Il significato di Turbolenza in greco/latino:
ε, ν, ρ, β, η ⇒ Fenomeno caotico (turba)
Il fluidodinamica il flusso turbolento è governato dal caos.
(Video)
La maggior parte dei strati limite che si hanno nella realtà, sono strati limite turbolenti.
Turbolenza
È un fenomeno randomico e caotico, è un fenomeno che caratterizza il flusso, non il fluido (esempio opposto è la viscosità)
- Randomico ⇒ Non si può sapere prima della prova la velocità in un determinato punto
- Caotico ⇒ Fenomeno molto sensibile alle condizioni iniziali e condizioni al bordo.
Abbiamo difficoltà nel definire se siamo in un flusso laminare o turbolento, quindi andiamo a definire delle proprietà, che ci aiuterà a caratterizzare il flusso turbolento:
Il significato di Turbolenza in greco/latino:
Fenomeno caotico (turba)
Il fluidodinamica il flusso turbolento è governato dal caos.
La maggior parte dei strati limite che si hanno nella realtà, sono strati limite turbolenti.
Turbolenza
È un fenomeno randomico e caotico, è un fenomeno che caratterizza il flusso, non il fluido (esempio opposto è la viscosità)
- Randomico - Non si può sapere prima della prova la velocità in un determinato punto
- Caotico - Fenomeno molto sensibile alle condizioni iniziali e condizioni al bordo.
Abbiamo difficoltà nel definire se siamo in un flusso laminare o turbolento, quindi andiamo a definire delle proprietà, che ci aiuterà a caratterizzare il flusso turbolento:
Fenomeno 3D e non stazionario
- Abbiamo il fenomeno del vortex stretching
- La turbolenza in 2D non esiste, se parliamo di soluzione in 2D, vuol dire che sono soluzioni medie
- Per esempio profili di velocità
- Forte irregolarità della soluzione
- Natura casuale delle realizzazioni
Se io faccio le prove con le stesse condizioni (velocità e pressione, che impostiamo noi), ma in momenti diversi, non ho gli stessi risultati. Questo è molto strano siccome stiamo utilizzando le equazioni di Navier-Stokes, che non hanno nessuna semplificazione tramite un modello. Si è visto tramite la teoria dei sistemi dinamici non lineari (teoria del caos), che i sistemi non lineari hanno una grossa influenza al variare delle condizioni al bordo e dalle condizioni iniziali, se pur per variazioni di condizioni piccolissime. Quindi diciamo che non abbiamo una realizzazione di soluzioni casuale, ma bensì un’estrazione di condizioni iniziali e condizioni al bordo casuali, siccome le variazioni di condizioni sono così piccole che non le riusciamo a
MISURARE.
Tutta questa casualità non succede nel caso di regimelaminare (perché Re è basso e sotto a quello critico)
Un'altra proprietà importante dei sistemi non lineari è cheposso avere una fluttuazione locale del risultato (cioè se vadoa controllare il valore di un risultato di una prova e poidi un'altra prova, ma nello stesso punto di riferimento,i due risultati saranno diversi), ma se vado a fareuna media nel tempo dei risultati trovati nelle singoleprove, troverò un valore che sarà uguale.
Questo ci fa capire che quando ho a che fare con laturbolenza devo considerare la statistica.Infatti useremo la decomposizione di Reynolds:
ū(x,t) = <ū> + (ū - <ω̅>) = Ū + u̅̅'
3) Fenomeno ad alto Re- A bassi Re i fenomeni non lineari vengono attenuatidagli effetti viscosi.
4) Turbolenza Fenomeno Dissipativo e Miscelativo
Anche se gli effetti viscosi sono superati dal termine avdettivo.
- Miscelativo
- Camera di combustione
- Fumo sigaretta in camera (legge convettiva diffusa)
Facciamo l'esempio del fumo, non considero flussi convettivi:
\t + xj = k \xjxj
Espressione Indicatile Termine Miscelativo
\t + xj + \xk = 0 (stessi indici)
Indici diversi:
xj =
- x
- y
- z
Tempo Caratteristico di Diffusione Fum:
T = l2/k
Studiamo un caso più ingegneristico, flusso in un tubo:
Q = πR4Δp/8μL (laminare)
Se impongo:
Δp = 1 PaR = 0,5 mL = 1 mQ ~ 20 m3/sec
Re = 3·105 → Q ~ 0,25 m2/sec
È un Re turbolento e mi produce una dissipazione di portata uguale a
Diagramma di Moody
log (f)laminare turbolento
log (Re)
f = 64 / Re (laminare)
1 / √f = -2 log (ε / D / 3,7 + 2,51 / Re √f) (turbolento)
f → fattore di attrito
Più ε / D è grande più la parete è rugosa
Tramite l'esempio di una condotta e il diagramma di Moody, abbiamo capito che:
- La turbolenza ha un effetto dissipativo
- Per Re sufficientemente elevati, qualsiasi parete è rugosa
- Anomalia dissipativa
- Carattere multiscala della turbolenza
Ad un Re sufficientemente elevato il fattore di attrito diventa costante (anomalia dissipativa), il motivo per cui tutte le pareti sono rugose a Re elevati è legato al carattere multiscala.
5) Anomalia dissipativa
Per capire meglio questa proprieta' essendo la dissipazione energetica (cinetica), scriviamo l'energia cinetica da Navier-Stokes:
Utilizziamo la forma indiciale per la turbolenza:
(divergenza)
∂ui/∂xi = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z
(tensore)
- ∂ui/∂xj: ∂u/∂x
- ∂v/∂y
- ∂w/∂z
- ∂vi/∂xj: ∂v/∂x
- ∂v/∂y
- ∂v/∂z
- ∂wi/∂xj: ∂w/∂x
- ∂w/∂y
- ∂w/∂z
Da Navier-Stokes:
∂ui/∂xi = 0
∂ui/∂t + ∂ui/∂xj uj = -1/ρ ∂p/∂xi + ν ∂2ui/∂xj2 + fi
fi → Forze di massa volumetriche
Moltiplico ui all'equazione della quantità di moto (k = 1/2 uiui)
ui ∂ui/∂t + ui ∂ui/∂xj ui uj = -ui / ρ ∂p/∂xi + νi ∂2ui/∂xj∂xj + fi ui
- a)
ui ∂ui/∂t = 1/2 ∂uiui/∂t
→ 1/2 ∂uiui/∂t = ui ∂ui/∂t - ∂k/∂t
- b)
ui ∂uj/∂xj = uj ∂ui/∂xj = uj 1/2 ∂ui/∂xj = uj ∂ui/∂xj
ui ∂uj/∂xj = uj ∂k/∂xj = ∂kuj/∂xj
- c)
-ui/ρ ∂p/∂xi = -1/ρ ui ∂p/∂xi = -ρ ∂p/∂xi
d)
ν ui ∂2ui/∂xj∂xj
Siccome:
∂2 uiui/∂xj∂xj = ∂/∂xj ( 2uiui/∂xj) - 2ui/∂xj ∂xj = 2∂ui/∂xj ∂ui/∂xj + 2ui ∂2ui/∂xj∂xj
⇒ 2ui ∂2ui/∂xj∂xj = ∂2uiui/∂xj∂xj - 2 ∂ui/∂xj ∂xj ⇒ ui ∂2ui/∂xj∂xj = 1/2 ∂2uiui/∂xj∂xj - ∂ui/∂xj ∂xj
⇒ ν ui ∂2ui/∂xj∂xj = 1/2 ν ∂2uiui/∂xj∂xj - ∂ui/∂xj ∂ui/∂xj = ν ∂2K/∂xj∂xj - ν ∂ui/∂xj ∂ui/∂xj
Quindi l'equazione dell'energia cinetica:
∂K/∂t + ∂/∂xj k uj = -1/∂P/∂ρ ∂xi + ν ∂2K/∂xj∂xj - ν ∂ui/∂xj ∂ui + fiui
1° termine:
Variazione dell'energia cinetica nel tempo
2° termine (Divergenza)
Termine convettivo, rappresenta il trasporto dell'energia cinetica tramite la velocità
3° termine (Divergenza)
Termine di trasporto tramite pressione e velocità
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