Domande di teoria degli esami del corso di Fisica 1

Forza di attrito

F NF Fad aPFigura 4F FDove rappresenta la forza che, in generale, fa muovere l'oggetto e è la forza di attritoa addinamico che si oppone al moto dell'oggettoF = µ Fad d NAnche nel caso in cui un oggetto sia fermo su una superficie non liscia e vi si applichi una forzaorizzontale, il vincolo genera una forza d'attrito che è uguale in modulo alla forza applicatafinche il corpo è in quiete; appena si supera un valore limite il corpo inizia a muoversi e siritorna nella situazione precedente F NF Fas aPFigura 511Quel valore limite oltre il quale il corpo inizia a muoversi è anch'esso proporzionale allaFreazione N (F ) = µ Fas max s NL'azione di queste due forze in relazione alla forza applicata può essere riassunta come segueF attquiete motoµ Fs Nµ Fd N F aµ Fs NFigura 6Quindi la forza di attrito è di tipo statico e bilancia la forza applicata finche essa non superail valore µ F ; una volta superato il limite

La forza di attrito è di tipo dinamico ed è pari a:

F_d = μF_N

( ≤F se F ≤ μF_a

F_NF = μF se F > μF_d

La forza d'attrito radente non conservativa

Si supponga che un corpo di massa m scivoli su un piano scabro e che, in particolare, esso compia una traiettoria da un punto A ad un punto B

In questo caso, scrivere i vettori F e ds nelle loro componenti cartesiane non porterebbe a nessuna semplificazione, quindi si applica direttamente la definizione di lavoro:

L = ∫ F · ds

µmg ds = µmgds = L = d_A,B

Dove l'integrale non risolto rappresenta la lunghezza della curva da A e B e quindi il lavoro della forza d'attrito radente dipende dal percorso effettuato e non solo dalla posizione finale ed iniziale.

Domanda 7. Dare la definizione generale (per moto in 3 dimensioni) di lavoro ed energia cinetica. Enunciare e dimostrare il teorema dell'energia cinetica. Dimostrare il teorema

DiKönig dell'energia cinetica per un sistema di particelle. Ricavare l'espressione del lavoro compiuto da una forza elastica.

7. Definizione lavoro ed energia cinetica

Una forza che fa muovere un punto materiale lungo una traiettoria γ si dice che compie un lavoro definito come:

$$L = \int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$$

L'energia cinetica di un punto materiale di massa m e che si muove di velocità è definita come:

$$K = \frac{1}{2} m \|\mathbf{v}\|^2$$

Teorema dell'energia cinetica:

La forza, grazie al secondo principio della dinamica, può essere scritta come:

$$\mathbf{F} = m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = m \frac{d^2\mathbf{s}}{dt^2}$$

Il vettore velocità è definito come:

$$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{s}}{dt}$$

Il lavoro elementare è definito come il prodotto scalare di $\mathbf{F}$ con $d\mathbf{s}$:

$$dL = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = m \mathbf{v} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt} dt = m \mathbf{v} \cdot d\mathbf{v}$$

Il lavoro da A a B si ottiene integrando rispetto alla curva tra quei punti il lavoro elementare:

$$L = \int_{A}^{B} dL = \int_{A}^{B} m \mathbf{v} \cdot d\mathbf{v} = \frac{1}{2} m (\mathbf{v}_B^2 - \mathbf{v}_A^2)$$

Dove K e K

Sono rispettivamente l'energia cinetica in B e in A.

Teorema di Köning per l'energia cinetica:

L'energia cinetica di un sistema di particelle, misurata dal sistema inerziale, è:

K = Σ(1/2m_iv_i²)

Tenendo conto delle equazioni di trasformazione:

K' = K + Σ(1/2m_iv_i²) + Σ(m_iv_i)

K = K' + Σ(m_iv_i)

Nel sistema di riferimento fisso, l'energia cinetica del sistema si può scrivere come somma dell'energia del sistema rispetto al sistema di riferimento mobile e dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa.

Lavoro forza elastica:

Si supponga di avere un corpo di massa m collegato tramite una molla di costante elastica k e massa trascurabile ad una parete.

Si supponga di spostare il corpo da una posizione A ad una posizione B.

m xx A F elk m xx BFSi scrive il vettore nelle sue componenti cartesianeel F = F î + F ĵ + F k̂el el el el FIl lavoro elementare si scrive come il prodotto scalare di per dsel·FdL = ds = F dx + F dy + F dzel el,x el,y el,zVista la natura della forza elastica, essa avrà le componenti lungo y e z nulledL = F dxelDi conseguenza si può scrivere l’espressione del lavoroB x xZ Z Z kB B 2 2· −kxdx − −FL = ds = F dx = = (x x )A,B el el B A2A x xA ADomanda 8. Dimostrare che l’energia meccanica di un oscillatore armonico si conserva.Descrivere il moto di un pendolo ideale e scriverne l’equazione del moto.Risposta 8. Conservazione energiaIn un oscillatore armonico la posizione è della formax(t) = A sin(ωt + φ)Mentre la velocità è della forma v(t) = Aω cos(ωt + φ)dove si ricorda che ω è definita come segue k2ω = m15L’energia meccanica di un oscillatore armonico è data dalla somma di

energia potenziale di tipo elastico e di energia cinetica 11 1 1 2 22 2 2 2sin (ωt + φ) + cos (ωt + φ) =E = K + u = mv (t) + kx (t) = kA kAel 2 2 2 2

Descrizione moto del pendolo

Il pendolo semplice consiste di un corpo di massa m legato con una corda inestensibile e di massa trascurabile ad un vincolo che costringe il corpo a percorrere una traiettoria circolare

θl T P nP t PScegliendo un sistema di riferimento solidale con il corpo, sull'orizzontale l'unica forza che agisce è la componente orizzontale del peso.

Scrivendo l'equazione del moto, sarà uguale alla massa per l'accelerazione tangenziale

t F Px : (t) = (t) (13)t -mgma (t) = sin θ(t) (14)T -glα(t) = sin θ(t) (15)

Grazie al polinomio di MacLaurin e considerando angoli θ 1 radiante si può scrivere

≃ -gθ(t)lα(t) (16)g′′ ≃ -θ (t) θ(t) (17)lche rappresenta l'equazione differenziale

omogenea del secondo ordine caratteristica dei motiarmonici la cui soluzione è r r g gθ(t) = c sin t + c cos t1 2l l

Domanda 9. Dare la dimostrazione dei seguenti teoremi in dinamica per una particella:

1. Teorema dell’energia cinetica
2. Teorema dell’impulso
3. Teorema del momento angolare

Dare la definizione di forza conservativa, di energia potenziale e dimostrare il teorema di conservazione dell’energia meccanica.

Risposta 9. La dimostrazione del teorema dell’energia cinetica è alla risposta della domanda 7. La dimostrazione del teorema dell’impulso è alla risposta della domanda 3.

Teorema del momento angolare FSi consideri un polo fisso O e un punto P su cui viene applicata una forza , la cui posizione r p.è individuata dal raggio vettore e che possiede una quantità di moto M Ob OP FrO p M

Si dimostri il legame che intercorre tra il momento della forza e il momento della quantità di moto mediante il secondo principio della dinamica

′ ′ ′ ′× × × × × × ×b p) r p r p v p r p v r p= (r = + = + = mv + (18)O dt dt d′ ′⇒ × ×F p M r F r p b= = = = (19)O OdtvSe il polo O non è fisso ma si muove con velocità , l’espressione appena trovata si generalizzaOcon l’aggiunta di un termine correttivo d ×M b v p= +O O OdtDefinizione forza conservativa ed energia potenzialeSi considerino due percorsi γ e γ che un punto materiale può percorrere grazie all’azione di1 2forze conservative 17z Bγ2A γ1 yx Figura 9Siccome i punti di arrivo coincidono, anche i lavori sono ugualiB BZ Z· ·F Fds = ds (20)A ABB ZZ · − ·F Fds ds = 0 (21)A AB AZ Z· ·F Fds + ds = 0 (22)A BOvvero, una forza si può dire di tipo conservativo se il lavoro compiuto da tale forza su unpercorso chiuso è nullo.Si supponga che un punto materiale compia una traiettoria da un

punto A ad un punto _B grazie all’azione della risultante di forze solo conservative^18z BA dsR yx Figura 10

Allora il suo lavoro dipende da una certa funzione scalare u calcolata nel punto A e nel punto_B BZ –L = dL = u(A) u(B)A,B A

Se si considera A come l’origine e B come un punto di coordinate (x, y, z)BZ– dL (23)u(0, 0, 0) u(x, y, z) = 0BZ–u(x, y, z) = dL + u(0, 0, 0) (24)0

La funzione u viene chiamata energia potenziale e descrive la predisposizione di una forza a compiere lavoro.

Il lavoro compiuto da una forza conservativa può quindi essere espresso come la differenza tra l’energia potenziale nel punto iniziale e quella nel punto finale–L = u(A) u(B)A,B

Conservazione dell’energia meccanica

Si supponga che un punto materiale compia una traiettoria da un punto A ad un punto B grazie all’azione della risultante di forze solo conservative^19z BA dsR yx Figura 11

Combinando i risultati ottenuti dal teorema dell’energia cinetica e