Paniere con risposte aperte di misure meccaniche e termiche

Paniere compilato e-campus - risposte aperte

Misure meccaniche e termiche

Descrivere il significato di un ingresso interferente e di un ingresso modificatore e i metodi per ridurre l'effetto degli ingressi di disturbo

Gli ingressi di disturbo si suddividono in due tipologie:

• Ingressi modificatori: variano il valore dell’uscita variando la legge fisica che lega l’ingresso all’uscita. Se la relazione che lega l’ingresso qi all’uscita qo è qo = kqi, varia la legge qo = kqi e nel caso specifico può variare k o la legge si modifica in un’altra funzione;
• Ingressi interferenti: variano solo l’uscita, cioè anche se l’ingresso desiderato non varia qi = 0, si ha una variazione di uscita pari a Δqo = 0.

Per ridurre l’effetto degli ingressi di disturbo si può operare in due modi:

• Utilizzare strumenti con insensibilità intrinseca rispetto agli ingressi di disturbo; ad esempio nella misura della deformazione di una trave con un estensimetro, la temperatura della trave costituisce un ingresso modificatore. Se il sensore è costituito da materiale con basso coefficiente di dilatazione termica, esso sarà intrinsecamente insensibile all’effetto della temperatura.
• Utilizzare strumenti di misura con elevato guadagno (K₁ >> 1).

Descrivere e riportare un grafico nel dominio del tempo di un segnale periodico, di un segnale transitorio e di un segnale casuale

Segnale periodico

Un segnale periodico è un particolare tipo di segnale deterministico che si manifesta identico dopo ogni intervallo di tempo T = 1/f detto periodo (dove f è la frequenza). Un esempio di segnale periodico è il segnale sinusoidale esprimibile mediante la seguente espressione analitica: x(t) = A*sen(ωt + α) = A*sen(2πft + α). I principali parametri che la costituiscono sono i seguenti:

• Il periodo T [s] nel quale la funzione assume tutti i suoi possibili valori;
• La frequenza f = 1/T [Hz] che indica il numero di periodi al secondo;
• Il valore massimo A assunto dalla grandezza (Ampiezza dell’onda sinusoidale);
• Il valore efficace RMS (Root Mean Square) A = A = A/√2;
• La pulsazione ω = 2πf [rad/s] che indica la velocità angolare del vettore corrispondente alla grandezza sinusoidale;
• L’angolo di fase α [rad] che indica l’angolo iniziale di fase all’istante t₀ = 0.

Segnale transitorio

Un segnale transitorio è un particolare tipo di segnale deterministico che si manifesta in un certo intervallo di tempo limitato, passato il quale si esaurisce. Un esempio di segnale transitorio è il segnale impulsivo Delta di Dirac.

Segnale casuale

Un segnale casuale o stocastico od aleatorio è un segnale che non può essere definito analiticamente in modo deterministico ma può soltanto essere previsto per mezzo della statistica/probabilità, in termini della sua evoluzione, basandosi sulla sua evoluzione passata. Un esempio di segnale aleatorio stazionario (ovvero le cui caratteristiche statistiche come media e varianza non variano nel tempo) è il rumore generato dalla pioggia.

Descrivere i principali descrittori statistici dei segnali nel dominio del tempo (valor medio, RMS, funzione di distribuzione dell'ampiezza)

La descrizione dell’ampiezza nel dominio del tempo in termini statistici è data da:

• Valore medio, ossia la somma su tutto il tempo di acquisizione dei valori assunti dal segnale stesso e si ricava dalla seguente formula;
• Valore quadratico medio, il quale descrive l’energia del segnale, ricavandola dalla seguente formula;
• Valore efficace (o RMS), non è altro che la radice del valore quadratico medio;
• Funzione di distribuzione dell'ampiezza, utilizzata per descrivere la distribuzione delle ampiezze tramite probabilità. La probabilità che la variabile in ingresso q(t) assuma un valore compreso tra q(t) e q(t) + Δq vale:

Dove Δt rappresenta il tempo totale in cui q(t) si trova nella banda Δq durante l’intervallo di tempo T.

Descrivere la funzione di autocorrelazione e disegnarne il grafico

La funzione di autocorrelazione R(τ) di un segnale fornisce una misura di quanto un segnale si assomigli con se stesso dopo un tempo τ. La funzione di autocorrelazione R(τ) di una variabile è definita come:

La quale rappresenta la correlazione del segnale con se stesso al variare del tempo. Pertanto, il segnale viene moltiplicato con se stesso ma traslato nel tempo di τ secondi. Per τ = 0 la funzione di autocorrelazione assume il valore del valor quadratico medio del segnale. Tale funzione è una funzione pari e ci permette quindi di valutare la periodicità e pseudoperiodicità di un segnale.

Descrivere il significato di trasformata di Fourier e di Fast Fourier Transform

Un segnale non periodico x(t) può essere trattato come periodo infinito. Essendo la frequenza delle armoniche:

Per T che tende all’infinito la frequenza fondamentale tende a 0 e la frequenza diventa una funzione continua:

La trasformata di Fourier o spettro di x(t) si definisce come:

Rappresentare graficamente un segnale sinusoidale nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza riportandone ampiezza e fase

Dato ad esempio il segnale in tensione sinusoidale: v(t) = A*sen(ω₀t) = A*sen(2πf₀t) = 2*sen(2π20t) di ampiezza A = 2V, frequenza fondamentale f₀ = 20Hz, pulsazione fondamentale ω₀ = 2πf₀t e periodo T = 1/f₀ = 1/20 = 0,05s, esso è rappresentabile nel dominio del tempo come segue:

E dunque nel dominio della frequenza, in termini di ampiezza e fase, come di seguito:

Da cui si può notare che i grafici constano di un picco di ampiezza 2V alla frequenza di 20Hz ed un picco di ampiezza π/2rad alla stessa frequenza, rispettivamente per il grafico dell’ampiezza e della fase.

Descrivere il significato di Serie di Fourier e le ipotesi che devono essere soddisfatte per essere applicata

Dato il segnale periodico di periodo T: x(t) = x(t + T) con frequenza fondamentale f = 1/T e pulsazione w₀ = 2π/T, è possibile rappresentarlo mediante lo sviluppo in serie di Fourier:

Disegnare un segnale transitorio e definire i parametri di trigger per effettuare un'acquisizione corretta dello stesso

Il livello del trigger è il valore che deve assumere il segnale perché l’acquisizione abbia inizio. I parametri che caratterizzano la funzione di trigger sono:

• Livello (level);
• Pendenza (slope);
• Posizione (position).

Descrivere il processo di quantizzazione del segnale

Il campione x_i* non verrà posto in un livello qualsiasi sull’asse y ma in corrispondenza di un multiplo della risoluzione dello strumento di acquisizione. Per esempio, se lo strumento di acquisizione ha 8 bit e usa un fondo scala di 10 V, la sua risoluzione Δy sarà 0.0391 V. Pertanto, il campione x_i*, che vale 0.5878, si troverà tra 15xΔy (0.5859) e 16xΔy (0.6250). Sarà posto pertanto al 15° livello. L’approssimazione effettuata sull’asse y viene detta quantizzazione.

Descrivere il fenomeno del campionamento del segnale, il teorema del campionamento e il problema dell'aliasing che si genera se il teorema non viene rispettato

Il campionamento è una tecnica utilizzata per convertire un segnale x(t) continuo nel tempo in un segnale discreto x[n], valutandone l'ampiezza ad intervalli temporali equispaziati. Il teorema del campionamento dei segnali stabilisce che, dato un segnale analogico x(t) la cui banda di frequenze sia limitata dalla frequenza f_MAX, e dato N come numero di campionamenti, il segnale x(t) può essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni x(nΔt) presi a frequenza f_S = 1/Δt_s e f_S > 2.56 f_MAX. Se non viene rispettato tale teorema, cioè si ha un sotto campionamento del segnale analogico nel dominio del tempo, nel dominio delle frequenze si ha la produzione di frequenze non proprie del segnale originario (alias). Se si procede poi con la ricostruzione del segnale a partire da campioni ricavati in tale modo errato, componenti di alta frequenza del segnale originale appariranno come componenti di bassa frequenza nel segnale ricostruito, generando così il fenomeno di aliasing.

Descrivere la differenza tra Digital Fourier Transform e Fast Fourier Transform

La trasformata di Fourier permette il passaggio dal dominio del tempo a quello della frequenza. Essa ci permette di scomporre il segnale originale in termini di seno e coseno i quali possono essere rappresentati in forma compatta dalla funzione esponenziale complessa (formula di Eulero):

Nella pratica, la trasformata di Fourier deve essere implementata in modo discreto (DFT). Con tale tipo di trasformata, per ottenere N campioni di frequenza a partire da N campioni sono necessari 2N operazioni di numeri complessi. Per facilitare il calcolo di tale trasformata, viene utilizzato l’algoritmo di Fast Fourier Transform (FFT), che utilizza N*log₂N moltiplicazioni. La condizione necessaria per l’utilizzo di tale tipo di algoritmo, N deve essere una potenza di 2. Per esempio, con un numero di campioni pari a 1024 (2¹⁰), nell’algoritmo DFT si devono effettuare 1024*1024 operazioni mentre in quello FFT 1024*10, riducendo il tempo di calcolo di circa 100 volte.

Descrivere la procedura per la stima dell'incertezza di tipo A mediante misure ripetute e dell'incertezza estesa

Sapendo che l’indice di incertezza della misura è la deviazione standard, possiamo determinare la deviazione standard della media come:

σ(m) = σ/√n

Constatando che l’incertezza diminuisce con l’aumentare del numero di dati esaminati, ovvero tanto più il campione (n) si avvicina all’universo (N). È possibile quindi ridurre l’incertezza “casuale” aumentando il numero di misure n: ciò non influenzerà eventuali cause di incertezza di tipo sistematico.

Descrivere la propagazione dell'incertezza nella stima di grandezze derivate. Riportare ad esempio l'incertezza di una grandezza derivata come somma, differenza, prodotto o quoziente di due grandezze indipendenti

Sia x una variabile dipendente delle variabili indipendenti a e b con incertezze assolute pari a Δa, Δb. Nelle somme si sommano le incertezze assolute.

Sia x una variabile dipendente delle variabili indipendenti a e b con incertezze assolute relative pari Δa, Δb. Nei prodotti si sommano le incertezze relative.

Sia x una variabile dipendente delle variabili indipendenti a e b con incertezze assolute relative pari Δa, Δb. Nei quozienti si sommano le incertezze relative.

Descrivere gli errori di inserzione degli strumenti di misura. Riportare ad esempio il caso di un voltmetro per la misura di tensione o di un amperometro per la misura di intensità di corrente

Si voglia misurare la tensione (grandezza di sforzo) ai capi della resistenza R del generatore. Quando viene collegato il voltmetro (utilizzatore) si misura una tensione V_g diversa da V_m poiché il voltmetro ha una resistenza interna R_V detta anche impedenza generalizzata:

V_g = V_m (Il circuito equivalente del voltmetro collegato al generatore è:

Se il voltmetro fosse ideale non dovrebbe assorbire alcuna potenza e V_g dovrebbe essere uguale a V_m, ovvero il rapporto R/R_v dovrebbe tendere a 0 e avere un’alta impedenza:

Se la tensione da misurare, che si avrebbe prima di inserire il voltmetro, e quella misurata, una volta inserito il voltmetro, sono:

Descrivere la procedura di taratura statica per la determinazione della curva di taratura mediante la regressione ai minimi quadrati e definire le caratteristiche che permette di determinare oltre i parametri che rappresentano la retta di taratura

La taratura statica viene eseguita ponendo lo strumento in un ambiente controllato in cui viene variato solo un ingresso in maniera quasi statica e gli altri mantenuti costanti. Per effettuare tale taratura si misurano sperimentalmente i valori di ingresso e di uscita per N valori di ingresso diversi e tali coppie di valori vengono riportate in un diagramma cartesiano con in ascissa q_I e in ordinata q_O.

Se la funzione che approssima meglio la distribuzione di valori (q_I, q_O) è una retta, si ricava la curva di taratura dalla retta dei minimi quadrati q_O = mq_I + b. Determinata minimizzando la somma degli scarti quadratici:

Utilizzando la legge determinata si elimina l’errore sistematico caratteristico dello strumento di misura. Una volta ricavati i valori dei coefficienti m (coefficiente angolare) e b (intercetta o termine noto), si possono definire anche l’incertezza di approssimazione di tale retta rispetto ai valori misurati: s_m (deriva di sensibilità) e s_b (deriva di zero). Inoltre possiamo determinare l’incertezza di misura, ovvero nel misurare q_I utilizzando lo strumento e la retta ai minimi quadrati che lega l’uscita all’ingresso.

Descrivere le principali caratteristiche statiche; riportare schemi e grafici per rendere più chiare le definizioni

Le principali caratteristiche statiche di uno strumento di misura sono:

1. Campo di misura: è l’insieme dei valori su cui lo strumento può fare una misura. Per cui in base al campo di valori di una grandezza che ci interessa misurare andremo a scegliere il campo di misura dello strumento. In campo dinamico si usa il dB per definire il campo di misura: dB= 20*log₁₀(MAX/min).
2. Portata o Fondo Scala: è il più grande valore che lo strumento può misurare, ovvero in pratica è il limite superiore del campo di misura. Spesso le altre caratteristiche statiche vengono espresse in termini % della portata (o fondo scala) nella seguente notazione: %fs.
3. Risoluzione: indica la più piccola variazione dell’ingresso che lo strumento riesce a rilevare e quindi misurare. Se ad esempio un voltmetro ha una risoluzione di 0,2V vuol dire che potrà cogliere variazioni di tensione in ingresso maggiori od uguali di 0,2V.
4. Sensibilità: è il rapporto tra la variazione della grandezza in uscita rispetto alla variazione della grandezza in ingresso, ossia in buona sostanza equivale alla pendenza della curva di taratura in ogni suo punto all’interno del campo di misura. Se la curva di taratura è un segmento di retta allora lo strumento è lineare e la sensibilità è costante per ogni valore dell’ingresso.
5. Soglia: è il più piccolo ingresso misurabile.
6. Ripetibilità: è il grado di concordanza tra una serie di misure consecutive della stessa grandezza in condizioni ambientali equivalenti. Essa viene espressa come deviazione standard s del campione di misure effettuate. Si possono inoltre definire l’incertezza di ripetibilità come il doppio (fattore di copertura 2) della deviazione standard ±2s, ed il campo di ripetibilità come la differenza tra il valore massimo ed il valore minimo del campione.
7. Stabilità: è l’attitudine a fornire valori di lettura differenti tra loro in letture eseguite indipendentemente sullo stesso misurando in un intervallo di tempo definito.
8. Isteresi: proprietà di fornire valori di lettura diversi in corrispondenza di una medesima grandezza quando questa viene fatta variare per valori crescenti e per valori decrescenti. Le isteresi sono generalmente dovute ad irreversibilità interne come attriti meccanici e dissipazioni di energia elettrica o magnetica. Essa è data dalla differenza massima tra la curva di carico (fase crescente) e quella di scarico (fase decrescente) sull’asse dell’uscita, in genere al 50% del fondo scala.
9. Linearità: è la misura della massima deviazione dei punti di taratura dalla retta interpolante dei minimi quadrati, ossia:

Descrivere e disegnare alcune curve di taratura che diverse da quelle lineari, per esempio bilineare, parabolica o sigmoide

1) Curva di taratura bilineare: se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q_I, q_O) ottenuta durante la taratura statica si presenta come nel seguente grafico:

Essa non è approssimabile mediante una singola retta ricavata con la tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma sono necessarie 2 rette interpolanti diverse nei 2 intervalli consecutivi, ossia:

Tale distribuzione presenta un’incertezza di linearità a percentuale della lettura costante.

2) Curva di taratura parabolica: se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q_I, q_O) ottenuta durante la taratura statica si presenta come nel seguente grafico:

Essa non è approssimabile mediante una retta ricavata con la tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma è necessaria una polinomiale (che nel caso della distribuzione in esame risulta essere una parabolica). Tale distribuzione presenta un’incertezza di linearità a percentuale del fondo scala.

3) Curva di taratura sigmoide: se la distribuzione delle coppie ingresso-uscita (q_I, q_O) ottenuta durante la taratura statica si presenta come nel seguente grafico:

Essa non è approssimabile interamente mediante una retta ricavata con la tecnica della regressione ai minimi quadrati, ma soltanto nell’intervallo centrale, ossia:

Tale distribuzione presenta un’incertezza di linearità combinata.

Riportare l'equazione del modello generale di uno strumento di misura e descrivere il significato di funzione di risposta

L’equazione di un modello generale di uno strumento di misura può essere espressa come:

y = f(x) + e

Dove y è il valore misurato, x è il valore reale della grandezza da misurare, f(x) rappresenta la funzione di risposta dello strumento, ed e è l’errore associato alla misura. La funzione di risposta descrive come lo strumento reagisce ai cambiamenti della grandezza che si intende misurare, ed è fondamentale nella determinazione della precisione e accuratezza dello strumento di misura.