Paniere verificato di Misure meccaniche e termiche - Risposte aperte

SISMOGRAFO

Il sismografo misura lo spostamento relativo di una massa connessa al sistema vibrante mediante una molla cedevole.

Per frequenze alte (> della frequenza naturale del sistema massa-molla) la massa tende a star ferma e il sismografo

misura lo spostamento assoluto del corpo vibrante.

Lo spostamento assoluto della massa e

: xi-xo e per l’equilibrio dinamico alla traslazione lungo la direzione x:

Md^2/dt^2(xi-xo) = kxo + Cd/dt(xo)

La forza d’inerzia della massa e equilibrata dalla reazione elastica della molla e da quella smorzante dello smorzatore.

L’equazione differenziale che governa lo strumento e

, pertanto:

Md^2xi/dt^2 = Md^2xo/dt^2 + Cdx0/dt + kxo

dividendo tutto per k ed introducendo le costanti K=M/k=1/w_n^2, w_n^2=sqrt(k/M), zeta=c/2sqrt(kM),

rispettivamente la costante di sensibilita statica, la frequenza naturale non smorzata e il rapporto di smorzamento, e

introducendo l’operatore differenziale D=d/dt, si ottiene la funzione di trasferimento operazionale:

xo/xi(D) = (D^2/w_n^2)/[(D^2/w_n^2)+(2zetaD/w_n)+1]

Sostituendo D=iw otteniamo la funzione di risposta in frequenza:

xo/xi(iw)=(-w^2/w_n^2)/[1-(w/w_n)^2+(2zetaiw/w_n)]

Se w>>w_n allora w/w_n tende ad infinito e xo/xi=1 e cio implica xo-xi=0, cioe lo spostamento relativo della massa e

nullo e si misura lo spostamento assoluto xi.

In termini di fase e ampiezza STUDIA DA SLIDE

Il campo di lavoro dello strumento e pertanto a frequenze molto maggiori della frequenza naturale non smorzata

(w>3w_n) dove la fase tende a zero e quindi l’uscita segue perfettamente l’ingresso. Percio occorre che la frequenza

naturale sia molto piccola e pertanto la molla deve essere molto cedevole e la massa molto grande. L’uscita e ancora uno

spostamento.

ACCELLEROMETRO

Nel caso in cui l’ingresso che si vuole misurare non e lo spostamento di un oggetto, ma la sua accelerazione, viene

utilizzato l’accelerometro. L’equazione che governa il sistema e

:

(1/w_n^2) x..i = (1/w_n^2) d^2xo/dt^2 + (2zeta/w_n) dxo/dt + x0

Le costanti caratteristiche sono le stesse del sismografo ed utilizzando l’operatore differenziale D=d/dt si avra la

funzione di trasferimento operazionale:

xo/x..i(d) = (1/w_n^2)/[(D^2/w_n^2) + (2zetaD/w_n) +1] e sostituendo D=iw si avra la funzione di risposta in

frequenza:

xo/xi..(iw) = (1/w_n^2)/[1 - (w^2/w_n^2) + (2zetaiw/w_n)]

Quindi per w<<w_n xi.. = xow_n^2 = -d^2/dt (xi), cioe la massa M ha la stessa accelerazione del corpo vibrante ma verso

opposto, quindi l’accelerometro misura l’accelerazione assoluta.

Il campo dello strumento e pertanto a frequenze molto minori della frequenza naturale (0<w<2/3w_n) dove l’ampiezza

vale uno e la fase tende a zero, pertanto l’uscita segue perfettamente l’ingresso. Per avere una frequenza naturale molto

grande e necessario avere una massa piccola e una molla molto rigida. L’uscita dell’accelerometro e uno spostamento

che deve essere misurato con un sensore aggiuntivo.

• Descrivere il principio di funzionamento di un accelerometro piezoelettrico. Ricavare la funzione di risposta in

Un accelerometro piezometrico e composto

frequenza e disegnarne infine il grafico in termini di ampiezza.

da un elemento elastico sensibile, una lamina di quarzo. La funzione di trasferimento operazionale

del sensore e una combinazione del sistema massa-molla-smorzatore e dell’elemento piezoelettrico

di trasduzione, che traduce l’accelerazione in tensione. Il quarzo e un materiale piezoelettrico: se

sollecitato lungo l’asse elettrico si creano delle cariche di segno opposto sulle due facce

proporzionali alla forza applicata (con sensibilita di circa 2 pC/N): Q=S_f F (Q=carica pC,

S=sensibilita , F=forza N). La forza agente sul quarzo e F=mxi.. e andando a sostituire si avra Q=S_f

F= S_f Mxi.. = S_c xi..Ðel sensore piezoelettrico l’ingresso e lo spostamento xo e l’uscita la tensione

eo. Essendo il cristallo un generatore di cariche si avra Q_cr=k_q xo (k_q=sensibilita del cristallo) e

la corrente generata dal flusso di cariche e i_cr = dQ_cr/dt = k_q dxo/dtY

etta

R=(RaRcr)/(Ra+Rcr)=Ra e C=Ccr+Cc si ha che i_C = (deo/dt)C e i_R=e0/R ed essendo i_cr=i_C + i_R

si avra :Ð_q dx0/dt = (deo/dt)C + eo/R equazione differenziale del sistema di I ordine da cui

possiamo ricavare la funzione di trasferimento operazionale osando l’operatore differenzia

D=d/dt:Þo/xo(D) = (Rk_q D)/(RCD+1) inoltre imponendo K=k_q C e tau=RC le costanti

caratteristiche dello strumento:Þo/xo(D) = tauKD/(tauD+1)Ðaccelerometro piezoelettrico e una

combinazione del sistema inerziale con il sensore piezoelettrico e, pertanto, la sua funzione di

trasferimento operazionale e data dal prodotto delle funzioni di trasferimento operazionali dei

singoli elementi, e si avra quindi:Þo/xi..(D) = (KtauD/w_n^2)/[(tauD+1)(D^2/w_n^2 +

2zetaD/w_n^2 +1)]Ða risposta in bassa frequenza e limitata dalla caratteristica dinamica del

cristallo piezoelettrico (tau) e la risposta in alta frequenza e limitata dalla caratteristica dinamica

del sistema inerziale (w_n).Ða rigidezza e data dalla molla di precarico e lo smorzamento dagli attriti

interni al cristallo di quarzo.

• Descrivere il significato di vibrazione e la differenza nel trattarla in termini di spostamento, velocità o

accelerazione. Un corpo vibra quando descrive un motto oscillatorio intorno ad una posizione di equilibrio con una

frequenza pari a f (Hz). Il moto puo avvenire ad una singola frequenza o a piu frequenze se i componenti in moto sono

molteplici. Spesso il moto e composto da un numero elevato di frequenze, che non si possono evidenziare

nell’andamento della vibrazione nel tempo, ed e necessario l’utilizzo dello spettrogramma. Nello studio delle vibrazioni

si analizzano lo spostamento, la velocita e l’accelerazione. Il segnale puo essere analizzato nel dominio del tempo o della

frequenza utilizzando la trasformata di Fourier che descrive un’onda sinusoidale. Durante lo studio delle vibrazioni, i

parametri fondamentali da tenere in considerazione sono:

• livello picco-picco: indica l’escursione massima dell’onda

• livello di picco: indica il massimo livello di vibrazione, ma non tiene conto della storia temporale dell’onda

• livello medio

• livello rms: rappresenta il valore energetico dell’onda ed e il parametro piu rappresentativo

Nell’analisi in frequenza si scegli tipicamente la velocita perche e un parametro energetico (cinetico) e vibrazioni a

frequenze diverse sono equivalenti se hanno la stessa energia di vibrazione. Il range dinamico in velocita e il piu piatto,

pertanto si utilizza tutta la scala di ampiezza in tutto il range di frequenza.

Si puo passare da spostamento -> velocita -> accelerazione grazie all’operazione di derivazione, che comporta l’aggiunta

di 90° alle fasi e si puo utilizzare l’operazione di integrazione per passare da accelerazione->velocita ->spostamento,

sottraendo 90° alle fasi. I fattori che influenzano la scelta dell’utilizzo di spostamento, velocita o accelerazione nel

trattamento delle vibrazioni sono la banda passante, l’effetto di carico e la sensibilita .

• Descrivere il principio di base di un estensimetro per la misura di deformazione monoassiale. Le misure di

deformazione servono a determinare lo stato di deformazione di un corpo o, come misure indirette, noti i coefficienti di

elasticita , lo stato di sollecitazione di un corpo. Definiamo deformazioni le variazioni di lunghezza rispetto alle

dimensioni iniziali e scorrimenti le variazioni degli angoli rispetto all’angolo iniziale. Se lo stato di sollecitazione e

monoassiale di trazione N e si considera una barra lunga L e con diametro D si un allungamento della barra DeltaL=L1-

L0 e una strizione negativa DeltaD=D1-D0. Secondo le ipotesi del De Saint Venant, se S e la sezione della barra e E il

modulo di Young (o modulo elastico) si avra :

DeltaL=NL/SE con S=pigracoDo^2/4 ed E caratteristica del materiale

La deformazione assiale e trasversale valgono rispettivamente epsilon_a=Delta/L0 e epsilon_t=DeltaD/D0 e sono legate

dal coefficiente di poisson v=|epsilon_t|/|epsilon_a| [micrometro/m]

I trasduttori che misurano la deformazione sono detti estensimetri e possono essere di varie tipologie (meccanici, ottico-

meccanici ed elettrici).

• Descrivere il principio di funzionamento di un estensimetro a resistenza per la misura di deformazione.

Ricavare la prima legge fondamentale che lega la deformazione alla variazione di resistenza. Gli estensimetri

elettrici a resistenza sono costituiti da un supporto sul quale viene incollato il filo che trasmette la deformazione e una

griglia, cioe la parte sensibile composta da un conduttore che puo essere a filo o a foglio, fotoinciso.

Il principio di funzionamento e

: R=roL/A dove ro=resistivita del materiale, L=lunghezza del conduttore, A=sezione del

conduttore

Questo deriva dal fatto che un materiale metallico, sottoposto ad una sollecitazione, varia la propria resistenza elettrica.

Se consideriamo come elemento sensibile dell’estensimetro un filo conduttore di resistivita ro, lunghezza L e sezione

S=pigrecoD^2/4 (D=diametro del filo), la resistenza del filo e R=roL/S

Se il filo viene sottoposto ad una forza di trazione F esso si allunghera e la sua lunghezza diventera L’ e il diametro

diminuira diventando D’. Pertanto il filo subira sia una deformazione assiale che una deformazione trasversale con:

epsilon_a=DeltaL/L ed epsilon_t=DeltaD/D

Sappiamo che il coefficiente di Poisson e v = -epsilon_L/epsilon_a

bisogna ora derivare R rispetto ai tre paramentri ro, S ed L, in quanto tutti e tre variano a causa della deformazione e,

per farlo, utilizziamo le derviate parziali.

dopo aver fatto i calcoli e le sostituzioni opportune si avra :

dR/R = dro/ro -2dD7D +dL/L (dro/ro puo essere trascurato), passando alle differenze finite si avra :

DeltaR/R=DeltaL/L-2DeltaD/D

possiamo sostituire i termini di deformazione ed ottenere:

(DeltaR/R)/epsilon_a = 1 -2epsilon_L/epsilon_a = 1 +2v = F =fattore di taratura (costante)

si avra quindi epsilon = 1/F(DeltaR/R)

prima relazione fondamentale degli estensimetri.

• Descrivere il principio di funzionamento di un estensimetro a resistenza per la misura di deformazione.

Ricavare la seconda legge fondamentale che lega la

deformazione alla tensione in uscita da un ponte di Wheatstone. Considerare il caso di un ponte intero.

Gli estensimetri elettrici a resistenza sono costituiti da un supporto sul quale viene incollato il filo che trasmette la

deformazione e una griglia, cioe la parte sensibile composta da un conduttore che puo essere a filo o a foglio, fotoinciso.

Il principio di funzionamento e

: R=roL/A dove ro=resistivita del materiale, L=lunghezza del conduttore, A=sezione del

conduttore

Questo deriva dal fatto che un materiale metallico, sottoposto ad una sollecitazione, varia la propria resistenza elettrica.

Se consideriamo come elemento sensibile dell’estensimetro un filo conduttore di