Turbolenza - 4

Nelle simulazioni ci servono veramente un'infinità di punti siccome lavoriamo a Re elevati, quindi ho le piccole scale molto piccole.

Quindi si passerà ad un surrogato delle eq. di N-S, siccome non riusciamo ad inseguirle in modo perfetto, infatti nelle simulazioni si inseriscono dei modelli.

Ora riprendiamo l'equazione scritta prima e consideriamo il range inerziale, cioè un range universale delle piccole scale dove abbiamo statisticamente omogeneità e isotropia:

• Omogeneità → ⟨δq²⟩ = ⟨δq²⟩ ()
• Isotropia → ⟨δq²⟩ = ⟨δq²⟩ (||)

Per l'omogeneità statistica perdiamo l'importanza del punto in cui siamo (_c), ma soprattutto dobbiamo avere un'omogeneità dell'energia nelle scale e nello spazio, quindi tutti i termini con ∂/∂_c=0

Per l'isotropia stiamo dicendo che le scale in x, y e z sono uguali.

∂/∂⟨δq²⟩ + ∂/∂_cj⟨δq² ᵘ̃_j⟩ + ∂/∂_j⟨δqδ̃_j⟩ = - 2/ρ̅ ∂⟨δρδ_i⟩/∂_ci + ν/2 ∂²⟨δq²⟩/∂_c∂

+ 2 ν ∂²/∂∂ - 4 Ȇ

Per l'omogeneità statistica avrò:

∂/∂t ⟨δq²⟩ + ∂/∂t⟨δq δu_j⟩ = + 2ν ∇²⟨δq²⟩ − 4ℰ

Andiamo ad applicare l'isotropia statistica, abbiamo la

dipendenza solo di quanto sono grandi le scale.

Le statistiche lungo la superficie della sfera sono costanti, perché dipendono solamente dal raggio ζ della sfera.

Conviene passare alle coordinate sferiche, siccome abbiamo un problema sferico:

⟨δq²⟩ = ⟨δq²⟩ (ζ, φ, θ)

• ζ = √(x_z² + x_y² + x_z²)
• φ = tanh^-1(x_y/x_z)
• θ = sin^-1(√(x_z² + x_y²)/z)

(Raggio nelle coordinate sferiche)

Lo tangente iperbolica

Quindi possiamo scrivere:

δũ = (δu_ζ, δu_φ, δu_θ)

saranno 0 nel caso di omogeneità e isotropia

Trasformiamo subito la divergenza e l'aplaciano quadrato

da coordinate cartesiane a sferiche:

∇⋅A = 1/ζ² ∂/∂ζ ζ²A_ζ + 1/(ζ sinθ) ∂/∂θ A_θ + 1/(ζ sinθ) ∂/∂φ A_φ

Questo significa che i termini a sinistra sono termini negativi, questo vuol dire che trasportano energia per ε decrescenti. Quindi trasportano energia da scale grandi a scale piccole, compatibile con la cascata di energia precedentemente studiata:

Quando siamo a Re molto elevati le piccole scale (l/L ≪ 1) sono più grandi della scala di Kolmogorov (l/η ≫ 1), in questo range inerziale ho solo il flusso di energia e non ho dissipazione quindi ν = 0, quindi posso scrivere:

<q₂ δ² u₂> - 2ν d/dx<δ q₂> = -⁴/₃ <ε>τ ⇒ <q₂ δu₂> = -⁴/₃ <ε>τ

Mentre per piccole scale tipo (l/L ≪ 1 e l/η ≈ 1), inizio la dissipazione e quindi avrò il termine diffuso preponderante e quindi:

-2ν d/dx²<δ q²> = -⁴/₃ <ε>τ

Quindi facciamo il caso del range inerziale con p=1:

<|δu_L|> ~ <ε>^1/3 r^1/3

Se scrivo : δu_L / τ è la derivata (rapporto incrementale)

=> δu_L / τ ~ <ε>^2/3 τ^-2/3

Se faccio τ→0 (Re→∞) avrò il risultato che tende a ∞ (soluzione singolare), ma non posso fare τ→0 perché sto considerando il range inerziale, non il range viscoso.

Quindi andiamo a scrivere per il range viscoso con p=1:

<|δu_L|> ~ <ε>^1/2 τ^1/2 => δu_L / τ ~ <ε>^1/2 τ^-1/2

Quindi se facciamo tendere τ→0 avremo una derivata ben definita -<ε>^1/2 τ^-1/2

Ci sarà una scala dove passeremo dal range inerziale al range viscoso, dove avremo la validità di tutte e due le equazioni: