Vettori applicati e Spazi vettoriali

INSIEMI

• COLLEZIONE DI OGGETTI{Z Q R}

A ⊂ B INCLUSIONE

SE TUTTI GLI ELEMENTI DI A SONO ANCHE ELEMENTI DI B

A ⊂ B A DENTRO B MA B NE CONTIENE DI PIÙ DI ELEMENTI

A ⊂ B ⇒ {A ⊂ BB = A}

A ∪ B UNIONEA ∩ B INTERSEZIONE

SE A ⊂ B ALLORA{A ∪ B = BA ∩ B = A}

UN ELEMENTO x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A OPPURE x ∈ B

UN ELEMENTO x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A E x ∈ B

FUNZIONE TRA INSIEMI

FISSIAMO A ⊂ B INSIEMI, UNA FUNZIONE DA A VERSO B è UNA REGOLA CHE PERMETTEDI ASSOCIARE AD OGNI ELEMENTO DI A UNO E UN SOLO ELEMENTO DI B

DATO x ∈ A(x) ∈ B è DETTO IMMAGINE DI x TRAMITE f

A ⊂ {TRIANGOLI SUL PIANO}B ⊂ IR

f : A ⇒ IRf (t) : AREA (T)

FISSIAMO SUL PIANO UN RIFERIMENTO CARTESIANO

E⊂ {PUNTI SUL PIANO}

x : E ⇒ IRx(p) : ASCISSE DI P

DATA UNA FUNZIONE f : A ⇒ BL'INSIEME A è DETTO DOMINIO

L'INSIEME B è DETTO CODOMINIO

INIEZIONE

• f : A ⇒ B è INIETTIVA SE DATI a,c ∈ A a≠c ALLORAf (a) ≠ f (a)

SURIETTIVA

• f : A ⇒ B è SURIETTIVA SE OGNI ELEMENTO DI B è IMMAGINE DI ALMENO UNELEMENTO DIFFERENTE

BIUNIVOCA

INIETTIVA

SURIETTIVA

INSIEMI

• COLLEZIONE DI OGGETTI {Z Q R}

A⊆B INCLUSIONE

SE TUTTI GLI ELEMENTI DI A SONO ANCHE ELEMENTI DI B

A⊂B A DENTRO B MA B NE CONTIENE DI PIÙ DI ELEMENTI

A⊆B ⇔ {A⊆B; B⊆A}

A∪B UNIONE

A∩B INTERSEZIONE

SE A⊆B ALLORA {A∪B=B; A∩B=A}

UN ELEMENTO x∈A∪B ⇔ x∈A OPPURE x∈B

UN ELEMENTO x∈A∩B ⇔ x∈A E x∈B

FUNZIONE TRA INSIEMI

FISSIAMO A E B INSIEMI, UNA FUNZIONE DA A VERSO B È UNA REGOLA CHE PERMETTE

DI ASSOCIARE AD OGNI ELEMENTO DI A UNO E UN SOLO ELEMENTO DI B

DATO x∈A (x)∈B f È DETTO IMMAGINE DI x TRAMITE

A={TRIANGOLI SUL PIANO} B=ℝ

f : A→ℝ P : T→AREA(T)

FISSIAMO SUL PIANO UN RIFERIMENTO CARTESIANO

Ɛ = {PUNTI SUL PIANO}

x : Ɛ→ℝ x(P) : ASCISSE DI P

DATA UNA FUNZIONE f : A→B

L'INSIEME A È DETTO DOMINIO

L'INSIEME B È DETTO CODOMINIO

INIEZIONE

• f : A→B È INIETTIVA SE DATI a₁, a₂∈A a₁≠a₂ ALLORA f(a₁)≠f(a₂)

SURIEZIONE

• f : A→B G È SURIEZIONE SE OGNI ELEMENTO DI B È IMMAGINE DI ALMENO UN ELEMENTO DIFFERENTE

Data f : A → B

• Imm(f) = {y∈B | y è l’immagine di almeno un elemento di A}

• f: A ≤ B

f è suriettiva ⟺ f(A) = B

ℝ ≠ ℝ

Non è iniettiva

∀ suriettiva

↑∈ f:ℝ⟶ℝ

P0 è il punto di coordinate (x, 0)

• ∀(A) = {punti con ordinate 0}

ℝ² = {a,b|}

• a, b∈E

(5,7)≠(7,5)

_{⇣ℝ ⊆ ℝ²}

• c➔=(x_p, ꞏ_p)

Dove x_p: ascissa

ꞏ_p: ordinata

Vettori applicati

OP è un segmento orientato nello spazioUn vettore ha un modulo, direzione, verso interesse del punto di applicazione

• Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, direzione, verso e punto di applicazione

Equipollenti sono due vettori con stesso modulo, direzione, verso (ma non necessariamente punto di applicazione)

E³ = {vettori applicati in ^—∘ } E³ : P⇠O^P

{punti nello spazio} O ∈ E

||^OP||

Modulo

1. Numero positivo

MOLTIPLICAZIONE PER SCALARE

λ > 0

λ \vec{OP} = \vec{OP'}

\vec{OP'} É STESSA DIREZIONE E VERSO DI \vec{OP}

|\vec{OP'}| = |\lambda | \cdot |\vec{OP}|

λ < 0

\lambda \vec{OP} = \vec{OP'}

\vec{OP'} HA STESSA DIREZIONE DI \vec{OP} MA VERSO OPPOSTO

|\vec{OP'} | = |\lambda | \cdot |\vec{OP}|

\vec{OP} = \vec{0} = \vec{OP'}

|\lambda| \cdot |\vec{0}| = |\vec{0}|

SOMMA DI VETTORI

1. \vec{OP} \not = \vec{OQ} \hspace{1cm} HANNO DIREZIONI DIVERSE

\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OR}

|\vec{OP} + \vec{OQ}| \rightarrow |\overrightarrow{OR}| \not = |\overrightarrow{OP}| + |\overrightarrow{OQ}|

1. \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \hspace{1cm} HANNO STESSA DIREZIONE

\vec{OP} + \vec{OQ} = \vec{OR} \hspace{1cm} |\overrightarrow{OR}| = |\overrightarrow{OP}| + |\overrightarrow{OQ}|

1. se \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}

|OQ| + |OP| = |OR|

se \overrightarrow{P} \in E_0^3

P É PUNTO NELLO SPAZIO

P * \overrightarrow{V}

E IL VETTORE FINALE DEL VETTORE EQUIPOLLENTE A \overrightarrow{V} APPLICATO IN P

s