Tutte le domande e risposte esame di Analisi Matematica - Piu' di 35 Pagine - Aggiornate a Novembre 2022

Relazioni di equivalenza e ordinamento

Una relazione di equivalenza è una relazione binaria riflessiva, asimmetrica e transitiva.

Data la relazione binaria R={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(3,4),(4,3)} sull'insieme A={0,1,2,3,4}, stabilire se R è una relazione di equivalenza. In caso negativo, indicare quali proprietà non sono verificate e perché. In caso positivo, indicare per ogni elemento di A quale sia la sua classe di equivalenza.

È una relazione di equivalenza. Le classi di equivalenza sono 3: [0]R={0,1}; [2]R={2}; [3]R={3,4}.

La nozione di ordinamento equivale a quella di una relazione binaria riflessiva, transitiva e asimmetrica.

Una relazione binaria definita in un insieme non vuoto A si dice di buon ordine se esiste il minimo di ogni sottoinsieme dell'insieme A.

Considerato un insieme ordinato (A,<) e X c A, detto x=supX, si ha: esiste z ∈ X, ∀ y ∈ X, se y ≤ z, allora x ≤ z.

Il numero √3

è: Irrazionale algebrico10

L'inverso di -2/3 e': -3/2

L'opposto di √7 è: -√7

Se -4 < -3, indicare allora quale delle disuguaglianze e' vera: -1/4 > -1/3

Se presi due valori a e b appartenenti all'insieme dei numeri Reali sono tali che a > b, indicare allora quale disuguaglianza e' vera: a*c < b*c, per ogni c maggiore o uguale a 0

Sia N l'insieme dei numeri naturali: Esiste il minimo ed e' 0 ma non esiste massimo

Siano A={1,2,5, 7,10}, B={2,3, 5, 6,7, 9} e la loro intersezione C. Indicare quale delle seguenti affermazioni e' vera: Il minimo e' 2 ed il massimo e' 10

Sia A={x∈R : 6≤x }. Allora... Esistono massimo e minimo rispettivamente pari a 2 e 980

L'estremo superiore di un insieme si definisce: Massimo dei maggioranti

∈Sia A={x R: 7<x<10}. L'estremo inferiore di A non esiste

Quale/i fra le seguenti funzioni e' / sono suriettiva/e? Soltanto b

Considero la funzione f(x)=8-x

1. definita da R a R f^-1. Qual e' la sua inversa: f^-1(x) = 8 + x
2. Considera la funzione f(x)=x+1 , con dominio l'insieme dei numeri reali non negativi e insieme B l'insieme dei numeri naturali (incluso lo zero) . Una soltanto delle seguenti affermazioni e' falsa: f e' suriettiva
3. Il codominio della funzione rappresentata in figura e': f(A)={2,4,9, 12}
4. Considera la seguente tabella che lega la variabile y a quella x. A quale legge corrisponde: f(x)= x
5. Dati: gli insiemi : A = {triangolo, quadrato, rombo, esagono, decagono} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 12} la funzione: 'x ha un numero di angoli interni uguale a y, con x∈ A e y∈ allora il dominio e il codominio sono rispettivamente...: A e {3,4,6}
6. Quale/i fra le seguenti funzioni definite da A a B ?/sono solo iniettive? Solo a
7. È data la funzione f : x N -> 3x N. Di essa possiamo dire che: f e' iniettiva ma non suriettiva
8. Il dominio della relazione rappresentata in figura

e':{2,3,4}8

Nel diagramma e' rappresentata una funzione dall'insieme A = {1, 3, 5,7, 9, 11} all'insieme B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Qual e' l'insieme delle controimmagini? {2,4,6,10}

Considera la funzione da in f (x) = 8 - x. La funzione composta f ° f e' data da: f(f(x))=x

Considera le seguenti funzioni da R in R, f(x)=3x e g(x)= x+5. La funzione composta f o g e' data da: f(g(x))= 3x+15

Considera le funzioni f(x)=1/x-2x^3 e g(x)=3x^3-7, la funzione somma e' data da: f(x) + g(x) = 1 / x + x^3 - 7

Considera le funzioni f(x) = √x e g(x) = 1 / x-1. La funzione prodotto e' data da: f(x) * g(x) = √x / x-1

Indicare quale/i tra le funzione/i f(x) = x^4 - x^2 , g(x) = 3x-1 / 5 , h(x) = 1 / x^2 è /sono pari: Sia f che h

Indicare quale/i tra le funzione/i f(x) = x / x^2 -1 , g(x) = 7x / 5 , h(x) = x^4+ x^2 è /sono dispari: Sia f che g

Indicare quale tra le seguenti funzioni è crescente: f(x) = x^4 - 5x + 7

Dato il grafico di funzione,

dire quali sono gli intervalli in cui è strettamente decrescente

Nell'intervallo [-2,2]

Considerata la funzione in figura, indicare qual è il suo massimo:

6∈B

Considerata la funzione in figura, indicare qual è il suo minimo:

9∈B

Due grandezze sono inversamente proporzionali. Se la prima raddoppia, la seconda si dimezza

Indicare quale dei seguenti grafici rappresenta una proporzionalità diretta: costante

Indicare quali delle seguenti relazioni tra x e y sono proporzionalità dirette: y=2x

Indicare quale delle seguenti funzioni esprime una legge di proporzionalità inversa: y = 2/x

Data la funzione f(x) = (x-5)2 e indicare di che funzione si tratta e qual è il suo dominio: Funzione potenza ad esponente reale con D=[+5, +∞[

Indicare quale condizione si deve imporre per determinare il dominio della seguente funzione: f(x) = √(2x + 5) / (3x^2 - 32x + 5) / (3x^2 - 3) ≥ 0 ∩ (3x^2 - 3) ≠ 0

La radice 3√-8 vale -2

Data la

funzione f(x) = 2x² - 3 , se f(x) = 15 indicare quanto vale x: +/- 37

Data la funzione f(x) = 3 / 2 √x-7 indicare qual è il suo dominio: x<-78

La nota proprietà dei logaritmi log_a(bc) = log_a(b) + log_a(c) è valida: Se b > 0 e c > 0

Indicare quanto vale log₃x 55: log₃x10

Indicare quanto vale log₁₁: Non è definito

Indicare quanto vale log_-2(-8): Non è definito

Se a è un reale maggiore di zero e diverso da 1, la formula x = a log_ax è valida: Per x > 0

Indicare quale delle seguenti funzioni ha dominio R: y = 3x-14

L'equazione log_x4 + log₄x = -2 è verificata per x=1/4

Indicare quanto vale l'espressione sin(sin(π/3) + cos(π/6)): (1+√3)/2

Indicare quanto vale l'angolo θ per il quale cos(θ) = 1: 0

Indicare quanto vale l'angolo θ per il quale cos(θ) = -1: π

Indicare come si definisce la tangente dell'angolo α: tg(α) = sin(α)/cos(α)

Individuare il campo di esistenza della seguente...

funzione polinomiale y= x² + 5x + 6

Individuare il campo di esistenza della seguente funzione razionale fratta y = 2x¹ / (x² +1) ∞ < x < +∞

Individuare il campo di esistenza della seguente funzione y = - x² +2x + 3 / (x² - 4x) ≠ -2, x ≠ 21

Individuare il campo di esistenza della seguente funzioni rappresentata nel grafico: ]-∞,0[ ∪ ]0, +∞

Indicare quale condizione bisogna imporre per determinare il campo di esistenza della seguente funzione: y = 3 √(-x² + x - 7) Nessuna condizione

Tra le seguenti funzioni, solo una non ha per dominio R-{0}. Indicare quale: y= log √3

Il dominio della funzione y = log₂ log₃ x]1, +infinito[

Il dominio della funzione y = √log_1/2 (x-1) è: [Suggerimento: il log_ax con 0. NB cambia il verso della disuguaglianza] 1 < x ≤ 2

Indicare quale delle seguenti funzioni ha dominio R: 3 x+1

La condizione di esistenza dell'equazione √(x² - 1) - 4 = 0 ∪ x ≤ -1 x ≥ 1

Indicare quanto vale il seguente

limn->+∞ 1/√n

Per successione si intende: Una funzione

La successione non regolare è una successione... Che non ammette limite

Il seguente limite limn->-∞ (-2n3 + n - 5) Vale +infinito

Indicare quanto vale il seguente limite: limn->+∞ e 2n+1+ ∞

Se -5n2 --n->+∞--> -∞ allora quanto il seguente limite limn->+∞ - 1/5n2

Se 3 √n 2 + 3n --n->0 --> 0 indicare quanto vale il limite della successione (7 + 3 √n 2 + 3n)n per n -> 0

Indicare quanto vale il limite seguente: limn->0 n 3 * 23n0

Indicare quanto vale il seguente limite limn->+∞ 4n * sen(1/n) Forma indeterminata 0*infinito

Indicare quanto vale 80: E' una forma indeterminata

Indicare il valore del seguente integrale: limn->+∞(n5 + 7n2 + 2) / (n2 -n + 9) +∞

Indicare il valore del seguente limite: limn->+∞(3n3 + 7n2 + 2) / (6n3 -n + 9) 1/2

Indicare il valore del seguente limite:

Per verificare il limite limx->0(2x+1)/x2 = +∞ si è risolta la disequazione f(x)>M determinando l'intervallo (1-√1+M)/M < x < (1+√1+M)/M.

Il limite è verificato perché si ha un intorno dello 0.

Per verificare il limite limx->-∞√1-x = + ∞ si è risolta la disequazione f(x)>M determinando l'intervallo x < 1-M.

Quale affermazione è corretta?

Il limite è verificato perché si ha un intorno di -∞.

Indicare quanto vale il seguente limite: limx->1√x+8.

Indicare quanto vale il seguente limite: limx->-∞(-3x3 - x) / x2+ inf.

Indicare quanto vale il seguente limite: limx->0 (1 - cos5x) / 25x2.

Indicare quanto vale il seguente limite: limx->0 sen(1/x2).

Non esiste.

Indicare quanto vale il seguente limite: limx->0 log2 (1 + (x2 + x)) / x2+ x.

Non esiste.

La funzione f(x) = 2 / x-4 ammette:

Asintoto.

La funzione f(x) = x^3 + 3 / x ammette:

1. La retta x=0 come asintoto verticale destro per x → +inf e asintoto verticale sinistro per x → -inf
2. La funzione f(x) = x^3 + 3 / x ammette la retta y = x come asintoto obliquo completo

Non è specificato quanto vale i.