Turbolenza

Turbolenza

Il disordine del flusso turbolento comprende:

 Fluttuazioni di pressione, velocità e temperatura;

 Vortici;

 Variazioni Casuali del campo fluidodinamico, con spettro energetico differente fra le proprietà;

 Auto-sostenimento: capacità di riprodurre vortici per compensare la perdita di altri dovuta alle

dissipazioni viscose;

 Miscelamento maggiore e più rapido dovuto ai vortici e alla loro tridimensionalità, che favorisce la

diffusione di massa, quantità di moto ed energia fra particelle fluide;

N.B. Non deve esserci necessariamente una parete per avere

un regime turbolento. Inoltre, quando uno turbolento

entra a contatto con un altro non turbolento, il disordine

si organizza nelle cosiddette “strutture coerenti” (fig.).

Per una descrizione matematica, le richieste minime sono: profilo di velocità (e/o temperatura) e frizione (e/o

calore scambiato) alla parete. Dato che ogni proprietà può essere vista come somma del valore medio e della

fluttuazione, le incognite raddoppiano ed occorrono informazioni aggiuntive per la chiusura del problema.

1. Approccio deterministico: teoria statistica delle funzioni di correlazione turbolenta;

–

2. Approccio semi empirico: derivazione sperimentale delle funzioni di correlazione attraverso analisi

dimensionali, per la descrizione degli effetti della turbolenza sul flusso medio.

“Intermittenza” come la frazione temporale in cui

Definiamo la

il flusso è effettivamente turbolento:

Δ

=

Per esempio, la figura mostra (a) la misurazione di una

componente di un flusso turbolento, che non presenta

intermittenza, e (b) la misurazione della fluttuazione di una

al bordo di un getto. L’intermittenza in

componente di velocità

questo caso è dovuta al fatto che il contorno del getto è irregolare

e la sonda misura in modo alternato i due regimi.

() = ̅ + ′:

Supponiamo che la (a) mostri la media della fluttuazione è nulla, per cui per caratterizzare

l’intensità della fluttuazione ci rifacciamo al valore quadratico medio e alla radice quadratica media

(RMS): +

1 0

à : ̅ = ∫ ()

0 +

1 0

̅̅̅̅

√

′ ′2 2 ()

. : = = ∫ ′

√

0

dove scelto maggiore del periodo caratteristico di fluttuazione

Consideriamo adesso uno strato limite 2D in regime di flusso turbolento. Le misurazioni indicano che la

presenza della parete influenza le componenti turbolenti del flusso in modo differente: la fluttuazione

′

longitudinale è quella più importante in quanto non riceve alcun impedimento dalla parete ed è inotre

′ ′

alimentata dal flusso medio; il termino invece è il più piccolo per la presenza della parete, e il termine

ha intensità intermedia. Inoltre possiamo notare:

 –

Su scala minore tutte le fluttuazioni si annullano alla parete (no slip condition);

 Anisotropia della fluttuazione della velocità;

 oltre lo strato limite, nel cosiddetto “super

Esse si estendono layer” (comportamento associato

all’intermittenza dello strato più esterno);

 > ;

Comportamento isotropo per –

Equazioni RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes)

–

Applichiamo la media alle equazioni di Navier Stokes. Ipotesi:

 Flusso incomprimibile;

 Flusso viscoso;

 , e

Proprietà costanti (come );

̅

+ ∇ ∙ = ∇ ∙ = 0 ⇒ ∇∙

̅

̅̅̅̅̅̅

′ ′

() ( )

̅

̅

+ ∇ ∙ = −∇ + ∇ ∙ + ∇ ∙ = −∇ + ∇ ∙ ( − )

⇒

( ′ ′

+ ∇ ∙ ) = −∇ ∙ ̇ + ∙ ∇ ⇒ + ∇ ∙ ( ) = −∇ ∙ (̇ + ) + Φ

′ ′

− = " " ′′ = " "

̅̅̅̅̅̅

′ ′ ′ ′

(− )

∇ ∙ ∇ ∙ ( ),

N.B. I termini di trasporto per azione della turbolenza, e sono trattati come se

fossero come azioni esterne (stress e flusso di calore aggiuntivo).

–

Bilancio Energia Cinetica Turbolenta

L’energia cinetica turbolenta è quell’energia associata al moto casuale delle singole fluttuazioni. Per questo è

un indice del livello di turbolenza. Partendo dalla definizione dell’energia cinetica media:

1 1 1 2 2

′ ′ ′2

= ∙ = ∙ + ( + + )

2 2 2

“Energia Cinetica Turbolenta”

1 1 2 2

2 ′ ′ ′2

= = ( + + )

2 2

Viene inoltre definito un Livello di Turbolenza: 1

1 1 2

2

= ( )

3

Entrambe le definizioni sono una misura locale dell’intensità della turbolenza. Durante il moto è possibile

l’evoluzione di questa quantità con le proprietà medie. Partiamo dal bilancio dell’energia

mettere in relazione

meccanica:

= ( + ∙ ∇ ) = − ∙ ∇ + (∇ ∙ ) ∙

∇ ∙ = 0.

Dalla continuità, per flussi incomprimibili: Questo permette di riscrivere la derivata totale in una

forma che aiuta la manipolazione della equazione e la media che andremo a fare:

( )

+ ∇ ∙ = −∇ ∙ () + (∇ ∙ ) ∙

Facciamo la media:

′ ′ ′ ′

+ ∇ ∙ ( + ′) = −∇ ∙ ( + ) + (∇ ∙ ) ∙ + (∇ ∙ ) ∙ ′

Sottraendo a questa l’equazione RANS del bilancio della media della quantità di moto:

1 1 ′ ′

(

( ( ∙ ) + ∇ ∙ ( ( ∙ ))) = −∇ ∙ ) + ∙ ∇ ∙ ( − )

2 2

bilancio dell’energia cinetica turbolenta:

Otteniamo il

1

2 ′ ′ 2 ′ ′ ′ ′ ′ ′

( + ∙ ∇) ( ) = −∇ ∙ [ ( + )] − ∙ ∇ + ∇ ∙ [ ∙ ∇ ∙ ] − ∙ ∇

2 2

Produzione dell’energia

dell’energia

Variazione cinetica turbolenta

cinetica turbolenta “Dissipazione

= viscosa della

turbolenza”

Diffusione convettiva

dell’energia cinetica Da considerazioni dimensionali:

turbolenta 3

≈

Strati Limite Turbolenti

Le semplificazioni dell’analisi dimensionale per i flussi laminari sono valide per il flusso turbolento medio:

+ =0

2 2

1 ∂

2

′ ′ ′

+ + =− + ( + ) − ( ) − ( )

2 2

2 2

1 ∂ 2

′ ′ ′

0=− + ( + ) − ( ) − ( )

2 2

In modo analogo per il flusso laminare, procediamo integrando la quantità di moto lungo y, tenendo presente

′2 (,

(, ) ≈ ) ≈ 0:

che e

() ()

∂ 2 2

′ ′

() (,

∫ = − ∫ ( ) ⇒ (, ) = − )

0 0

Differentemente dagli strati limite laminari, c’è una piccola variazione di pressione dovuta alle

N.B. fluttuazioni perpendic