Esercitazione 1 Algebra lineare e geometria

A A B, A B, B A, A,

determinare il loro tipo (per esempio (i) ), calcolare

R

34 ∈

− + = =

B e per 2 e 3 e per arbitrari.

λA µB λ µ λ, µ

Svolgete l’esercizio 1.1 di Carrara.

Esercizio 5

Scrivete le matrici trasposte di tutte le matrici presenti in questo foglio.

Esercizio 6

+

(Quando non fa . . )

1 1 2. F { }

=

Consideriamo l’insieme 0, 1 munito di due operazioni binarie

2

F F F F F F

× −→ · × −→

+ : :

2 2 2 2 2 2

7−→ 7−→ ·

( ) + ( )

a, b a b a, b a b

definite nel modo seguente:

+ = + = + = + = (∗)

0 0 0, 0 1 1, 1 0 1, 1 1 0,

· · · ·

= = = = (∗∗)

0 0 0, 0 1 0, 1 0 0, 1 1 1.

F

( +)

Verificare che , è un gruppo abeliano.

2 F

( +)

Per dimostrare che , è un gruppo abeliano verifichiamo le seguenti proprietà

2

della somma:

(i) associatività;

(ii) esistenza dell’elemento neutro; F

(iii) esistenza dell’opposto per ogni elemento di ;

2

(iv) commutatività.

Per verificare l’associatività calcoliamo

Esempio.

( + ) + = + = + ( + ) = + = (∗)

0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 (usando la prima equazione di )

( + ) + = + = (∗)

0 0 1 0 1 1 (usando la I e II equazione di )

+ ( + ) = + = (∗)

0 0 1 0 1 1 (II equazione di )

( + ) + = + = (∗)

0 1 0 1 0 1 (II e III equazione di )

+ ( + ) = + = (∗)

0 1 0 0 1 1 (III e II equazione di )

( + ) + = + = (∗)

0 1 1 1 1 0 (II e IV equazione di )

+ ( + ) = + = (∗)

0 1 1 0 0 0 (IV e I equazione di )

( + ) + = + = (∗)

1 1 1 0 1 1 (IV e II di )

+ ( + ) = + = (∗)

1 1 1 1 0 0 (IV e III di )

( + ) + = + =

1 0 0 1 0 1 (provate a completare)

+ ( + ) = + =

1 0 0 1 0 1

( + ) + = + =

1 1 0 0 0 0

+ ( + ) = + =

1 1 0 1 1 0

( + ) + = + =

1 0 1 1 1 0

+ ( + ) = + =

1 0 1 1 1 0

quindi

( + ) + = + ( + ) ( + ) + = + ( + ) ( + ) + = + ( + )

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

( + ) + = + ( + ) ( + ) + = + ( + ) ( + ) + = + ( + )

0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0

( + ) + = + ( + ) ( + ) + = + ( + )

1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 ,

dunque la somma è associativa. F \ { } ·)

(

In maniera analoga si può verificare che 0 , è un gruppo abeliano (notate che

2

F F

\ { } { } ·)

= ( +

0 1 ) e che , , è un campo.

2 2

K, K

·)

( +

Una terna , formata da un insieme e da due operazioni

Definizione. K K K K K K

× −→ · × −→

( ) + ( )

somma prodotto

: :

7−→ 7−→ ·

( ) + ( )

a, b a b a, b a b

si dice se valgono:

campo

(a) Proprietà della somma: K

∈ ( + ) + = + ( + )

a, b, c a b c a b c

(i) La somma è associativa: per ogni vale .

K, K

∈

a

(ii) Esiste un elemento di denotato 0, che è neutro per la somma: per ogni

+ = + =

a a a.

si ha 0 0 K K

∈ − ∈ +

a a a

(iii) Ogni elemento ha un opposto: per ogni esiste tale che

−

(− ) = = +

a a a.

0 K

∈ + = +

a, b a b b a.

(iv) La somma è commutativa: per ogni si ha

(b) Proprietà del prodotto: K

∈ · · · ·

( ) = ( )

a, b, c a b c a b c

(i) Il prodotto è associativo: per ogni si ha .

K,

(ii) Esiste un elemento di denotato 1, che è neutro per il prodotto: per ogni

K

∈ · ·

= =

a a a a.

si ha 1 1 K − 1

∈ \ { } ∈

a a

(iii) Ogni elemento diverso da 0 ha un inverso: per ogni 0 esiste

K − −

1 1

\ { } · ·

= =

a a a a

0 tale che 1. K

∈ · ·

=

a, b a b b a.

(iv) Il prodotto è commutativo: per ogni si ha

(c) Proprietà distributiva: K

∈ · ( + ) =

a, b, c a b c

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma: per ogni si ha

· ·

+

a b a c. K K V

Sia un campo. Uno su è un insieme dotato di due

Definizione. spazio vettoriale

operazioni: (moltiplicazione K

× −→ • × −→

+

(somma) V V V

: V V

:

per scalare)

7−→

( ) +

v, w v w 7−→ •

( )

a, v a v

che soddisfano le seguenti: ∈ + ( + ) = ( +

v, w, u V v w u v

(i) Proprietà associativa della somma: per ogni vale

) +

w u. ∈ ∈

V, vettore nullo di V, v V

(ii) Esiste un elemento 0 detto tale che per ogni si ha

V

+ = + =

v v v.

0 0

V V ∈ − ∈ +

v V v V, opposto di v, v

(iii) Per ogni vettore esiste un vettore detto tale che

−

(− ) = + =

v v v 0 .

V