Domande e Risposte di Fisica I – Calcolo vettoriale, dinamica e conservazione dell'Energia

T

dove θ è l’angolo tra F e ds e F = F cosθ è la proiezione della forza lungo la direzione

T

dello spostamento.

 Se F forma con ds un angolo minore di π/2 il lavoro risulta positivo e viene

chiamato lavoro motore;

 Se F forma con ds un angolo maggiore di π/2 il lavoro risulta negativo e viene

chiamato lavoro resistente;

 Se F è ortogonale alla traiettoria, θ = π/2 e il lavoro è nullo.

Per uno spostamento finito dalla posizione A alla posizione B lungo un percorso C il

lavoro si ottiene suddividendo il percorso in infiniti spostamenti infinitesimi ds e

sommando tutti i contributi F ∙ ds. Questo significa eseguire l’integrale di linea della

forza F lungo il percorso C:

F ∙ ds

W = = =

∫ ∫ ∫

Il lavoro della risultante delle forze è pari alla somma dei lavori delle singole forze

agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.

ENERGIA CINETICA

Facendo uso dell’equazione di Newton proiettata lungo la componente tangenziale

alle traiettorie F = ma si ha:

T T

dW = F ∙ ds = Fds cosθ = F ds = ma ds = m ds = m dv = mvdv

T T

Legame esplicito tra il lavoro infinitesimo e la variazione infinitesima del modulo della

velocità. Per un percorso finito dalla posizione A a quella B abbiamo

1 1

2 2

mvdv

W = = m - m = E - = ∆

∫ k,B ,

2 2

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze nello spostamento di un punto materiale

dalla posizione A alla posizione B è uguale alla variazione dell’energia cinetica del

punto materiale stesso. Il teorema dell’energia cinetica è una diretta conseguenza

della seconda legge di Newton.

Se W > 0 l’energia cinetica finale è maggiore di quella iniziale mentre se W < 0,

agiscono forze di attrito, l’energia cinetica finale è minore di quella iniziale. Se W = 0

l’energia cinetica resta costante.

DIFFERENZA FORZA CONSERVATIVA E NON

FORZA CONSERVATIVA

Le forze per cui il lavoro non dipende dal percorso vengono dette conservative.

  

( ) ( )

W = = =

∫ ∫ ∫

Lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo:



= 0

∮

Il lavoro di una forza conservativa può essere calcolato come semplice differenza

algebrica tra i valori assunti da E in A e B, senza dover calcolare integrali di line come

p

previsto nella definizione.

Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro in un percorso chiuso, ovvero se

il processo è ciclico.

FORZA NON CONSERVATIVA

Sono forze per le quali non vale la proprietà di invarianza del lavoro rispetto al

percorso e non è quindi possibile esprimere il lavoro tramite la differenza tra valori di

una funzione delle coordinate. Per essere non possiamo introdurre l’energia

potenziale. Una classe particolare di esse sono le forze di attrito, dette anche forze

dissipative.

UNA FORZA ELASTICA È CONSERVATIVA?

Sì, dato che una molla possiede un’energia potenziale ed è quindi in grado di compiere

un lavoro pari a E riportandosi alla sua lunghezza di riposo, quindi la forza elastica è

p

una forza conservativa.

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di un punto materiale che si

muove sotto l’azione di forze conservative resta costante durante il moto, ossia si

conserva.