Esercizi e quiz su combinazioni lineari, basi e sottospazi - Geometria

Combinazioni Lineari, Basi e Sottospazi

Quiz

Quiz 1:

L'insieme vuoto é un sottospazio vettoriale di ogni spazio vettoriale.

• vero
• falso

Quiz 2:

Sia V uno spazio vettoriale, e sia v un vettore non nullo di V. Allora v ed il vettore nullo sono linearmente indipendenti.

• vero
• falso

Quiz 3:

Sia V uno spazio vettoriale, e sia W un sottospazio vettoriale di V. Allora W é uno spazio vettoriale con le operazioni di V.

• vero
• falso

Quiz 4:

La dimensione di uno spazio vettoriale é il numero di vettori che formano una base.

• vero
• falso

Quiz 5:

L'unione di due sottospazi vettoriali é un sottospazio vettoriale.

• vero
• falso

Quiz 6:

L'intersezione di due sottospazi vettoriali é un sottospazio vettoriale.

• vero
• falso

Quiz 7:

Sia S un sottoinsieme (finito) di uno spazio vettoriale V.

Allora lo span (S) coincide con l'intersezione di tutti i sottospazi di V che contengono S.

• ✔ falso

Quiz 8:

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di generatori di V formato da vettori che sono linearmente indipendenti tra loro.

• ✔ vero

Quiz 9:

Uno spazio vettoriale V può avere più basi.

• ✔ vero

Quiz 10:

Basi diverse di uno spazio vettoriale possono contenere numeri diversi di vettori.

• ✔ falso

Quiz 11:

Il vettore nullo è sempre combinazione lineare di un insieme non vuoto di vettori.

• ✔ vero

A^T = - A quindi è anti-simmetrica

A - A^T ∈ Alt_n(K) - cioè il sottinsieme delle matrici anti-simmetriche

ESERCIZIO 3:

Si determini un insieme di generatori per il sottospazio vettoriale di Cⁿ formato dalle soluzioni del seguente sistema lineare

x₄ = x₃ + (2 - i) x₄ = 0

-x₄ + x₃ = 0

dove i = √-1

Creo la matrice dei coefficienti del sistema lineare per determinare il sistema lineare associato

( i 0 2i i)( x₁ ) ( -i i i - i 0 )

( -i -i i 0)( x₄ ) →( i 0 -i 2 + i)

( -i 1 -i 0 ) ( 0 )

( 0 1 -i 2 + i ) ( 0 )

x₄ = 2iz - 3z - iz + is - is

i -i -i

x₂ = iz 2z - 2s + is - is

i i

x₃ = z

x₄ = s

( x₁ ) ( (2 - 3i) z + (-4 + 2i) s )

( x₂ ) = ((1 - 2i) z + (-4 + 2i) s )

( x₃ ) z

( x₄ ) s

( x₁, x₂, x₃, x₄) = ((2 - 3i) z + (-4 + 2i) s, (1 - 2i) z + (-4 + 2i) s, z, s)

= z (2 - 3i, -4 - 2i, 1, 0) + s (-4 + 2i, -4 + 2i, 0, 1)