Riassunto esame Analisi Matematica I: Studio di Funzione Generale, prof. Boccuto

Introduzione all'analisi

L'analisi è quella branca della matematica che si occupa dello studio di una funzione. Come ausilio, la funzione verrà disegnata nel piano cartesiano per rendere più facilmente comprensibili, e in maniera meno astratta, le informazioni che durante lo studio di una funzione verranno ricavate.

Definizione chiave

Si dice funzione, definita in A che a valore in B, una qualsiasi operazione che associa ad ogni elemento (x) di A, un solo elemento (y) di B.

• A e B sono insiemi di numeri.
• In simboli si scrive: (x) : A → B

Per studiare completamente una funzione, ossia sapere quali valori assumerà la y al variare della x, bisogna svolgere i seguenti passaggi fondamentali (possibilmente in ordine):

• Determinare il campo di esistenza (dominio)
• Trovare le intersezioni con gli assi del piano cartesiano
• Determinare la positività della funzione
• Trovare i possibili asintoti
• Determinare la crescenza o decrescenza
• Determinare la concavità (positiva o negativa)
• Iniettività e suriettività
• Calcolare l’integrale (non sempre necessario)

Il dominio

Data una funzione (x) : A → B, A si dice dominio di funzione ed è l’insieme di quegli elementi x per i quali trovo una corrispondente y. ≈ Dominio campo di esistenza.

Osservazione: le funzioni che hanno bisogno di un'analisi del campo di esistenza sono:

• Funzione fratta
• Funzione radicale
• Funzione logaritmo

1. Funzione fratta

Dividere un numero qualsiasi per 0 è impossibile! Dato che una frazione è una divisione, dovremo accertarci che il denominatore non sia nullo (=0). Per trovare il campo di esistenza di una funzione fratta basterà quindi svolgere l’equazione: denominatore ≠ 0.

Esempio: determinare il campo di esistenza della funzione 3x - 9. Il denominatore deve essere diverso da 0, quindi l'equazione è 3x - 9 = 0. E poi il risultato viene negato: 3x = 9, x = 3. Il campo di esistenza sono tutti i numeri tranne 3. In simboli: D = x ≠ 3.

2. Funzione radicale

La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Dato che elevare un numero a potenza pari non può dare come risultato un numero negativo, è impossibile che il radicando di una radice di esponente pari sia negativo. Quindi, se è necessario determinare il campo di esistenza di una funzione radice con esponente pari, basterà porre il radicando ≥ 0.

Esempio: determinare il campo di esistenza della funzione √(2x + 4). Il radicando deve quindi essere ≥ 0: 2x + 4 ≥ 0. 2x ≥ -4, x ≥ -2. Il campo di esistenza sono le x ≥ -2. In simboli: D = x ≥ -2.

3. Funzione logaritmo

Il logaritmo è una funzione determinata da x solamente positive. Il grafico della funzione logaritmo è la seguente: Per il campo di esistenza, l’argomento del logaritmo dovrà essere dunque > 0.

Esempio: determinare il campo di esistenza della funzione ln(3x - 15). 3x - 15 > 0, 3x > 15, x > 5. Il campo di esistenza sono le x > 5. In simboli: D = x > 5.

Nota: per il campo di esistenza, il segno dei radicali è “maggiore o uguale”, il segno del logaritmo è “strettamente maggiore”.

Dopo aver trovato il campo di esistenza della funzione, questo dovrà essere rappresentato nel piano cartesiano “cancellando” letteralmente tutte le X che non fanno parte del dominio, nella maniera seguente:

• Esempio: D = x > -2

Grazie allo studio del campo di esistenza, è possibile dunque sapere dove la funzione sicuramente non sarà. Tramite lo studio della positività, verrà ridotta un'ulteriore parte di piano.

Intersezioni con gli assi

Durante uno studio di funzione è utile trovare dei punti “focali”, punti in cui la funzione passa sicuramente. Tali punti sono le intersezioni tra la funzione e gli assi X e Y. Per trovare punti di intersezione tra più elementi del piano cartesiano si usa il sistema di equazioni dove le equazioni sono quelle degli elementi di cui si cercano i punti di intersezione.

Trovare i punti di intersezione

Punti di intersezione tra la funzione e l’asse Y:

Data la funzione di equazione y = (x), l’equazione della retta delle ordinate è x = 0. Per cui il sistema da risolvere è: per risolvere il sistema basta sostituire 0 ad ogni x dell’equazione della funzione e determinare il valore K di y. Il punto A di coordinate (0, K) è il punto di intersezione tra la funzione e l’asse Y.

Punti di intersezione tra la funzione e l’asse X:

Data la funzione di equazione y = (x), l’equazione dell’asse X è y = 0.