause che producono forza e il meccanismo di deformazione che producono (trasformazione della forma come rotazione, traslazione, dilatazione, cedevo, colpi)

Corpo - Assemblaggio di materiali congegnati per sostenere carichi

Continuo di Cauchy - Qui viene attribuita la definizione del concetto di solido interno tensione

Modello tridimensionale si descrive con le equazioni differenziali

Saint-Venant - { Definisce il modello di trave tridimensionale

Modello continuo - Equazioni differenziali

Modello discreto - Equazioni algebriche

Equilibrio tra struttura ed ambiente - Azioni esterne tra porzioni di struttura

Legame costitutivo - Equazione che definisce la deformazione, è legato al materiale che ho utilizzato, si basa sulla legge di Hooke che recita nell'elasticità 'Il primo passo'

Legge di Hooke - Ciascun corpo si deforma se soggetto ad un carico (modulo) tale cambiamento di forma gli consente di non superare l'interal limite di carico la deformazione è direttamente proporzionale alla forza

ΔL = σL₀

P = K x ΔL

Forza Forza costante

K - Rigidezza assiale

Misura di deformazione (ε) - Deformazione longitudinale

ε = ΔL / L

Misura di sforzo (σ) N / P

σ = N / A

Modulo di Young (E) - Modulo di elasticità longitudinale

ε = E x ε

ε = σ / E

Con E > 0

N = p ⋅ σA

Δ = EAε = ^{EA ΔL}_l

K = ^EA_l

materiale geometria

Δ = ^PEA_L

Unità di proporzionalità = valore dopo il quale il comportamento del provino non è più lineare

Δd = d - di

Deformazione trasversale (ε_t)

ε_t = Δd/d

Coeff di Poisson (ν)

ν = -ε_t/ε

-1 < ν < 1/2

Unità di snervamento = valore dopo il quale si ha lo snervamento

resistenza di rottura (R_r)

resistenza meccanica (R_a) del materiale

Newton:

1kg ⋅ 9.8 m/s² = 10N ≈ 1kp

ΔhRp = Δn/mm²

Legge di Hooke

ε = Eε

solo entro certi limiti

5 c.drone

Comportamento viscoso = a parità di carico e di forza, l’elemento si deforma col passare del tempo o al cambiamento della temperatura.

Esercizi

1. prova di ingresso
2. trave monodimensionale
3. Sant-Venant
4. esercizi per l’orale

SISTEMA EQUIVALENTE

SISTEMA RIGIDO (IPERSTATICO)

cinematicamente impossibile

posso immaginare che gli appoggi siano di teflon, e quindi deformabile

SISTEMA DISCRETO

la deformabilità è concentrata

_NA = KΔ_A

_NC = KΔε

EQUAZIONI DI CONGRUENZA

• q_A = 0
• q₂ = Δε_A
• q₂ + q₃T = 5 (U_B)
• q₂ + 2q₃ = Δε_C (u_C)

EQUAZIONI DI LEGAME ELASTICO

• _NA = 0
• I - λRΔε + U_B + KDΔε = 0
• U_A + KΔε + 2 = 0

• X_A = 0
• I - N_A + U_B (Q₂ + q₃) (u_c) = 0
• _kΔε = 0, q₁ = q₂, 2q₃ = 0

le incognite sono U_B, q₂, q₃

ES 3, ASTA 1D

• 1) Comportamento
  • ε = Δℓ/ℓ
• 2) Legame (Hooke)
  • F = ΔσA
  • σ = Εε
  • ε = σ/Ε

VERIFICA

• ℓ = 10³mm = 1m
• F = 10kN = 10 × 10³Newton N = F
• d = 10mm
• Ε = 206 GPa = 206 × 10³ MPa
• Δ = π(d/2)² = 78.54 mm²
• σ = 10 × 10³ / 78.54 = 127.3 MPa = N/A
• σ = 160 MPa tensione ammissibile
• ε = σ/Ε = 127.3 / 206 x 10³ = 0.618 x 10^-3 = 0.618 %
• Δε = Εℓ + 0.618 x 10^-3 x 10³ = 0.618 mm

PROGETTO

1. Diametro minimo che sopporta una tensione di 160 MPa
   • σ = F/Δ → d_min = √(10 x 10³ / 160) / π = 8.921 mm
2. Forza massima che può sopportare
   • F_max = σΔ = 160 x 78.54 = 12566.4 N = 12566 kN

ESERCIZIO

12 Ottobre

θ x (P-O₁)

θe₃ x [P-O₁]e₄ + [P-O₁]e₂₄

= [P-O₁]e₂₇ [θ(P-O₂]e₂₄

μ₁(P)e₁ + μ₂(P)e₂, μ₁₀e₁ + μ₂₀e₂ , θ(P-O₁)e₄, θ(P-O₁)e₂, θ(P-O₁)e₄

μ₁(P) μ₁₀ θ x (P-O)

òA=.

raggruppo per componenti

{μ₁(P)=μ₁₀ + θ(P-O)₂

μ₂(P)=μ₂₀ + θ(P-O)₄

➔e₂

e₂

TEORIA DELLE STRUTTURE

modello continuo (deformabilità distribuita)

sezione = A U ∂A

θ(n). 0<l<l

l = lunghezza trave

s ∈ U spostamento S(ϕ(n))

θ ∈ U rotazione θ(n) (grado di libertà aggiuntivo)

S(ϕ(n)) = S(`o`) + θ x (ϕ(n)-`o`), θ(n)

S'(ϕ(n)) = θ x ϕ'(n)

➔

S'(ϕ(n))-θ x ϕ'(n) = 0

Esempio in 1D

f_u1 = p e₂

m_x(x) = m e₁

2) Azioni interne

• t_n(x)
• t_s(x)
• C(x)
• F
• e_t(x)

t_s⁺ + t_s^- = 0

t_t⁺ - t_t^-

C₊ + C_-

C⁺ - C^-

Trave ad Asse Rettilineo in R³

• f(x) = f₁ e₁ + f₂ e₂ + f₃ e₃
• m(x) = M₁ e₁ + M₂ e₂ + m_x e₃
• t(x) = T e₁ + T₂ e₂ + N e₃
• C(x) = N e₁ + M₂ e₁ + N e₂

M₂ e M₁ sono flettenti

M₃ o Torsente

Ipotesi: sezioni piane

∇(x₁, x₂) = αy₃ + βx₂ + c

Se ρ = ρ si ha flessione retta

Equazioni di equilibrio

• ∫_A ∇ dq = N = 0
• ∫_A x₂ dq = M₂ = μ
• ∫_A x₁ dq = M₁ = 0

G(x₁, x₂) → riferimento principale d'inerzia

• S₁ = ∫_A x₂ dq = 0 → momento statico
• S₂ = ∫_A x₁ dq = 0
• I₁ = ∫_A x₂² dq → momento d'inerzia
• I₂ = ∫_A x₁² dq
• I₁₂ = ∫_A x₁ x₂ dq = 0 → momento misto

“Gli assi principali di inerzia sono quelli in cui il momento misto è nullo”

Matrice di Eulero

matrice simmetrica

∫_A ∇ dA = (αx₁ + βx₂ + c) dA = α ∫_A x₁ dq + β ∫_A x₂ dq + c ∫_A / ∫_A C = N / A