Vettori

Scomposizione di un vettore lungo due

direzioni orientate r ed s

s

v s v

v r

r

Determinare due vettori v e v paralleli rispettivamente a r

r s

ed s e tali che v = v + v

r s

Dall’estremo libero di v si mandano la parallela a r verso s

e la parallela a s verso r. Restano così definiti i vettori v e v

r s

Scomposizione lungo gli assi cartesiani

Si tratta di un caso particolare di scomposizione, lungo le

direzioni ortogonali degli assi cartesiani

y v

v ĵ

y x

v î

x

r ˆ ˆ

= +

v v i v j

x y

Vettori nello spazio

z r ˆ ˆ ˆ

= + +

v v i v j v k

x y z

^

v k

z v r = + +

θ 2 2y 2

v v v v

x z

v ĵ

y y La direzione di v risulta

φ

v î definita dagli angoli θ e φ

x v

= z

θ arccos

x r

v

v

ϕ y

= arctan v x

Prodotto scalare

Dati due vettori a e b, il prodotto scalare tra a e b è una

grandezza scalare definita nel modo seguente:

r

r ⋅ =

a b a b cosα

b Il prodotto scalare tra a e b è

un numero che è pari al

prodotto del modulo di a per

α

os la componente di b lungo la

ac α

direzione di a (a volte bcos )

α a Ovviamente il prodotto

bcosα scalare a · b è anche pari al

prodotto del modulo di b per

la componente di a lungo la

α )

direzione di b (b volte acos

Prodotto scalare in componenti cartesiane

Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono

a due a due perpendicolari fra loro, si ha che:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

⋅ = ⋅ = ⋅ =

i i 1 i j 0 i k 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

⋅ = ⋅ = ⋅ =

j i 0 j j 1 j k 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

⋅ = ⋅ = ⋅ =

k i 0 k j 0 k k 1

Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro

componenti cartesiane, si ha:

r r

ˆ ˆ ˆ r

= + +

a a i a j a k ⋅ = + +

a b a b a b a b

x y z

r x x y y z z

ˆ ˆ ˆ

= + +

b b i b j b k

x y z r r r 2

⋅ = + + =

2 2 2

a a a a a a

Caso particolare: b = a x y z

Prodotto vettoriale

Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale c = a × b è un vettore

che gode delle proprietà seguenti:

• il modulo di c è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di

180° compreso tra a e b

• la direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b

• il verso di c è calcolato applicando la regola della mano destra

c b

θ a

La regola della mano destra

b

Prima formulazione

„ Si dispone il pollice lungo il primo vettore

„ a ×b

Si dispone l’indice lungo il secondo vettore

„ a

Il verso del medio individua il verso del

„ prodotto vettoriale

Seconda formulazione

„ Si chiude a pugno la mano destra

„ mantenendo sollevato il pollice a ×b

Le dita chiuse a pugno devono indicare il

„ verso in cui il primo vettore deve ruotare

per sovrapporsi al secondo in modo che

l’angolo θ di rotazione sia minore di 180° b

Il verso del pollice individua il verso del

„ prodotto vettoriale a

Proprietà del prodotto vettoriale

Il modulo del prodotto vettoriale è

„ b

pari all’area del parallelogramma

individuato dai due vettori

Il prodotto vettoriale è nullo se i

„ θ

due vettori sono paralleli (θ=0) a

Il prodotto vettoriale gode della

„ proprietà anticommutativa:

r r

r r

× = − ×

b a a b

Prodotto vettoriale in componenti cartesiane

Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due

perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si

hanno le seguenti relazioni:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

× = × = × = −

i i 0 i j k i k j

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

× = − × = × =

j i k j j 0 j k i

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

× = × = − × =

k i j k j i k k 0

Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti

cartesiane, si ha che:

r

r ˆ ˆ ˆ

× = − + − + −

a b i (a b a b ) j (a b a b ) k (a b a b )

y z z y z x x z x y y x

ˆ ˆ ˆ

i j k

r

r × =

a b a a a

x y z

b b b

x y z

Posizione di un punto nello spazio

Una volta fissato un sistema di riferimento nello spazio, la posizione

di un qualsiasi punto P dello spazio è individuata tramite il vettore

posizione, ossia il vettore r che congiunge l’origine con il punto P

y P

yĵ r

O x

xî

In coordinate cartesiane, se P(x,y) il vettore posizione è dato da:

r ˆ ˆ

= +

r x

i y

j

Posizione in coordinate polari

La posizione di P è sempre data dal vettore posizione r e û

Il vettore posizione r è ora espresso in termini dei versori û

r φ

û

φ û

r r = ˆ

r r u

P r

r

φ asse polare

O

û = versore nella direzione radiale

r = versore perpendicolare a û nella direzione delle φ crescenti

û

φ r

I versori û e û dipendono dalla posizione del punto P !!!

r φ