Turbolenza - 4

Nelle simulazioni ci servono veramente un'infinità di punti siccome lavoriamo a Re elevati, quindi ho le piccole scale molto piccole.

Quindi si passerà ad un surrogato delle Eq. di N-S, siccome non riusciamo ad inseguirle in modo perfetto, infatti, nelle simulazioni si inseriscono dei modelli.

Ora riprendiamo l'equazione scritta prima e consideriamo il range inertiale, cioè un range universale delle piccole scale dove abbiamo statisticamente omogeneità e isotropia:

Omogeneità → <sq²> = <sq²> ℓ, ℓ/L₀ << 1 ; ℓ/η >> 1

Isotropia → <sq²> = c <sq²> (|U|)

Per l'omogeneità statistica perdiamo l'importanza del punto in cui siamo (x_c), ma soprattutto dobbiamo avere un'omogeneità dell'energia nelle scale e nello spazio, quindi tutti i termini con   = 0

Per l'isotropia stiamo dicendo che le scale in x, y e z sono uguali.

_∂/_∂t <sq²> + _∂/_∂xcj <sq²ũ_j> + _∂/_∂xj <sqp_i p_j > = -²̸_{p̅ ∂}/_∂xc <spds_ui> + γ/2 _∂²/_{∂xi ∂xcj} + 2ν _∂²/_{∂xj ∂xcj} - 4^E̅

• Nelle simulazioni ci servono veramente un'infinità di punti siccome lavoriamo a Re elevati, quindi ho le piccole scale molto piccole.
• Quindi si passerà ad un surrogato delle eq. di N-S, siccome non riuscendo ad inseguirle in modo perfetto, infatti nelle simulazioni si inseriscono dei modelli.

Ora riprendiamo l'equazione scritta prima e consideriamo il range inerziale, cioè un range universale dove abbiamo statisticamente omogeneità e isotropia:

Omogeneità → ⟨s_q²⟩ = ⟨s_q²⟩ (t)

Isotropia → ⟨s_q²⟩ = ⟨s_q²⟩ (T_L)

Per l'omogeneità statistica perdiamo l'importanza del punto in cui siamo (x_c), ma soprattutto dobbiamo avere un'omogeneità dell'energia nelle scale e nello spazio, quindi tutti i termini con _∂/_∂x_c = 0

Per l'isotropia stiamo dicendo che le scale in x, y e z sono uguali.

∂/∂t⟨s_q²⟩ + ∂/∂x_cj⟨s_q² u_j̃ ⟩ + ∂/∂x_j⟨s_q s_qj⟩ = -2/ρ ∂/∂x_ci⟨s_ρ s_ui⟩ + ν/2 ∂²/∂x_j∂x_cj⟨s_q²⟩

+ 2ν ∂²/∂x_j∂x_j⟨s_q² ⩀ - 4 ⩀

Per l'omogeneità statistica avrò:

∂/∂t + ∂/∂x_j = + 2ν ∂² /∂x_j ∂x_j - 4 ε

Andiamo ad applicare l'isotropia statistica, abbiamo la dipendenza solo di quanto sono grandi le scale.

Le statistiche lungo la superficie della sfera sono costanti, perchè dipendono solamente dal raggio r della sfera

Conviene passare alle coordinate sferiche, siccome abbiamo un problema sferico:

< δq² > ∝ < δq² >(r, φ, θ)

• r = √(x_z² + x_y² + x_z²) (raggio nelle coordinate sferiche)
• φ = tanh⁻¹(x_x/x_y) (la tangente iperbolica)
• θ = sin⁻¹(√(x_x² + x_z²)/x)

Quindi possiamo scrivere:

δu = (δu_r, δu_φ, δu_θ)

Saranno 0 nel caso di omogeneità e isotropia

Trasformiamo subito la divergenza e l'Apliciano quadrato da coordinate cartesiane a sferiche:

∇ · A = 1/r² ∂/∂r r² A_r + 1/r sin θ ∂/∂θ A_θ sin θ + 1/r sin θ ∂/∂φ A_φ

∇² = ₁/^r2 ∂/∂r (r² ∂/∂r) + ₁/^r2sinθ ∂/∂θ (sinθ ∂/∂θ) + ₁/^r2sin2θ ∂²/∂φ²

Passiamo all'equazione di Kolmogorov e introduciamo queste cose che abbiamo scritto, ricordando che le derivate di φ e θ saranno = 0 per isotropia (non le scriviamo neanche):

∂/∂t ⟨δq²⟩ + ₁/^r2 ∂/∂r r² ⟨δq² δu_r⟩ = _2ν/^r2 ∂/∂r ⟨r² ∂/∂r δq²⟩ - 4 + 4

Equazione di Kolmogorov per il range inerziale (omogeneità ed isotropo) in coordinate cilindriche. Abbiamo detto che in questo range ho solo un flusso di energia, un trasporto dalle grandi alle piccole scale, andiamo ad analizzare se questa equazione ce lo fa vedere.

Siccome andiamo a considerare la turbolenza all'equilibrio, le derivate nel tempo saranno = 0 facciamo un integrale volumetrico per vedere i flussi che entrano ed escono dalla sfera.

∭ r² sinθ dr dθ dφ = ₄/³ π r³ (volume sfera)

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ φ ≤ 2π

Per il 1^o termine:

2/r2 r2 <δq2 δu2>/r2 r2sinθ dr dθ dφ

4π ¦d/dζ ^{r2 <δq₂ δu₂>} ¦dζ = ^{4π r2 <δq2 du₂>}

Per il 2^o termine:

4π ²v/ &rsub;d/rζ² ²(r² <δq²>) r² dr = 4π ¦δ/dζ (r² d/dζ <δq²>) dζ =

= ^{8π v d/dζ <δq2>}

Per il 3^o termine:

<Ξ> non dipende da r,θ e φ

-4<Ξ> 4/3 π r³ = -16/3 π r³ <Ξ>

La _̅̅ε = _ε´+ε´´ / ₂ siccome stiamo considerando la _̅̅ε

ε´≡ε´´, quindi possiamo togliere la tilde:

_-16 / ₃ π_r² <_ε>

Quindi l'equazione di Kolmogorov dei flussi sarà:

_4πr² < δq²δu_r > = _{8πνr² d} / _dr < δq² > - ₁₆ / ₃ π_r³ <_ε>

Divido per _4πr²:

< δq²δu_r > = _{2ν d} / _dr < δq² > - ₄ / ₃ <_ε> r

Porto a sx il flusso viscoso:

< δq²δu_r > - _{2ν d} / _dr < δq² > = - ₄ / ₃ <_ε> r

A sinistra abbiamo i flussi nelle scale:

• 1° termine
• flusso dovuto al trasporto turbolento inerziale
• 2° termine
• flusso di tipo diffusivo

A destra ho un termine negativo essendo <_ε> un termine sempre positivo.

Questo significa che i termini a sinistra sono termini negativi, questo vuol dire che trasportano energia per ς decrescenti, quindi trasportano energia da scale grandi a scale piccole, compatibile con la cascata di energia precedentemente studiata:

Quando siamo a Re molto elevati le piccole scale (_η/_L0≪1) sono piu' grandi della scala di Kolmogorov (_η/η≫1), in questo range inerziale ho solo il flusso di energia e non ho dissipazione quindi ν=0, quindi posso scrivere:

<q_g²δu_r>-2ν _d/_dτ<δq_g²>=-⁴/₃<Ε>τ ⇒ <δq_g²δu_r>=-⁴/₃< Ε >τ

Mentre per piccole scale tipo _η/_L0≪1 e _η/η≈1, inizierò la dissipazione e quindi avro' il termine diffuso preponderante e quindi:

-2ν _d/_dτ <δq_g²>=-⁴/₃< Ε>τ

Quindi abbiamo trovato due leggi esatte molto importanti:

• < δq₂ δu₂ > = -⁴/₃ < ε > r
• -2ν d/c² < δq² > = -⁴/₃ < ε > r

Kolmogorov estese queste equazioni per caratterizzare la struttura del campo di velocità della turbolenza.

Andiamo ad utilizzare incrementi di velocità longitudinali:

δu̅ = u̅ᵢ' - u̅ᵢ"

Incremento di velocità longitudinale: δu̅·r̅ = δu₁₁

Prima:

Dopo:

Praticamente passiamo da un calcolo di variazione di velocità su 3 dimensioni ad un’unica dimensione, questo mi semplifica molto, soprattutto nel caso di simulazione siccome la sonda di velocità è su un’unica direzione.

POSSIAMO SCRIVERE:

{_{⟨δq²⟩ = ¹/t^{2 d}/dz (t³ < δun²>}

{⟨δq² δu_n⟩ = ¹/_{3t³ d}/dz ⟨t⁴ δu_n³>

PER IL RANGE INERZIALE:

{⟨δq² δu_n⟩ = -⁴/₃ ⟨ε⟩z

{⟨δq2 δun⟩ = 1/3t3 d/dz ⟨t4 δun3>

⇒ 1/3z3 d/dz (t4 < δun3>) = - 4/3 ⟨ε⟩z ⇒ d/dz (t4 ⟨δun3>) = -4 ⟨ε⟩ z4

VOGLIO RICAVARE UNA LEGGE PER SU_n, QUINDI VADO AD INTEGRARE:

∫^d/_{dz (z⁴} < δu_n³>) dz = -∫4 ⟨ε⟩ z⁴ dz

z⁴ ⟨δu_n³> = - ⁴/₅ ⟨ε⟩ z⁵

⇒ ⟨δu_n³> = -⁴/₅ ⟨ε⟩ >z LEGGE⁴/₅

LEGGE ESATTA CHE MI DICE COME VARIA L'INCREMENTO DI VELOCITA' (AL CUBO) LONGITUDINALE AL VARIARE DELLA SCALA z NEL RANGE INERZIALE

PER IL RANGE VISCOSO:

FACCIAMO LA STESSA COSA, QUINDI:

-2\int \frac{d}{dz} \langle \delta q^2 \rangle = -\frac{4}{3} \langle \varepsilon \rangle z

\langle \delta q^2 \rangle = \frac{1}{z^2} \langle z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \rangle

\Rightarrow -2\frac{d}{dz} \left[ \frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left( z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \right) \right] = -\frac{4}{3} \langle \varepsilon \rangle z

FACCIO UN PRIMO INTEGRALE:

-2\frac{1}{z^2} \left[ \frac{d}{dz} \left( z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \right) \right] = -\frac{4}{3} \langle \varepsilon \rangle z dz

-2\frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left[ z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \right] = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} z^2 \langle \varepsilon \rangle

\Rightarrow -2\frac{d}{dz} \left( z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \right) = -\frac{2}{3} z^4 \langle \varepsilon \rangle

INTEGRO PER TROVARE L'ESPRESSIONE DI \langle \delta u_{z1}^2 \rangle IN QUESTO RANGE:

-2 \int \frac{d}{dz} \left( z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \right) dz = -\int \frac{2}{3} z \langle \varepsilon \rangle dz

-2z \left( z^3 \langle \delta u_{z1}^2 \rangle \right) = -\frac{2}{3 \cdot 5} z^5 \langle \varepsilon \rangle

\Rightarrow \langle \delta u_{z1}^2 \rangle = -\frac{1}{15} z^2 \langle \varepsilon \rangle z

CON QUESTA LEGGE POSSO CONOSCERE QUANTO SONO GRANDI LE FLUTTUAZIONI DELLE VELOCITÀ NEL RANGE VISCOSO.

ABBIAMO UN PROBLEMA, CI PIACEREBBE AVERE \delta u_{z1}^2 SENZA POTENZA.PER CERCARE DI AVERE UN'EQUAZIONE DI QUESTO TIPO PASSERÒ

Nel "mondo inesatto":

<|δu_ll|> ≠ √<δu_ll²>

⇒ <δu_ll|> ≈ √<δu_ll²>

Questo è il passaggio dell'inesattezza

Quindi nel range inerziale:

<δu_ll^p> ≈ ( - ⁴/₅ < ε > ϵ )^p/3

Mentre nel range viscoso:

<δu_ll^p> ≈ ( ¹/_15ν < ε > ʐ² )^p/2

Siccome abbiamo fatto delle semplificazioni abbiamo una differenza tra i risultati reali e quelli tramite queste leggi:

Considero la legge nel range inerziale:

⟨ δu_ll^p⟩ ∼ ʐ^ξ(p)

Vediamo che per p < 3 la teoria coincide con la realtà

QUINDI FACCIAMO IL CASO DEL RANGE INERZIALE CON p = 1:

<|δu_l|> ~ <ε>^1/3 l^1/3

SE SCRIVO : ^δu_l È LA DERIVATA (RAPPORTO INCREMENTALE)

=> ^δu_l ~ <ε>^1/3 l^-2/3

SE FACCIO l→0 (Re→∞) AVRÒ IL RISULTATO CHE TENDE A ∞ (SOLUZIONE SINGOLARE), MA NON POSSO FARE l→0 PERCHÉ STO CONSIDERANDO IL RANGE INERZIALE, NON IL RANGE VISCOSO.

QUINDI ANDIAMO A SCRIVERE PER IL RANGE VISCOSO CON p = 1:

<|δu_l|>~ <ε ν²>^1/2 l ⇒ ^δu_l ~ <ε ν²>^1/2

QUINDI SE FACCIAMO TENDERE l→0 AVREMO UNA DERIVATA BEN DEFINITA -<ε ν²>^1/2

CI SARÀ UNA SCALA DOVE PASSEREMO DAL RANGE INERZIALE AL RANGE VISCOSO, DOVE AVREMO LA VALIDITÀ DI TUTTE E DUE LE EQUAZIONI: