Domande d'esame di Analisi di mercato per esercitazione e risposte

W =N /N S

dove e è la deviazione standard del fenomeno nello strato.

h h h

15) Il campionamento stratificato: caratteristiche e vantaggi rispetto

al campione casuale semplice

Innanzitutto, nel campionamento stratificato partendo dalla popolazione

vengono costruiti dei sottoinsiemi chiamati segmenti o strati, i quali sono

omogenei al loro interno in base a delle caratteristiche sulla quale è possibile

classificare le unità statistiche appartenenti alla lista. Mentre gli strati sono tra

loro eterogenei. Ogni strato si distingue dagli altri per una caratteristica

peculiare. Da ciascuno strato si estrae un campione casuale semplice e si fa la

stima che è costruita su due livelli: calcolo della statistica d’interesse per

ciascun segmento e combino poi le stime facendo una media ponderata con il

peso all’interno del campione uguale al peso di ciascun segmento nella

popolazione. Così facendo è possibile ottenere una riduzione della varianza

della stima se le medie dei singoli strati sono tra loro molto distanti. Se invece

le medie non sono diverse tra gli strati, la stima ottenibile con questo

campionamento è uguale a quella che si otterrebbe con il campione casuale

semplice, questo significa che l’ipotesi alla base della stratificazione non si è

verificata. L’intervallo di confidenza costruito con il campionamento stratificato

è più piccolo di quello costruito con il campionamento casuale semplice. La

stratificazione può essere: proporzionale, quando la probabilità di estrazione è

costante e uguale per tutte le unità statistiche; uniforme, quando la numerosità

campionaria viene divisa in parti uguali tra gli strati e quindi le probabilità di

estrazione sono diverse tra gli strati; ottimale, dove nel ripartire la numerosità

campionaria non si tiene conto solo del peso e della numerosità di ciascun

strato, ma anche della varianza del carattere nei diversi strati, vanno inserite

più unità campionarie dagli strati con varianza maggiore, bisogna quindi avere

una buona stima delle varianze degli strati a priori, per questo è poco applicato

nella realtà. Un altro vantaggio del campionamento stratificato è che con esso

si riesce ad avere una numerosità campionaria inferiore rispetto al

campionamento casuale semplice, ma con la stessa precisione. Inoltre, il

campionamento stratificato fornisce informazioni anche su ciascuno strato a

differenza del campionamento casuale semplice che fornisce informazioni solo

sulla popolazione nel suo complesso.

16) Le fasi di un’indagine statistica

La prima fase di un’indagine statistica è la definizione delle unità statistiche.

L’insieme delle unità statistiche viene chiamato collettivo o popolazione e il

processo per la definizione delle unità statistiche e per precisare il collettivo è

detto astrazione classificatoria. La seconda fase è quella di scelta delle

nomenclature e schemi di classificazione. La terza fase consiste nella

definizione delle variabili da osservare. In generale, seppur con le differenze

derivanti dal tipo di indagine che si deve effettuare, le variabili devono poter

essere definite oggettivamente perché sono più facili da rilevare e hanno un

grado di accettazione interpersonale più elevato. La quarta fase è la scelta

della modalità di selezione delle unità di rilevazione. Esistono due modalità:

esaustiva e campionaria, però la prima non si utilizza più, per cui si utilizza la

selezione campionaria. La quinta fase riguarda la scelta del metodo di

osservazione. In generale si ha un’interazione tra analista e intervistato che

cambia in base al metodo di osservazione. Esistono vari metodi: intervista

diretta/personale, è il metodo più efficace perché l’interazione tra i due

soggetti permette di chiarire elementi del questionario che possono risultare

complessi o riguardanti questioni delicate, per questo sono delle interviste

lunghe; interviste telefoniche, che riguardano indagini di fenomeni più semplici

in quanto c’è un’interazione più fredda e macchinosa, sono caratterizzate da

breve durata; interviste postali, sono poco utilizzate e interviste tramite web.

L’ultima fase riguarda la valutazione dei costi. I costi si dividono in fissi

derivanti dalla rilevazione, quindi riguardano gli aspetti organizzativi e costi

diretti che dipendono dal metodo di osservazione utilizzato e dalla numerosità

del campione. Si fa una stima dei costi, se risultano più alti del budget si deve

intervenire sugli elementi costitutivi dell’indagine.

17) La determinazione della numerosità campionaria nel campione

casuale semplice

La determinazione della numerosità campionaria è finalizzata a trovare quella

numerosità che sia la più piccola possibile e allo stesso tempo permetta di

soddisfare i criteri di precisone dell’indagine. I criteri di precisone sono:

determinazione del margine d’errore che si è disposti a tollerare (scelta

dell’intervallo di confidenza) e la probabilità che la stima si collochi all’interno

di tale margine d’errore (verificare che la differenza tra il vero valore e stima

sia inferiore al margine di errore 1 – α). La dimensione del campione è

possibile determinarla sapendo la dimensione della popolazione, il piano di

campionamento, l’errore e il grado di fiducia. A volte è possibile calcolare gli

errori massimi corrispondenti a diversi gradi di fiducia sapendo la numerosità

della popolazione e campionaria, la probabilità d’errore e il piano di

campionamento.

Il punto di partenza è il teorema centrale del limite che ci dice che presa una

popolazione, formata da individui sui quali è possibile trovare una variabile

casuale, questa variabile ha una varianza finita e tutte le variabili casuali

associate a ciascun individuo hanno la stessa distribuzione, per cui hanno la

stessa media e varianza. Estraendo casualmente tutte le osservazioni sono

indipendenti, per cui si hanno variabili indipendenti e identicamente

distribuite. Se prendiamo un insieme di variabili indipendenti e identicamente

distribuite il teorema centrale del limite ci dice che la media è distribuita come

una variabile casuale normale, quindi il valore atteso della media campionaria

è il vero valore della media della popolazione e la varianza della media

campionaria è uguale alla varianza nella popolazione fratto la numerosità

campionaria.

Se il parametro oggetto di inferenza è la media campionaria per determinare la

dimensione del campione dobbiamo fare riferimento alla sua distribuzione. In

particolare, nel campionamento con ripetizione .

Quindi maggiore è la numerosità campionaria, minore è la varianza, cioè

campione più preciso.

Nel campionamento senza ripetizione .

In questo caso la varianza viene moltiplicata per un fattore di correzione per

far si che la popolazione sia finita dato che non si reinseriscono le unità

statistiche. Se si lavora con popolazioni numerose questo fattore tende ad

essere pari a 1, per cui ha un’importanza ridotta. Al contrario se si ha una

popolazione piccola assume una grande importanza e comporta una grande

differenza. Successivamente possiamo calcolare l’intervallo di confidenza

e di conseguenza il margine d’errore

Date queste informazioni è possibile calcolare la numerosità campionaria.

Eguagliamo le due formule per la varianza della media campionaria e

risolviamo per n.

Numerosità campionaria per il campionamento con ripetizione:

Numerosità campionaria per il campione senza ripetizione:

2

Ơ , la varianza nella popolazione, non è ancora nota, però esistono vari metodi

per calcolarla: stima ottenuta attraverso indagini svolte in passato o su

popolazioni simili (è l’opzione più sicura), stima della varianza ottenuta nella

fase di pre-test del questionario (pericolosa) e stima desunta sfruttando la

relazione tra lo scarto quadratico medio ơ e il campo di variazione CV seconda

2 2

la quale ơ <= CV/2, da cui si deriva Ơ <= CV /4.

Invece, se l’oggetto dell’indagine è la proporzione campionaria, quindi la stima

è una stima percentuale, si deve tenere conto della sua distribuzione e in

particolare della media e varianza. Indichiamo con π la percentuale nella

popolazione e possiamo interpretare quel simbolo come la probabilità che un

individuo scelto casualmente possieda il carattere che stiamo analizzando o

che abbia manifestato un certo comportamento. Avendo a che fare con variabili

indipendenti e identicamente distribuite possiamo affermare che π sia identico

per tutti gli individui. Lo stimatore corretto è indicato con P ed è dato da nx/N,

dove nx sono gli individui che presentano il carattere, mentre N le unità

osservate. Quindi la distribuzione è nota ed è una distribuzione bernoulliana. Il

valore atteso di P è pari a π. Mentre la varianza è diversa a seconda che si

tratti di un campione con o senza ripetizione.

Con ripetizione:

Senza ripetizione:

Per N sufficientemente grande, la bernoulliana tende alla normale e quindi è

possibile definire una normale standardizzata .

Ora possiamo trovare l’intervallo di confidenza e andando a sostituire a V(P) la

sua formula nel caso del campionamento senza ripetizione e risolvendo per n

otteniamo la formula per la numerosità campionaria nel caso del

campionamento senza ripetizione: 2 2

Nel caso del campionamento con ripetizione n = (z / ε )*[π*(1-π)]

α/2

La binomiale ha un valore di massimo in corrispondenza di π = 0,5. Quindi è

una parabola.

La numerosità campionaria dipende da π che può essere stimato utilizzando

delle indagini preliminari o si può ipotizzare la situazione di massima

variabilità nella quale π(1-π) = 0.25.

18) Gli stimatori della media e della proporzione nel campionamento

stratificato e le relative varianze

Data una popolazione di N unità, viene suddivisa in H sottopopolazioni di

numerosità N (con i = 1, 2, …, H). La somma delle numerosità di ciascuno

i

strato deve essere pari a N, quindi N + N + … + N = N. Viene estratto un

1 2 H

campione da ogni strato di numerosità n (con i = 1, 2, …, H) e la somma delle

i

numerosità campionarie di ogni strato deve essere uguale alla numerosità

campionaria totale indicata con n.

Indicando con la stima della media della popolazione all’interno dello strato

(media dello strato), si ha:

dove h &egra