Vettori applicati e Spazi vettoriali

INSIEMI

• COLLEZIONE DI OGGETTI {Z, Q, R}

A ⊆ B INCLUSIONE

SE TUTTI GLI ELEMENTI A SONO ANCHE ELEMENTI DI B

A ⊂ B A DENTRO B MA B NE CONTIENE DI PIÙ DI ELEMENTI

A ⊇ B

• A ∪ B UNIONE
• A ∩ B INTERSEZIONE

SE A ⊆ B ALLORA [A ∪ B = B, A ∩ B = A]

UN ELEMENTO x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A OPPURE x ∈ B

UN ELEMENTO x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A E x ∈ B

FUNZIONE TRA INSIEMI

FISSIAMO A E B INSIEMI. UNA FUNZIONE DA A VERSO B È UNA REGOLA CHE PERMETTE DI ASSOCIARLE AD OGNI ELEMENTO DI A UNO E UN SOLO ELEMENTO DI B.

DATI x ∈ A f(x) ∈ B È DETTO IMMAGINE DI x TRAMITE f

A: {TRIANGOLI SUL PIANO} B: R

f: A ⭢ R f(T): AREA(T)

FISSIAMO SUL PIANO UN RIFERIMENTO CARTESIANO

• E: {PUNTI SUL PIANO}

x: E ⭢ R x(p): ASCISSE DI P

DATA UNA FUNZIONE f: A ⭢ B

• L'INSIEME A È DETTO DOMINIO
• L'INSIEME B È DETTO CODOMINIO

INIEITTIVA

• f: A ⭢ B È INIETTIVA SE DATI a₁, a₂ ∈ A a₁ ≠ a₂ ALLORA f(a₁) ≠ f(a₂)

SURIETTIVA

• f: A ⭢ B È SURIETTIVA SE OGNI ELEMENTO DI B È IMMAGINE DI ALMENO UN ELEMENTO DIFFERENTE

Data f: A -> B

f(A) = {y ∈ B | y è l'immagine di almeno un elemento di A}

f(A) ⊆ B

f è suriettiva f(A) = B

x è x = x

Non è iniettiva

È suriettiva

P R -> E

Po è: punto di coordinate (x, 0)

P(A) = {punti con ordinate 0}

R² = {a | a, b ∈ R}

R² ⊆ R²

C(e) = (x_(e), y_(e))

dove: x_(e) = ascissa

y_(e) = ordinata

Vettori Applicati

L è un segmento orientato nello spazio

Un vettore ha un modulo, direzione, verso d'interesse del punto di applicazione

Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, direzione, verso e punto di applicazione

Equivalenti sono due vettori con stesso modulo, direzione, verso (ma non necessariamente punto di applicazione)

E³ è [vettori applicati in O]

ℰ -> R³

P -> δP

|O|

Modulo

Numero positivo

v

v‾ .

( x )

( y )

( z )

w₁

w₂

.

.

kę

V = ( x )

( y )

( z )

( x₁ )

( y₁ )

( z₁ )

x

αp V - αw (:

x₁ )

( y₁ ) - (1

z₁V)

αp

(u ) ( x‾₁ )

( v ) ( x₂ )

( x )

α

(u v ) = (α 3 w _Nu:)

v

(u + α₂ V₂ + α₃V₃) = ( x₁ + y₁) V₁ + (x

V = v₁ + w

v = V₄ + y

( v ) w = V₄ + U w

(u ) ( U w

(v ) ( v₁ + U )

Un riferimento cartesiano nello spazio è dato da un' origine O e tre vettori( x ) applicati in O i mutuamente ortogonali

I* i k _II O

Le coordinate di un punto P nello spazio sono per

definizione le coordinate del vettore OP rispetto alla

Base

Op = ę span ( O i _II )

(y )

(y 2 )

( x )( z )

/ ( x ε R )

( x )( y ) ε R )

rette coordinate

( y ε R )

(z n)

( x ε R )

(y, z)** ε R )

piani coordinati

V = x_A + y_A + z_A K = (x_A N₁ + y_A N₂ + z_A N₃) Â + (x_A N₁ + y_A N₂ + z_A N₃) Â + (x_A N₁ + y_A N₂ + z_A N₃) Â

V = x₁ y₁ z₁

V = ^x/₂

y = ^{(x₁ + 3)}/₂

14 = 2.2 + 3.3 + 2 = 14

|^V| = √₁₄

|V|² = 14 = 14√¹⁴

V·V = x¹ + x¹y¹ + z²

||

|V| = x₁ + y₁ + y_V + z₁

||V·V||

cosθ = (x₁x₁ + y₁y₁ + z₁z₁)/√^{x₁ + x₁ + z2}

O x₂ x₂

L = cosθ

→ |cosθ|

||L || ||cosθ || L || cosθ ||

x + x¹y¹ + z²

ax + bx = d

x=0

ax + bx + cz = y

x-3 = 0

z

x = 0

1

z=1

Distanza tra due punti

d(A, B) = ||AB|| = ||OB - OA|| = |_{(x0 - xA}, _{y0 - yA}, _{z0 - zA})| = √((x₀ - x_A)² + (y₀ - y_A)² + (z₀ - z_A)²)

Distanza di un punto dal piano

Π: ax + by + cz + d

P₀(x₀, y₀, z₀)  d(P₀, Π) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

r: V₀ = Q₀ + t V₀

r: Q_t = (1, 4, 0)    r: x + 4y ≥ 1

P(0, 1, 1)

Q_t: t = {l / 2, 0}t + t = 1    t = 1/2

r ∩ Π      {l / 2   {!0 }1 / 2  

d(PQ) = √((0 - l / 2)² + (2 - 1 / 2)² + (1 - 0)²) = √(1 / 4 + 1 / 4 + 1)

Esempio

P₀: (3, -1, 0)    P₁: (-1, 0, -1)

O_P1: O_P0 = (-4, 1, -1)

P_k = P₀ + t·V₀

(x = 3 - 4ty = 3 - 3tz = -3 - 3t)

3 - x  (3 - 3) / 4 → 3x - 4y - 34  

3 - x  (3 - 2) / 4      x = 3

Esempio

r ∩ Π    

-4x + 3y - 4z = d

{ 2   }3

    -4 · 1 - 3 · 2 - 4( - 3) = d

-4 · 6 + 12 = d    d = 2

Π: -4x - 3y - 4z = 2

d((1, 5/3), Π) = |1 - 4/3 - 3 · 5 - 4/3 - 2| / √((-4)² + (-3)² + (-4)²) = |12 - 15 + 12 - 2| / √(16 + 9 + 16)

= √41

Esempio

W = {

• (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ | x₁ + x₂ + x₃ = 0

W₁ = ℝ²

(x₁, x₂) ∈ W₁

(u, v) ∈ W

(x₁, y) + (x₂ + y₃) + (x₃ + y) + (u₄ + y) = 0

W₁ ∩ W₂ è un sottospazio? No

W₁ ∧ W₂ è un sottospazio? Sì

Proposizione

Se W₁ ∧ W₂ sono sottospazi di V allora W₁ ∧ W₂ è sottospazio

Dimostrazione

1. 0 ∈ W₁ ∧ W₂?
• 0 ∈ W₁ poiché W₁ è sottospazio
• 0 ∈ W₂ poiché W₂ è sottospazio
2. ∀v, w ∈ W₁ ∧ W₂
• v + w ∈ W₁
• v + w ∈ W₂
3. ∴ v + w ∈ W₁ ∧ W₂
4. ∀v ∈ W₁ ∧ W₂, ∀λ ∈ ℝ, λv ∈ W₁ ∧ W₂?
• v ∈ W₁, λv ∈ W₁
• v ∈ W₂, λv ∈ W₂, ∃ γv ∈ W₁ ∧ W₂

In generale l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di k equazioni in n incognite è sottospazio di ℝⁿ

ESEMPIO:

(0 0) (1 0) (0 1) sono generatori di R²? Sì

(1 0 0) (1 -1 1) (0 1 0) (0 0 1)

OSSERVAZIONE 1) Se V₁... V_k sono generatori di V e se W allora {V₁, V_k } è ancora una lista di generatori di V

2) Se V₁... V_k generatori di V allora {V₁... V_k } è ancora lista di generatori

{V_k ∈ Span (V₁... V_k-1 )}

PROBLEMA

DATO W sottospazi di Rⁿ è possibile trovare X₁... X_k ∈ W e c. W = span (X₁, X_k)?

Ovvero c.X₁... X_k siano generatori di W?

DATO uno spazio vettoriale V è possibile determinare un insieme di generatori di V? In generale no.

ESEMPIO

V = R[x]

P₁(x) = x + 1

P₂(x) = x² + x + 1

P₃(x) = x³ + 2 x + 7

DEFINIZIONE Uno spazio vettoriale V è finitamente generato se esiste un insieme di generatori di V

• Rⁿ è F.G.
• Tutti sottospazi di Rⁿ son F.G.
• R[x] non è F.G.

V spazio vettoriale F.G.

V₁... V_k insieme di generatori

λ₁ V₁+λ_k V_k ∈ R

In generale potrei diminuire il numero di parametri

In generale scelte diverse dei coefficienti produrre lo stesso vettore

DEFINIZIONE dati V₁... V_k vettori di V diciamo che V₁... V_k sono linearmente

indipendenti se nessun vettore della lista è ottenibile come combinazione lineare degli altri vettori della lista

Se V₁... V_k sono indipendenti allora span (V₁... V_k) ≠ span (V₁ V_k)