Riassunto esame Analisi Matematica I: Studio di Funzione Generale, prof. Boccuto

POSITIVITA’

lo studio della positività di una funzione permette di sapere se, presa una X casualmente, la Y corrispondente

sarà positiva o negativa.

grazie a questo verrà eliminata dunque un altra parte di piano, rendendo il tutto più facile e veloce.

studio della positività di una funzione qualsiasi:

f

data una funzione y = (x).

si devono cercare le x per le quali le y sono maggiori di zero, tramite la disequazione y > 0.

f

sapendo che appunto y = (x) f

basta sostituire la y con la funzione (x) alla disequazione precedente.

f

la disequazione che dovrà essere risolta sarà quindi (x) > 0

le x soluzione di questa disequazione sono quelle la cui immagine (y) è positiva (>0)

esempio:

determinare la positività della funzione: Y = 3X + 2 4

la disequazione che permette di trovare la positivita è: 3X + 15 > 0

3 X > − 1 5

X > − 1 5/3

X > −5

le soluzioni dell’equazioni sono le x > ­5 .

per le x maggiori di ­5, la y è positiva, per esclusione per le x minori di ­5, la y è negativa.

le soluzioni dovranno essere rappresentate nel grafico eliminando la parte di piano esclusa:

Grazie a questa rappresentazione è facile intuire per quali x le corrispondenti y sono positive, e per quali sono

negative.

Per le x > ­5 infatti la funzione si trova nella parte positiva delle ordinate, per le x < ­5 la funzione si trova nella parte

negativa.

Nel punto ­5 sicuramente passa la funzione, dato che .

3 (− 5 ) + 1 5 = 0

! NOTA !

Nei punti in cui la funzione diventa da positiva a negativa, o viceversa, la funzione esiste (passa) solo se tali punti

appartengono al campo di esistenza.

tale proprietà viene comunque confermata dai punti di intersezione con gli assi.

ASINTOTI

DEFINIZIONE : un ASINTOTO è una retta K tale che

la distanza tra la retta K e la curva di funzione f(x) tenda a 0 al variare progressivo della x.

tale definizione è facilmente intuibile osservando il seguente grafico:

Nel punto la distanza tra la curva e la retta K è , nel punto ,con , la distanza è

x h x x > x h

1 1 2 2 1 2

dove .

h < h

2 1

se si continuasse prendendo una x sempre maggiore della precedente, la distanza h sarebbe sempre più piccola

della precendente ma non arriverebbe mai a 0, per questo si dice che “la distanza tende a 0”.

per determinare un asintoto si utilizza un’ operazione chiamata “ LIMITE ”.

Gli asintoti esistono di vari tipi:

● ORIZZONTALE

● VERTICALE

● OBLIQUO

A secondo del tipo di asintoto che si cerca il limite dovrà essere impostato diversamente.

RICERCA ASINTOTO ORIZZONTALE

la retta asintotica che si cerca è parallela all’asse delle ascisse ( equazione y = n ), per questo si deve studiare il

+∞ o −∞

comportamento della funzione a .

quindi il limite è:

lim f(x)

x→ ∞

basta quindi sostituire + o ­ infinito alla x e se il risultato è un valore k, la retta asintoto della curva è y = k

RICERCA ASINTOTO VERTICALE

la retta asintotica che si cerca è parallela all’asse delle ordinate (equazione x = k ), per questo si deve studiare il

comportamento della funzione in alcuni “punti focali”. Tali punti sono gli estremi del campo di NON esistenza.

quindi il limite per una funzione con campo di esistenza x > k, è:

lim f(x)

x→k

basta quindi sostituire k alla funzione e se il risultato è + o ­ infinito, la retta asintoto della curva è x = k.

! NOTA !

l’asintoto verticale va cercato anche solo se il campo di NON esistenza è solo un punto.

RICERCA ASINTOTO OBLIQUO

la ricerca dell’asintoto obliquo è più complessa, cosi’ come più rara la sua presenza.

La retta asintotica che si cerca è obliqua ( equazione y = mx + q ), per cui i valori che devono essere trovati

sono “m” e “q”.

la condizione necessaria ma non sufficiente affinché ci sia un asintoto obliquo è che la funzione tenda ad infinito.

quindi i limiti per trovare “m” e “q” sono:

f(x)

lim = m

x

x→∞

lim f(x) − m x = q

x→∞

se m o q non risultano “validi” ( valori quantificabili ) l’asintoto non esiste

CRESCENZA E DECRESCENZA

Di una funzione può essere molto importante, se non fondamentale, sapere quando la funzione cresce o quando

decresce, tenendo come verso di riferimento quello in cui la x aumenta, quindi da sinistra verso destra.

per parlare però di crescenza o decrescenza, è necessario introdurre il concetto di DERIVATA.

1

la derivata di una funzione si indica con ed è appunto la funzione che rappresenta il coeffiicente angolare

f (x)

(o pendenza) della retta tangente alla funzione f (x).

Per sapere quando la funzione è crescente basterà porre l’equazione della derivata > di 0 .

i risultati di questa disequazione (le x’), saranno gli intervalli in cui la nostra funzione di partenza f(x) è crescente, di

conseguenza negli altri punti la funzione è decrescente o costante.

per sapere quando la funzione è costante basterà porre l’equazione della derivata = 0.

le derivate delle funzioni principali sono le seguenti:

FUNZIONE BASE FUNZIONE DERIVATA

y = k y = 0

′

y = x y = 1

′

y = k

x y = k

′

n n−1

y = x y = nx

′ 1

n

√

y = x y =

′ n

√ n−1

n x

x x

y = a y = a ln a

′

x x

y = e y = e

′ 1

y = log x y =

′

a x ln a

1

y = l n x y =

′ x

y = s

in x y = cos x

′

y = c

os x y = − s

in x

′ 1

y = t an x y =

′ cos x

2

è importante anche introdurre un altro concetto, quello di massimi e minimi.

i punti in cui una funzione diventa da crescente a decrescente , o viceversa, si chiamano massimi e minimi.

in questi punti la retta tangente alla funzione è orizzontale (con coefficente angolare = 0).

per trovare questi punti basterà risolvere l’equazione f (x) = 0 .

′

per sapere più in dettaglio se il punto in considerazione è un massimo o un minimo, basta osservare

l’andamento della funzione: se appena prima di quel punto la funzione è crescente il punto è un massimo,

altrimenti è un minimo.

Si chiama MASSIMO ASSOLUTO il punto con ordinata maggiore tra tutti i massimi (relativi).

Si chiama MINIMO ASSOLUTO il punto con ordinata minore tra tutti i minimi (relativi).

le principali regole di derivazione:

funzione derivata

y = k f(x) y = k f (x)

′ ′

y = f (x) + g(x) y = f (x) + g (x)

′ ′ ′

y = f (x) ∙ g(x) y = f (x) ∙ g (x) + f (x) ∙ g (x)

′ ′ ′

f(x) f (x)∙g(x) − f(x)∙g (x)

′ ′

y = y =

′

g(x) 2

g(x)

y = f [ g(x) ] y = f [g(x)] ∙ g (x)

′ ′ ′

CONCAVITA’

il concetto di concavita è molto simile a quello di crescenza.

per calcolare l’equazione che rappresenta la concavita, infatti, basta trovare la “derivata seconda” della

f (x) → f (x) .

′ ′′

funzione f(x), ossia, calcolare la derivata della derivata f > 0

′′

Analogamente alla crescenza infatti, dove la derivata seconda è positiva ( ), la concavità è rivolta verso

l’alto, e viceversa.

tra il punto x1 e il punto x2 la derivata seconda è negativa e la concavità è rivolta verso il basso, tra

il punto x2 e x3 la derivata seconda è positiva e la concavità e verso l’alto

INIETTIVITA’ E SURIETTIVITA’

dopo aver studiato la crescenza è finalmente possibile un primo abbozzo della nostra curva di funzione.

proprio in questo punto, grazie all’osservazione della curva, diventa particolarmente facile capire se la nostra

funzione è iniettiva o suriettiva, o, nel caso sia entrambe, biiettiva.

INIETTIVITA’:

una funzione si dice iniettiva quando presa una qualsiasi y, essa è immagine di una sola x.

questa proprietà è facile da intuire graficamente perchè basta immaginare linee orizzontali che passano in ogni

punto della nostra funzione.

Se una linea interseca la curva in più punti significa che la funzione ha come y un’ immagine di più x, per cui non è

iniettiva.

la funzione in questo grafico è iniettiva perchè ogni linea interseca la funzione in un solo punto.

SURIETTIVITA’:

una funzione si dice suriettiva quando ogni y è immagine di almeno una x.

Anche qui è utile immaginare linee orizzontali (anche per y = infinito).

se tutte le linee intersecano almeno una volta la curva, la funzione è suriettiva.

la funzione in questo grafico non è suriettiva perchè esiste almeno una y che non è immagine di nessuna x.

INTEGRALI

l’integrazione è l’ operazione inversa della derivazione.

trovare l’integrale di una funzione f(x) infatti significa trovare quella/e funzione/i p(x), chiamata anche primitiva, che,

se derivata, dà la funzione di partenza f(x).

f (x) → i

ntegrale → p

(x) → d

erivata → p (x) = f (x)

′

calcolare infatti l’integrale e poi farne la derivata, significa tornare al punto di partenza!

!attenzione!

mentre la derivata di una funzione è una soltanto, le primitive sono infinite perchè qualsiasi parametro se derivato

da 0 ! ogni volta che si calcola un integrale è quindi necessario sommargli K.

esempio:

2 2

y = 3 x y = 3 x + 8 4

e

la derivata di entrambe è 6x e solo 6x

ma l’integrale di 6x è

2

3 x + k qualsiasi sia il valore di K ( ad esempio 0 o 84) e dato che i valori che può assumere sono infiniti anche

le primitive sono infinite ma per convenzione la primitiva è unica con parametro K.

si può parlare di integrale definito o indefinito.

l’integrale definito è l’integrale calcolato tra due estremi e che può quindi avere un valore quantificabile, dato che

nel calcolarlo, si arriverà ad un punto in cui i parametri si annulleranno (K ­ K).

il valore che in questo caso assumerà l’integrale sarà l’area calcolata tra tra la curva di funzione e l’asse delle

ascisse,compreso tra gli estremi decisi (x1 e x2)

ESERCIZIO DI ESEMPIO

La funzione è 4

x

f (x) = −x + 2

3

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