Turbolenza - 2

Nella notazione indiciale di Einstein, la divergenza di un tensore, sarà un vettore e viene scritta come:

^∂/_∂x1 ( ^∂u₁/_∂x1 ) + ^∂u₁/_∂x2 + ^∂u₁/_∂x3 ^∂/_∂x2 ( ^∂u₂/_∂x1 ) + ^∂u₂/_∂x2 + ^∂u₂/_∂x3 ^∂/_∂x3 ( ^∂u₃/_∂x1 ) + ^∂u₃/_∂x2 + ^∂u₃/_∂x3

Riprendendo la scrittura di energia cinetica fatta in precedenza, e notando le 4 divergenze, possiamo scrivere:

^∂K/_∂t + ^∂/_∂xj k_ui = -1/ρ ^∂P/_∂xi +ν ^∂2K/_∂xj² -ν ^∂u_i/_∂xj ^∂u_i/_∂xj + f_iu_i

^∂K/_∂t = -ν ^∂Ψ_j/_∂xj - ν ^∂u_i/_∂xj + f_iu_i

Con: Ψ_j = -k_uj - ρP_ui +ν ^∂K/_∂xj

rappresentano i fenomeni di trasporto dell’energia cinetica Ψ flusso di energia cinetica

Linee di livello

Livello alto di energia cinetica Spostamento di energia cinetica, da livelli alti a livelli bassi

Nel caso del 2° termine (equazione iniziale dell’energia cinetica), sarà trasportata dal gradiente della velocità, più è grande il gradiente più sarà grande il trasporto.

Nel caso del 3° termine sarà trasportata dal gradiente della velocità più la pressione.

Per il 4° termine sarà trasportata dalla viscosità.

Andiamo ad integrare l'equazione iniziale, perché così andiamo a vedere il contenuto dell'insieme turbolento:

∫_V ∂k/∂t dV = - ∫_V ∂k u_i/∂x_i dV - ∫_V ∂p u_i/∂x dV + ∫_V ν ∂²k/∂x_j∂x_j dV - ∫_V ∂(u_i ∂u_i)/∂x_j dV + ∫_V f_i u_i dV

1° termine:

Posso portare fuori la variabile di integrazione parziale non essendo una variabile di integrazione:

∫_V ∂k/∂t dV = d/dt ∫_V k dV

2°/3°/4° termini:

Tutti e 3 sono divergenze di un flusso, utilizzando il teorema di Gauss della divergenza:

∫_V ∂u_i/∂x_j dV = ∫_∂V u_i n̂_j ds

Nel nostro caso:

-∫_V ∂k u_i/∂x_j dV - ∫_V ∂p u_i/∂ρ dV + ∫_V ν ∂²k/∂x_j∂x_j dV = ∫_∂V (- k u_i - p/ρ u_i δ_ij + ν ∂k/∂x_j) n̂_j ds

\[ \int_{\partial B} \left(-\frac {1}{p} p \delta_{ij} + \nu \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} \right) \hat{n}_{j} dS = \int_{\partial B} \left(-\frac {1}{p} p \delta_{ij} + \mu \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} \right) u_{i} \hat{n}_{j} dS \]

\[ \int_{\partial B} p \delta_{ij} \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} u_{i} \hat{n}_{j} dS = \]

Aggiungo e sottraggo l'integrale,

\[ \int_{\partial B} \left[ -p \delta_{ij} + \mu \left( \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}} \right) \right] u_{i} \hat{n}_{j} dS - \nu \int_{\partial B} \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} \hat{n}_{j} dS \]

Dove:

\[ \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 2 S_{ij} \] Tensore delle deformazioni

\[ \rho \left[ -p \delta_{ij} + \mu \left( \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}} \right) \right] \hat{n}_{j} = T_{ij} \hat{n}_{j} = t_{i} \]

\[T_{ij} \rightarrow \text{Tensore degli sforzi normali e tangenziali}\]

\[t_{i} \rightarrow \text{Vettore degli sforzi i applicati alla nostra vettura}\]

\[\rightarrow \int_{\partial B} \frac {t_{i}}{p} u_{i} dS - \int_{\partial B} \nu u_{i} \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}} n_{j} dS\]

Per il secondo termine applico il teorema di Gauss della divergenza in maniera opposta:

\[ \int_{\partial B} \frac {t_{i}}{p} u_{i} dS - \int_{V} \nu \frac {\partial }{\partial x_{j}} \left( u_{i} \frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}} \right) dV \]

Fenomeno di Multiscala

La scala è la distanza dove si hanno le variazioni di velocità (_Δx).

Colori diversi per scale diverse

Se inserissi una sonda di velocità quello che vedrei sarebbe:

Notiamo che abbiamo delle fluttuazioni a scale grandi (fluttuazioni grandi), delle fluttuazioni a scale intermedie e fluttuazioni a scale sempre più piccole.

Vedremo che _Δx diminuisce all’aumentare di Re, cioè le scale diventano sempre più piccole all’aumentare di Re.

Dobbiamo introdurre degli strumenti che ci aiuteranno a studiare il caso, tramite le statistiche:

È correlata con la funzione di struttura:

<δ_ij - δ_ij δ_ij >

La funzione di correlazione serve per misurare la forma delle strutture turbolente più importanti statisticamente parlando.

Per esempio in F1 abbiamo la generazione del vortice Y-25, per sapere le sue dimensioni, a parte in maniera visiva, utilizzo la funzione di correlazione.

Esempio di strato limite di turbolenza a parete:

Questi due vortici prendono il flusso lontano dalla parete e lo schiacciano sulla parete, quindi il flusso con alta velocità lo sposto dove ho poca velocità e viceversa.

Disegno un vortice:

R₁₁(z₂)→funzione di correlazione della velocità spanwise (direzione orizzontale)

R₂₂(z₂)→funzione di correlazione della velocità verticale

R₃₃(z₂)→funzione di correlazione della velocità streamwise (direzione flusso)