Risposte a tutte le domande di Scienza delle costruzioni

T

Tensione normale: t n ∙ n=n t n=σn

T

Tensioni tangenziali: t n ∙ l=l t n=τnl

T

t n ∙ m=m t n=τnm

τn componente totale della tensione tangenziale.

Se n è parallelo a uno degli assi coordinati, le componenti vengono chiamate

componenti speciali.

Il primo pedice indica la normale del piano su cui agisce la tensione, il secondo pedice

indica la direzione.

41-TENSORE DELLA TENSIONE

Insieme di tutti gli infinito alla 3 vettori tensione tn(P) definisce lo stato di

sforzo/tensionale in P, se gli conoscessi conoscerei l’intero stato tensionale.

Per abbattere il numero di incognite utilizzo le equazioni di equilibrio che permettono

di ricondursi ad una matrice 3x3 con 9 scalari e 6 valori indipendenti perché è

simmetrico.

42-TEOREMA DI CAUCHY POISSON

“La conoscenza delle tensioni su tre distinte giaciture in P è sufficiente a determinare

la tensione su ogni altra giacitura in P”.

1- Esiste σ tensore della tensione.

2- σ è simmetrico

3- equazioni indefinite di equilibrio.

Dimostrazione dell’esistenza del tensore della tensione σ

Pongo la risultante delle forze R=0 (l’equilibrio della traslazione) di un intorno

infinitesimo tetraedrico.

Faccio un equilibrio non di tensioni ma di forze(tensione*area)

tn*dΩn+ tn(-x)*dΩx+ tn(-y)*dΩy+ tn(-z)*dΩz+FdV=0

Fdv mi rappresenta le forze di volume, ma lo trascuro perché è un infinitesimo di

ordine superiore.

Posso scrivere le 3 facce del tetraedro in funzione della quarta faccia.

dΩx=dΩn*nx, dΩy=dΩn*ny, dΩz=dΩn*nz e sfruttando il secondo

postulato ottengo:

tn*dΩn- tn(x)*nxdΩn- tn(y)*ny*dΩn-tn(z)*nz*dΩn=0 semplifico dΩn e ottengo

tn= txnx+ tyny+ tznz

esiste la matrice delle tensioni e se conosco tre vettori tensione su tre giaciture

mutuamente ortogonali conosco tutto lo stato tensionale. Gli elementi diagonali sono

le tensioni normali, gli elementi extradiagonali sono le tensioni tangenziali.

il vettore tensore tn dipende linearmente da n tramite il tensore [Ω]

il tensore delle tensioni è un operatore lineare, cioè trasforma data la direzione n il tn

le colonne di Ω sono proprio le componenti dei vettori tx,ty,tz

43-CONVENZIONI DI SEGNO

-Le tensioni normali Ω sono positive se sono uscenti.

-Le tensioni tangenziali sono positive quando concordi con gli assi se la normale è

concorde con l’asse.

44-SIMMETRIA DEL TENSORE DELLE TENSIONI

Considero l’equilibrio alla rotazione rispetto all’asse z’, Mz=0 .

Le σx,σy,σz e i loro incrementi non danno rotazione attorno a z perché passano nel

baricentro. le τxz,τyz e loro incrementi non danno rotazione attorno a z’. nemmeno le

τzx,τzy e loro incrementi non danno contributo perché sono applicate nel baricentro e

quindi il braccio è nullo.

Le τ che danno contributo sono: τyx,τxy e loro incrementi.

Scrivo l’equilibrio alla rotazione (tensione*area*braccio), ci sarebbero anche le forze di

volume (unico tipo di forza che Cauchy ammette), ma posso pensarle applicate al

baricentro e quindi con braccio nullo.

( ) ( )

dy ∂ τyx dy dx ∂ τxy dx

+ + −τxy∗dydz −

τyx∗dxdz τyx dy dxdz τxy+ dx dydz

2 ∂y 2 2 ∂x 2

sono infinitesimi di ordine superiore quindi li trascuro (dxdydzdx/2 4°)

Quindi ottengo

=τxy∗dV

τyx∗dV τyx=τxy

quindi

dV=dxdydz

con le equazioni alla rotazione abbiamo dimostrato che da 9 ci siamo ricondotti a 6

scalari. Il problema è iperstatico.

45-TEOREMA DI RECIPROCITÀ DELLE COMPONENTI DI TENSIONE

[ ]

T T

1- tnm=m t n=m σ n

[ ]

T T

2- tmn=n t n=n σ m

Sono forme bilineari tnm=tmn

tnm è uno scalare, quindi, è uguale al suo trasposto. non è necessario che m sia

ortogonale a n.

se n è perpendicolare a m ritrovo tnm=tmn. O si amano o si odiano, non si inseguono.

46-NATURA TENSORIALE DI [σ]

Conosco le colonne di [σ]. Se ruoto il sistema di riferimento i numeri nella matrice

cambiano. T

[N ]

[σ*] =[N][σ]

[σ] è un tensore perché i tensori sono caratterizzati dal seguire questa legge per

rotazioni.

(Coseni direttori: lx è il coseno che la direzione l forma con l’asse x e così via…)

47-COMPONENTI PRINCIPALIDELLA DEFORMAZIONE

Considero una sezione di Eulero. Esistono delle direzioni in cui la tensione è solo

normale (in cui ho solo σ)

1- tn=[σ]n vale sempre

2- tn=λn

le eguaglio [σ]n= λn ([σ]-λ[I])n=0 la soluzione banale non ha senso fisico

perché n è un versore.

J1,J2,J3 sono gli invarianti della deformazione e non cambiano con il sistema di

riferimento.

Esistono almeno tre direzioni principali, perché gli autovalori sono reali perché la

matrice è simmetrica.

Gli autovalori sono le tensioni principali, gli autovettori le direzioni.

48-PROPRIETA’ DELLE DIREZIONI PRINCIPALI

- se sono diversi, sono ortogonali tra di loro.

1- σ1≠σ2≠σ3 allora n1,n2 e n3 sono perpendicolari tra di loro. Ottengo una terna

principale.

2- σ1=σ2≠σ3 tutti i vettori del piano principale sono direzioni principali.

3- σ1=σ2=σ3 tutte le direzioni sono direzioni principali. Ho uno stato idrostatico: lo

stato tensionale è caratterizzato da un unico valore che è lo stato di tensione

idrostatica.

4- σ3=0 stato piano di tensione: i vettori, comunque io giri la mia giacitura, sono

sempre appartenenti al piano o paralleli a esso.

5- σ2=σ3=0 stato di tensione monoassiale: il vettore tn è sempre parallelo a n1.

Nella terna principale il [σ] diventa una matrice diagonale.

J1=σ1+ σ2+ σ3;

J2=-( σ1 σ2+ σ1 σ3+ σ2 σ3)

J3= σ1 σ2 σ3

49-PROPRIETA’ ESTREMALI DELLE TENSIONI PRINCIPALI

σnmax=max(σ1, σ2, σ3);

σnmin=min(σ1, σ2, σ3).

50-CERCHI DI MOHR

Il circolo di Mohr è una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione

interna in un punto. La rappresentazione è costruita riportando su un opportuno piano

σ τ

(σ,τ) (il piano di Mohr), le componenti normali e tangenziali dello stato di

n nm

tensione su una generica giacitura passante per il punto. Al variare della giacitura nel

¿

σ , τ

piano del problema, i punti rappresentativi dello stato tensionale ( n nm

descrivono nel piano di Mohr una circonferenza che costituisce il perimetro di quello

che viene detto, appunto, cerchio di Mohr. La conoscenza del cerchio di Mohr permette

di ricostruire lo stato tensionale su una qualsiasi giacitura passante per il punto e, in

particolare, di individuare le tensioni principali e le direzioni principali del problema

piano di tensione.

Obiettivo: capire come variano σn e τn al girare della terna cioè in funzione di σ1, σ2,

σ3.

Consideriamo una terna cartesiana principale centrata in P.

tn= σn*n tn1= σ1n1 tn2= σ2n2 tn3= σ3n3 rispetto alla terna estrinseca

(1) ( )

σn

tn= T = n1tn1+n2tn2+n3tn3 uso la (1) σn= σ1

σn=n t n

τn

2 2 2 rispetto alla terna locale (2) descrive come varia σn in funzione

+ +σ

n 1 σ 2n 2 3 n 3

di σ1, σ2, σ3.

n1 descrive la circonferenza che sta sul piano 2-3,

n2 descrive la circonferenza che sta sul piano 1-3,

n3 descrive la circonferenza che sta sul piano 1-2.

Le (6) devono essere positive dato che sono un quadrato.

Al variare di n descrivo i punti all’interno del cerchio giallo e all’esterno degli altri due.

Al variare della giacitura n si può vedere che σ1 è la max possibile e σ3 la minima

ottenibile.

Il raggio massimo che posso avere è dato da σ1-σ3.

51-STATO PIANO DI TENSIONE PER VIA ANALITICA

Cerco le altre direzioni principali.

Si annulla σ3=0. Disegno una terna di cui un solo asse è principale. Quindi tn è sempre

parallelo a (x,y)

Possiamo per cercare le altre due direzioni principali risolvere il problema per via

analitica trovando gli autovettori, oppure per via grafica.

Essendo stato piano tn appartiene al piano (x,y)

ϴ0 è l’angolo che rende diagonale il tensore delle tensioni e quindi fornisce

l’orientamento delle tensioni principali è l’angolo di cui devo ruotare (x,y) affinché la

terna diventi principale.

52-CONVENZIONE DI SEGNO PER MOHR

Le σ sono positive se sono di trazione (uscenti) le τ sono positive quando fanno

ruotare in senso orario. Con questa convenzione le rotazioni degli assi del sistema di

riferimento avvengono con lo stesso verso nel diagramma di Mohr con gli angoli

dimezzati

53-STATO PIANO DI TENSIONE INTERPRETAZIONE GRAFICA

A’ e B’ sono diametrali perché hanno ascisse diverse e ordinate uguali a meno del

segno

Le rette che escono dal polo staccano sulla circonferenza del cerchio coppie σ,τ che

sono relative a quelle giaciture.

Devo ruotare il mio elementino di un angolo di 45° per ottenere il punto che ottimizza

le τ.

Un arbelo può diventare un cerchio se due autovalori/due tensioni principali sono

uguali e può diventare un punto se sono tutte e tre uguali.

54-EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO INDEFINITE

È la terza parte del teorema di Cauchy Poisson.

Finora abbiamo analizzato la dipendenza dello stato tensionale dall’orientamento della

giacitura, cioè fissato il punto giravamo la giacitura. Ora analizziamo la dipendenza

dello stato tensionale dal punto e quindi definiamo le relazioni differenziali che legano

gli sforzi che si sviluppano in punti distinti del corpo assai prossimi tra loro.

Consideriamo un parallelepipedo infinitesimo di lati dx,dy,dz con le facce parallele ai

piani coordinati. Su ciascuna faccia del parallelepipedo agiscono una σ e due τ.

Scriviamo le equazioni all’equilibrio alla traslazione lungo x, lungo y e lungo z.

Inizio studiando l’equazione all’equilibrio lungo y, poi farò lo stesso procedimento

anche per x e z.

non faccio tendere a zero il mio volume, altrimenti dovrei buttare via gli infinitesimi di

terzo ordine. Perché le equazioni di equilibrio studiano come variano le componenti

della tensione quando mi muovo da un punto all’altro.

Studio l’equilibrio prima del volume e poi al bordo. Al bordo da Cauchy sono ammesse

solo le forze distribuit