Turbolenza - 2

Nella notazione indiciale/di Einstein, la divergenza di un tensore, sarà un vettore e viene scritta come:

[₂u₁¹) + (2u₁₂) + (2u₁₃)]

[₂u₂¹) + (2u₂₂) + (2u₂₃)]

[₂u₃¹) + (2u₃₂) + (2u₃₃)]

+ 2 [₂u₂¹) + 2u₂₂) + 2 (2u₂₃)]

Riprendendo la scrittura di energia cinetica fatta in precedenza, e notando le 4 divergenze, possiamo scrivere:

+ 2_k^t k u_j = 1 / p - 2 [_k| ρu_{j uxi}+ Lj

+ 2_k

2 _k [₂u_j - 2_uxiuj + fu._i

[₂u_j - 2_u

Lj fu i con:

j, = -ku - pfu,

÷ rappresentano i fenomeni di trasporto dell'energia cinetica

ψ flusso di energia cinetica

linee di livello

livello alto di energia cinetica

spostamento di energia cinetica, da livelli alti a livelli bassi

Nel caso del 2^o termine (equazione iniziale dell'energia cinetica), sarà trasportata dal gradiente della velocità, più è grande il gradiente più sarà grande il trasporto.

Nella notazione indiciale di Einstein, la divergenza di un tensore, sarà un vettore e viene scritta come:

^∂/_∂xj [

| (^∂u₁/_∂x1), (^∂u₁/_∂x2), (^∂u₁/_∂x3) |

| (^∂u₂/_∂x1), (^∂u₂/_∂x2), (^∂u₂/_∂x3) |

| (^∂u₃/_∂x1), (^∂u₃/_∂x2), (^∂u₃/_∂x3) |

]

Riprendendo la scrittura di energia cinetica fatta in precedenza, e notando le 4 divergenze, possiamo scrivere:

^∂k/_∂t + ^∂/_∂xj ku_j = - ¹/_⍴ ^∂p/_∂xi - ⍴ ^∂k/_∂xj - ^∂u_i/_∂xj ^∂u_i/_∂xj + f_i u_i

→ ^∂k/_∂t = ^∂Ψ_j/_∂xj - ⍴ ^∂u_i/_∂xj ^∂u_i/_∂xj + f_i u_i

con: Ψ_j = -ku_j -⍴ pu_i + ⍴^∂k/_∂xj

Flusso di energia cinetica

Nel caso del 2° termine (equazione iniziale dell' energia cinetica), sarà trasportata dal gradiente della velocità, più è grande il gradiente più sarà grande il trasporto.

Nel caso del 3° termine sarà trasportata dal gradiente della velocità più la pressione.Per il 4° termine sarà trasportata dalla viscosità.

Andiamo ad integrare l'equazione iniziale, perché così andiamo a vedere il contenuto dell'insieme turbolento:

∫_V ∂k/∂t dV = -∫_V ∂k u_i/∂x_i dV - ∫_V 1/ρ ∂p u_i/∂x_i dV + ∫_V ν ∂²k/∂x_j∂x_j dV - ∫_V ν ∂u_i u_j/∂x_j dV + ∫_V f_i ∂u_i dV

1° termine:

Posso portare fuori la variabile di integrazione parziale non essendo una variabile di integrazione:

∫_V ∂k/∂t dV = d/dt ∫_V k dV

2°/3°/4° termini:

Tutti e 3 sono divergenze di un flusso, utilizzando il Teorema di Gauss della divergenza:

∫_V ∂/∂x_j dV = ∫_∂V u_i n̂_j ds

Nel nostro caso:

-∫_V ∂k u_i/∂x_i dV - ∫_V 1/ρ ∂p u_i/∂x_i dV + ∫_V ν ∂²k/∂x_j∂x_j dV = ∫_∂V -(k u_i - 1/ρ p u_i δ_ij + ν ∂k/∂x_i) n̂_j ds

∂V → SUPERFICIE CHE CONTORNA IL VOLUME V

PER LA DIVERGENZA DI x_i DOBBIAMO INSERIRE IL DELTA

DI KRONECHER PERCHE SAREBBE:

∫_V 1/ρ ∂ρx_i / ∂x_i dV = -∫_∂V 1/ρ ρx_i n_i dS

MA NEGLI ALTRI TERMINI HO L'INDICE j, QUINDI INSERISCO IL

DELTA DI KRONECHER: