Schemi e risposte a tutte le domande della teoria di Scienza delle costruzioni - scritto orale

G

G

GY

& I

l

I [xy [Xz

6

I GXX 6xy Xz

Gyz Tyz

64y

Gyx

G(x) I

= Gz

67z

674

67X EQUAZIONI INDEFINITE DI

Per poter completare l’analisi, Definiamo ora quelle che sono le

EQUILIBRIO

Le equazioni indefinite di equilibrio si dividono a quelle alla traslazione e quelle alla rotazione.

Queste ultime ci permetteranno di dimostrare che il tensore delle tensioni è simmetrico .

Partiamo dalle equazioni indefinite di equilibrio alla traslazione.

Prendiamo in esame un elementino cubico e su ogni sua faccia rappresentiamo le tensioni, di cui

poi facciamo l’equilibrio

Y 6

Gy(x) +

dx) -

-6y(x =

+

GX

dy dGX(X)

ax) (x(X) GxdX

Gx(x) + +

Gx(x =

=

+

<

dAy

↳ & &

Gx D

& dX

mmmmm X

me

1 Y"

* 6y(x)

d -

daz

dt +

(k dx) G

G

~ (x)

=

+

Z =

+

- ( dx)

+

Ey(x d)

(Az

+

dx)

Gx(X + b(d

#x + 0

+ =

dxdydz)

(av

dxdY)

dAz

dAy aXdz

(dAx odz =

= =

=

Attraverso le varie semplificazioni arriviamo a:

+

Che rappresenta le 3 equazioni indefinite di equilibrio applicabili in V, che possiamo esplicitare

secondo x,y,z

++

11

+ INDCF di eauus

e

03 ea

by

Eyz .

=

+

++

Introduciamo ora le equazioni indefinite di equilibrio alla rotazione.

In questo caso consideriamo un elementino quadrato (caso 2d) e prendiamo per questo

esempio il piano xy Facciamo dunque la somma dei momenti rispetto al polo, per cui le

yx uniche tensioni che contribuiscono sono le tau

txy

da TyxdA(xd/ al

Txydy(y

dy + 0

- =

Gxx ↓

x notirtyx

Aydz analogamente

Txy

dAx e

=

>

- =

z

Asse

> [Xz EzY

x

it i n to r n o

rot. =

assey Tyz Tz

x Roma = I

I

:

E(x)

Questo dimostra che il tensore delle tensioni è simmetrico Get

Inoltre sappiamo che nel momento in cui cambiamo SDR cambiano i 6 parametri che

descrivono la tensione, ma non la tensione stessa. Nonostante ciò sono presenti degli

invarianti. SDR PRINCIPALI,

Tra tutti i SDR ne esistono di particolare, ovvero i caratterizzati da un

tensore delle tensioni diagonale, dunque in cui le sigma sono diverse da zero, a differenza

delle tau che sono tutte uguali a zero.

Dunque partendo dal teorema di CAUCHY cerchiamo tra le infinite incognite quelli per cui è =

a lambda x I(matrice identità) x n(vettore)

En

= A

<

6n(X) XE1

En(X)1 incognite

-

=

=

Arrivo dunque ad un sistema di equazioni omogeneo di tipo Ax=0

xEn]1

YE(x) amogeneo

Algebrico

diza

sistema

0 .

>

-

=

- ↳ n 2

bunale =

sol . banal

Non

Sol .

Questo sistema avrà la soluzione banale n=0, mentre per quella non banale poniamo n

diverso da 0 (E(x) xE) 0

Dobbiamo quindi porre il determinante caratteristico =0 - =

Da cui arriviamo al polinomio caratteristico sempre =0 [s2-16s

13 [se

42 o

poiranio

Prato 4

caratteristico + =

- -

>

Nel polinomio caratteristico notiamo la presenza di 3 invarianti che hanno questi valori:

[xy Is

[x

[G tyz Tex = d

676x

6x6y (x)

Gy6z +

+

6z

6y

6x = -

+ + - -

=

A questo sistema di equazioni avrò 3 soluzioni per cui mi devo trovare i 3 autovalori del

sistema (lambda), che corrispondo alle 3 tensioni principali, e trovati quelli mi trovo le 3

direzioni principali n per cui tau è uguale a 0

Inoltre in questo caso le nostre direzioni incognite sono dei versori, dunque possiamo

aggiungere un’equazione che lega le loro componenti

Ri RE

Ry? 1

+ + =

Posso dunque trovare le 3 tensioni e le 3 direzioni principali per cui gamma è =0

PROBLEMA STATICO

Per conludere introduciamo infine il

Definisco un corpo deformabile di volume V e superficie libera Sf e superficie vincolata Su.

Preso un suo punto ne voglio conoscere le tensioni

B b

G =

+ -vai Pridetem

INTERNAmene

Sistema perso

. se

3

di Grado ↳

↓ incoarie

sea 6

In

.

I

↳ ↳

Matrice A trasposta

AT

B =

D E

Definiamo inoltre le condizioni al contorno:

ma

-

La matrice B inoltre rappresenta la matrice A trasposta

Il problema statico è un problema di 3 equazioni in 6 incognite — quindi è un sistema

internamente iperstatico di grado g=3

Inoltre vi è un altro modo per trovare i sistemi di riferimento principali, cioè per cui le tensioni

tau sono uguali a zero, ovvero attraverso la circonferenza di Mohr

CIRCONFERENZA DI MOHR

Il cerchio di Mohr è uno strumento che ci permette di studiare e rappresentare lo stato di

tensione di un punto.

Innanzitutto definiamo quelli che sono stati di tensione piani, per cui il tensore delle tensioni

diventa da una matrice 3x3 ad una 2x2. Se prendiamo per esempio il piano xy, diventerà

così: Sn(x1

xy) (11

/plano =

↓ ①

Gn(x) G(X11

nel caso =

piano ②

Y

(2x1) (2x2(x(2x1)

= -a

I

- exy

,

= di Piano

tensione

siato &

del Xy a

& ex *

dY

T

x

A questo punto prendiamo in considerazione un elementino, lo sezioniamo e ne prendiamo

in considerazione una parte (quella evidenziata in viola).

Innanzitutto disegniamo sull’elementino (quadrato) le tensioni agenti, con la convenzione

positiva (tensioni in rosso). Poi sezioniamo la parte (elemento viola) con un taglio.

Questo elementino ha spessore unitario, per cui S=1

Abbiamo il nostro sistema di riferimento xy e inoltre disegniamo il sistema di riferimento

ruotato x’y’ su cui rappresentiamo le tensioni sigmax’ e taux’y’.

Definisco le varie aree su cui agiscono le tensioni sull’elemento viola e moltiplico le tensioni

per le aree su cui agiscono così da “trasformarle” in forze, così da poter poi fare l’equilibrio.

spessore

je

BAx Dy

= . e

dimora

pemento

A

tasvexponsess

↑

ottaces

Y - * ex * sent

ins costo

·

*

7X

witho espessore

An As 1

= .

BAy ↳ di giactura n

area

↓

Ax :

Spessere

Impongo dunque che l’elementino sia in equilibrio, imponendo l’equilibrio secondo X’ e y’

SenO-TxyDx1cosP-GxAyaCost-tyyby1sent

GyDX

&

GAS

X) o

1 =

1 .

-

. YAYSenD

Ex DysenD-TxyAycosO-GyAxcosO

+ o

EXy

Y/ =

TAS +

Divido ora tutto per delta S

6D51-Gy1SenO-Txyx1SP-Gxycos-tyyyt

&

X) ExAysenO-TyyAycoSO-GyBxcoSOTxyySt

Y1) TAS +

* sent costo

Sapendo che: a

seco

Arrivo a scrivere: S

esentcost

Sen20

Sapendo dalla trigonometria: = Ecossa

28

Sen = 2

costo

1

costo =

Arrivo a scrivere: 6x(120) 64/120) + Exy senso

E +

6 = Ty/20

/64- 6x) sen +

T = ↓

S 6-66y Costotysen2

-(64) Sen 20

T xycos2

+

=

A questo punto faccio il quadrato di tutti i termini e sommo a membro a membro le due equazioni:

1

& ( exy

+

=

Questa equazione rappresenta l’equazione di una circonferenza in un piano sigma-tau, ovvero il

piano di Mohr, rappresenta dunque l’equazione della circonferenza di Mohr

La circonferenza di Mohr rappresenta tutti i possibili stati di tensione che si ottengono al variare di

teta.

Dall’equazione della circonferenza possiamo dedurre le coordinate del suo centro e il valore del

suo raggio: =

Er

medht

renstant :

↑

" ( d (amid

C :

= =

C =

siuste

·

% R R R

! x

SINDHo Particolar

particolar ↓

d Em-R

0e)

(6 Ga

0p

16p 0

0 ,

, =

7 2

1 da

, pernati

TENS R

Em

. 62

V Principale +

=

I due punti in cui la circonferenza di Mohr incontra l’asse sigma sono dei casi particolari, poiché

rappresentano le sigma principali, ovvero quelle per cui tau è uguale a 0.

Per calcolare invece le giaciture principali devo porre tau =0, da cui troverò teta

-1 20

Txy

2 cos

T + 0

=> sen

= =

A

tg20-a

Posso inoltre rappresentare sulla circonferenza i punti per cui teta è = 0 e = a pigreco mezzi, i

quali hanno specifiche coordinate. Inoltre i due angoli principali hanno una relazione, per cui se

ne conosci uno puoi trovare subito il valore dell’altro

by Opz

[xy = I

Iscaldato puoi anche

trovar Valero

= Ope Ope

· IT

+

=

4 t 2

(6y [xy)

-

, ⑨

GX D 0

ASSE definisce

che 0

=

↑ > 6

00 62 20pz

individua

che

augdo

·

(6x

· 10p2

[xy) 10 20 ps

20ps

trovare

I -t o +I =

posso

, conosco pr

se

·

0 0

=

V diametralmente oppost

= > Punti

Vi è inoltre un secondo metodo per rappresentare la circonferenza di Mohr, ovvero una

costruzione grafica.

La giacitura per cui teta è = 0 mi darà un punto V di coordinate (sigma x, tauxy) e la giacitura per

cui teta è= a pigreco mezzi mi darà un punto sulla circonferenza O di coordinate (sigma y; -tauxy)

Se rappresento questi due punti nel piano di Mohr e li unisco posso trovare direttamente il centri

O che sarà dato dall’intersezione tra questa linea (che unisce O e V) e l’asse sigma.

Dopodiché se traccio l’orizzontale da O e la verticale da V nella loro intersezione troverò un

nuovo punto G, mentre se vado orizzontale per V e verticale per O troverò D.

Questi due punti sono importanti e G rappresenta il polo delle giaciture, mentre D quello delle

direzioni.

L’angolo tra teta=0 e sigma 2 ci darà tetap2 e stessa cosa con sigma 1

rella

verticale un si

che passa per G

incontrano i

rette

--

... 0

-difrontale che passa per

G

- >

- 6 delle

Pa

:

↑ GIACNRe

mini

2

· > 6

..

61 riferimento 0 o

=

rella oritrattale che passe per

& I

Siam

- font. trovo D

e

Ope

verticale che passa per o

POLO DIREZIONI

D DELE

:

L

L direnare

chi

O indica

O =0 pro e

2

tra

angdo e

. Pancipale

angai Leggo due velte

Gui o

che +

sono

Non

·

I ↳ Ope Opa

Op