36 Domande di teoria dell'esame orale di Fisica generale e termodinamica

−K =K −K

K t t ' t ' t

2 1 2 1

Osserviamo pertanto che nell’urto l’energia cinetica del centro di massa si conserva, la

'

collisione può modificare solo l’energia Possiamo individuare tre casi:

K .

( ) ( )

=K

K ' t ' t

2 1

( ) ( )

=K

K t t

2 1

L’energia cinetica totale si conserva. In tal caso l’urto si dice elastico, e la

conservazione dell’energia fornisce una quarta equazione disponibile.

Quando si verifica

( ) ( )

<

K ' t K ' t

2 1

L’urto si dice anelastico, l’energia cinetica non si conserva.

Infine quando

' ( ) =0

K t 2

L’urto si dice totalmente anelastico , l’energia cinetica dopo l’urto è pari a quella

del centro di massa, che come abbiamo visto, non viene alterata durante la collisione.

( ) =K

K t 2 c

Urto totalmente anelastico

Due masse puntiformi in moto si urtano e si fondono proseguendo il moto come una

m e m t

massa unica. Consideriamo due masse , che nell’istante si urtano con

A B 1

v e v

velocità , muovendosi sulla stessa retta, e supponiamo che dopo la collisione

A B

le due masse proseguano insieme con velocità V.

⃗ =⃗

( ) (t )

Q t Q

1 2 ( )

+ = +m

m v m v m V

A A B B A B

+

m v m v

A A B B

=

V ( )

+m

m A B ( ) =K

K t

Facciamo notare che V è pari alla velocità del centro di massa, pertanto , e

2 c

possiamo verificare che l’urto è totalmente anelastico.

Urto centrale elastico

Due masse rimbalzano elasticamente nell’urto e proseguono con velocità diverse tra

loro. In questo caso si conserva sia la quantità di moto, sia l’energia cinetica:

{ ( ) ( )

=Q

Q t t

1 2

( ) ( )

=K

K t t

1 2

{ +m =m +

m v v V m V

A A B B A A B B

2

1 1 1 1

2 2 2

+ = +

m v m v m V m V

A B A B

2 2 2 2

A B A B

v

V

¿ B−v

(¿ )

B

v

¿

V

¿ 2

(¿ )

B¿¿ 2−v B

2

(¿ ¿¿ )=m ¿

A 2−V A B

¿

¿ A−V

(¿ )=m ¿ ¿

m

A B A

¿ ¿

m A

¿

Dividiamo la seconda equazione per la prima:

v

V

¿ B−v

(¿ )

B

V

¿

(¿ −v )

B¿¿ B

¿ A−V

(¿ )=m ¿( −V )=¿

v

A B A A

¿ ¿

m A

¿

Otteniamo in tal modo un sistema di due equazioni lineari. Ricaviamo la velocità di b

nella seconda: v

¿ A−V

(¿ )=m ( −V −v )−m

v v

A B A A B B B

{ ¿ =v −V −v

m V

A B A A B

{ (m −m ) 2 m

A B B

= +

V v v

A A B

( +m ) (m +m )

m A B A B

(m −m ) 2m

B A A

= +

V v v

B B A

(m + ) (m +m )

m

A B A B

Esaminiamo vari casi:

=m

m

Se abbiamo:

 A B

{ =v

V A B

=v

V B A

Le due masse si scambiano le velocità.

m è trascurabile rispetto a m

La massa

 A B

{ ≅−v +2

V v

A A B

≅

V v

B B

Troviamo in questo caso che A rimbalza sulla massa B invertendo il moto con

una velocità uguale e contraria.

25-Pendolo Balistico

URTI TRA CORPI VINCOLATI

Quando un corpo vincolato A viene colpito da una massa B, durante l’urto la reazione

vincolare è anch’essa impulsiva; infatti, essa deve reagire all’urto per mantenere

fermo almeno un punto del corpo. In questo caso valgono anche le forze impulsive

esterne e quindi non possiamo nemmeno affermare che la quantità di moto e il

momento angolare si conservano nell’urto. Ci sono tuttavia casi particolari per i quali è

possibile descrivere l’urto e calcolare le variazioni da esso causate. Ciò è possibile

quando le forze vincolari agiscono su un punto del corpo (vincolo), e il momento delle

forze rispetto a tale punto (che scegliamo come polo) è nullo. In tal caso il momento

angolare rispetto al polo risulta costante nell’urto.

Pendolo balistico

Osserviamo che durante l’urto, in cui il pendolo non si sposta, la forza peso e la

reazione vincolare hanno la retta di azione che passa per il polo. Rispetto a tale polo il

momento delle forze esterno è nullo. Pertanto durante l’urto si conserva il momento

angolare rispetto a tale polo:

⃗ =⃗

( ) ( )

P t P t

Ω 1 Ω 2

Tenendo conto che prima dell’urto il pendolo è fermo, e dopo l’urto il proiettile si

conficca nel centro del disco, scriviamo:

^ ^

( )

( ) =I

m v l+ R k ω t k

p p Ω 2

( )

m v l+ R

p p

( ) =

ω t 2 I Ω

Per quanto riguarda il momento d’inerzia, esso sarà composto da tre termini,

sbarretta, disco e proiettile:

[ ]

2 2

m l R

s 2

( )

= +m + +

I l R

Ω D

3 2

26-Pressione e Legge di Stevino nei liquidi

Legge di Stevino

È esperienza comune che quando ci si immerge nell’acqua la pressione aumenta con

la profondità, effetto dovuto al fatto che sul fluido viene esercitata la forza peso. Per

ricavare la legge secondo cui varia la pressione consideriamo un fluido pesante di

densità di massa pari a:

dm

ρ= dτ

Dove abbiamo considerato un volume infinitesimo nell’ipotesi che il fluido sia continuo.

Supponiamo che sulla superficie libera del fluido sia esercitata una pressione pari a Po,

ad esempio la pressione atmosferica sulla superficie del mare, e che il fluido sia in

condizioni di equilibrio, cioè in condizioni statiche in assenza di moti convettivi interni

(vortici, correnti, etc..). Se il nostro volume infinitesimo è in equilibrio, deve essere

nulla la somma di tutte le forze su esso esercitate. Queste sono di due tipi: forze di

⃗

F

superficie dovute alla pressione del liquido circostante sulla superficie ideale del

s ⃗

F

volumetto, e forze di volume dovute alla spinta della forza di gravità. In

v

particolare, essendo il volume infinitesimo, anche le forze esercitate sono infinitesime.

Considerando un volumetto di forma cubica con superfici pari a dS, tali che

dτ=dS x dz , le forze di superficie saranno esercitate sulle sei facce, per cui

scriveremo:

6

∑

⃗ ⃗

+

d F d F

v sj

j=1

Essendo le forze orizzontali in equilibrio, dobbiamo imporre solo l’equilibrio delle forze

verticali di intensità infinitesima:

( ) ( )

+

dmg P z dS−P z+ dz dS=0

=

dm=ρdτ ρdSdz

Dove . Dividiamo i termini dell’equazione per dSdz, otteniamo:

( )−P(

+dz )

P z z =ρg

dz

Che possiamo esprimere come:

dP =ρg

dz

Per ottenere la legge con cui varia la pressione con la profondità, integriamo tra la

quota z=0 e la profondità z=h:

(h)

P h

∫ ∫

dP=ρg dz

(0)

P 0

( )−P =

P h ρgh

0

( )=P +

P h ρgh

0

27-Teoria cinetica dei gas, pressione nei gas perfetti

Comprimibilità e pressione nei gas, Teoria Cinetica

teoria cinetica dei gas

Il modello che prende il nome di si basa sulle seguenti ipotesi:

Le particelle del gas sono costituite da sferette rigide puntiformi che si muovono

 liberamente senza l’influenza delle forze molecolari a distanza;

Le particelle sono soggette ad urti elastici sia tra di loro, sia con le pareti

 supposte rigide e lisce.

Consideriamo un recipiente di forma cubica di lato a riempito di un elevato numero N

di atomi di un gas monoatomico i quali si muovono in tutte le direzioni con velocità

distribuite secondo una distribuzione statistica. Supponiamo di poter trascurare sia gli

effetti delle forze molecolari, sia gli effetti della forza peso, tale che la distribuzione

statistica della velocità non dipende dalla direzione del moto.

Quando un atomo colpisce elasticamente una parete, supposta liscia e rigida,

assistiamo ad una riflessione, come abbiamo già visto per l’urto elastico su una parete

“massiva”. L’elevato numero di urti comporta un valore di forza che agisce sulle pareti

pressoché costante nel tempo, e di una pressione media sulla parete data dal rapporto

tra la forza e la superficie della parete. Vogliamo provare a ricavare il valore della

pressione in funzione dei parametri fisici e cinetici del gas. ⃗

v

Consideriamo l’urto di un atomo di massa m in moto con una velocità su una

j

parete massiva rigida e liscia. Come detto l’atomo rimbalza elasticamente sulla parete

e subisce, a causa delle forze interne, una variazione di quantità di moto che, essendo

la parete liscia, riguarda solo la componente perpendicolare alla parete che indichiamo

come asse x:

=−m −m =−2

Δ q v v mv

jx jx jx jx

Sappiamo anche che essendo nell’urto coinvolte solo forze interne, la quantità di moto

S

totale si conserva. Indicando con la variazione della quantità di moto della

Δ q jx

parete, abbiamo:

S

+ =0

Δ q Δq

jx jx

S =−Δ =2

Δ q q m v

jx jx jx

Da questa relazione possiamo ricavare il valore della forza media esercitata dall’uomo

sulla parete mediante l’equazione:

S

Δ q I

´ jx jx

= =

F jx Δt Δt

Per ricavare il valore medio della forza vanno fatte delle considerazioni:

1) Dal teorema dell’impulso e la quantità di moto, sappiamo che la variazione della

quantità di moto è pari all’impulso della forza.

2) Il valore dell’impulso è pari all’area descritta della forza interna nel tempo

3) Per il calcolo della forza media occorre considerare la durata temporale tra due

urti successivi sulla stessa parete che è pari alla distanza percorsa due a diviso

la velocità

Sotto tali ipotesi ricaviamo:

2

m v

´ jx

=

F jx a

A questo punto possiamo calcolare la forza media totale sommando su N atomi:

m

∑ ∑

´ 2

= =

F́ F v

x jx jx

a

Abbiamo già detto che gli atomi del gas hanno una distribuzione di velocità che

possiamo trattare solo statisticamente. Un valore statistico rilevante &egra