Esercizi e quiz su sistemi di equazioni lineari - Geometria

Sistemi di equazioni lineari

Quiz

Quiz 1

Se la matrice A si ottiene da B tramite un operazione elementare, allora B si ottiene da A tramite un operazione elementare

• vero
• ✘ falso

Quiz 2

Ogni sistema di equazioni lineari è compatibile

• vero
• ✘ falso

Quiz 3

Ogni sistema omogeneo di equazioni lineari è compatibile

• ✘ vero
• falso

Quiz 4

Ogni sistema di n equazioni lineari in n incognite ha al più una soluzione

• vero
• ✘ falso

Quiz 5

Se un sistema omogeneo di equazioni lineari a coefficienti reali ha una soluzione non banale, allora ha infinite soluzioni

• ✘ vero
• falso

Quiz 6

Se la matrice dei coefficienti di un sistema di equazioni lineari è invertibile allora il sistema ha un unica soluzione

• vero
• falso

Quiz 7

Una matrice unita è una matrice a scala

• vero
• falso

Quiz 8

La somma di due matrici a scala è a scala

• vero
• falso

Quiz 9

La matrice nulla n×n è a scala

• vero
• falso

Quiz 10

Ogni matrice diagonale è a scala

• vero
• falso

Quiz 11

Un sistema lineare omogeneo con matrice dei coefficienti invertibile ha solo la soluzione banale

• vero
• falso

z = \(\frac{a-1}{2-a}\) y = \(\frac{a\cdot \frac{a}{2-a}}{2-a}\) x = \(\frac{a^2+3a+5a-10}{2-a}\)

z = \(\frac{a-1}{2-a}\) y = \(\frac{a\cdot \left(a^2-2\right)}{\left(2-a\right)}\) x = \(\frac{\left(a^2+3a+11\right)\left(2-a\right)+12}{2-a}\)

z = \(\frac{a-1}{2-a}\) y = \(\frac{\left(2-a\right)\left(a-2\right)+2}{\left(2-a\right)}\) x = a^2+3a+23

z = \(\frac{a-1}{2-a}\) y = -a x = a^2+3a+23

L'insieme delle soluzioni del sistema lineare è \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+3a+23 \\ a \\ \frac{a-1}{2-a} \end{bmatrix}\) ∀ a ∈ ℝ

ESERCIZIO 4 Si determini i valori di \( a \in \mathbb{R} \) tali che il seguente sistema lineare di 3 equazioni nelle incognite \( x_1, x_2, x_3 \) ammette soluzioni:

(0 2 0 1 5 i)

(0 2 0 1 3 i) OE1 →

(1 1 1 1 1 i)

(1 1 1 1 1 i)

(0 2 0 1 5 i)

(0 2 0 1 -3 i)

(OE3 → III - 2 I)

(0 2 0 1 5 i)

(OE3 → III + I)

(0 0 0 0 0 0 i)

{

x₄ - x₂ - x₃ x₁ - x₅ = i

2 x₄ = x₁ + 5 x₃ = i

{

x₁ - x₂ x₃ x₁ - x₅ = i

x₃ = i

x₄ = 5

x₅ = 2

x₂ = -5 - 5 x₂ + i

x₄ = 5 + 5 x₂ - i

x₁ = - 5 x₃ - 2 + i

(x₁ x₂ x₃ x₄ x₅) = (3 x₂ - 5 x₂ + i , t , 5 , 2)

+ (-1, 0 , 0 ,0 ,0)

+ s₂ (1 , -1 0 , 1 0)

+ t (3/2 , 5/2 , 0 , 0 , 1) = (s + x₂ - 2 , 2)