Turbolenza

Molto usata è una formula composita per Wall + Overlap Layer:

+

− +

ℓ ≈ [1 − ]

+

≈ 27

(dove per pareti lisce)

L’andamento costante nella regione esterna è una condizione soddisfatta mettendo in relazione la lunghezza

di miscelamento con lo spessore dello strato limite. Molti modelli sono stati sviluppati e due di questi sono

molto popolari e meritano di essere citati: ℓ ≈ 0.09 δ()

∗

≈ 0.016

Il primo fa parte della teoria Mixing Length Theory, mentre la seconda fa parte della stessa modellazione della

turbolenza, ma senza introdurre il concetto di lunghezza di mescolamento.

N.B. Questi modelli algebrici di turbolenza necessitano delle correzioni per tenere di conto di fattori come:

aspirazione, soffiaggio, … Ad esempio l’effetto del gradiente di pressione sullo

gradiente di pressione,

stress di taglio in prossimità della parete non può essere trascurato e questo non può essere più

considerato costante:

≈ +

= 0.4 + ()

Dunque:

/,

dove è un parametro definito più avanti, che dipende dal gradiente dalla forza di attrito alla

parete e dallo spessore dello strato limite.

Inoltre, in analogia con i flussi laminari possiamo definire:

Pr =

′ ′ ′ ′

−

Siccome gli i meccanismi di trasporto medio dei termini turbolenti e sono identici, possiamo

scrivere quella che è considerata l’ Analogia di Reynolds per flussi turbolenti:

Pr = (Pr) ≈ (1)

Fissato il Prandtl costante, possiamo legare con , il quale può essere correlato al modello di viscosità

turbolenta. Così facendo, una volta trovato il profilo di velocità, la cui determinazione è indipendente dalla

temperatura, è possibile trovare anche il profilo di temperatura ed il calore scambiato alla parete.

Struttura dello Strato Turbolento 2D

Lo strato turbolento può essere diviso in tre regioni:

 (o “Wall

Regione Interna Layer”):

Questa regione, di spessore piccolissimo e per questo trascurabile, è caratterizzata dalla predominanza

≫

degli effetti viscosi su quelli turbolenti ( ). Il flusso è indipendente dalle condizioni del flusso

(),

libero e possiamo scrivere:

= ( , , , )

–

Inoltre può essere ulteriormente scomposta in due sotto spessori:

“Viscous il profilo di velocità è lineare;

- Sublayer”:

“Buffer il profilo ha un andamento che congiunge la

- Layer”: Regione Interna con quella Intermedia.

 Regione Intermedia (“Overlap or Log Layer”): ≈

I fenomeni viscosi e turbolenti sono dello stesso ordine di grandezza ( ). La funzione che

descrive questa regione deve adattarsi a quelle adiacenti, per questo si impone:

=

 (o “Wake

Regione Esterna Layer”): ≪

I fenomeni turbolenti sono predominanti ( ). Il profilo medio sarà caratterizzato da una forma a

“S” come quella dei profili delle scie (“Wake – Like Shape”). Spesso viene trascurata questa regione

commettendo un piccolo errore. La parete in questo caso agirà soltanto come sorgente di una differenza

fra flusso libero e flusso medio nel BL:

= ( , , , )

Profilo di Velocità Media , )

Sia il profilo della regione interna che quello della regione esterna presentano 3 dimensioni (, e 5

, , , , , , , ()

variabili (, per quello interno, per quello esterno), perciò, per il Teorema di

Buckingham, posso organizzare il problema in 2 gruppi adimensionali.

 ≤ / ≤ 0.02):

Profilo alla parete (0 ∗

+ + +

( )

= = =

∗

+ + sono dette “Variabili

& interne”

∗ “Velocità

= / =

√

mentre di Frizione alla Parete”

 ≥ 0.2):

Profilo più esterno (/ −

()

= =

∗

N.B. In realtà, il profilo esterno generico dipende anche dal gradiente di pressione, quindi avrei una

variabile in più e dunque un parametro adimensionale in più:

−

(,

= )

∗

∗

= = ( )

 “Log – (0.02 ≤ / ≤ 0.2):

Profile” ∗

()

= ⇒ ( ) = −

∗

Per la natura dell’espressione precedente, le due funzioni devono essere di tipo logaritmico, quindi:

1

+ +

= ln + =

≈ 0.4

{

dove da dati empirici

≈ 5.5

–

Wall Wake Profile

Per semplificare la descrizione matematica si fa affidamento ad un profilo definito a tratti. In particolare è

possibile inglobare i vari profili più vicini alla parete in un'unica formula. Inoltre, la parte esterna viene corretta

–

per generalizzare il profilo (Wake Like).

 +

< 30

Legge della parete: applicabile indicativamente per (o superiori)

1

+ +

= ln +

Oppure usando la correlazione di Spalding: 1 1

+

+ + − + + 2 + 3

( ) ( )

≈ + [ − 1 − − − ]

2 6

 +

> 30

Legge della scia: applicabile per

Se il gradiente di pressione non è trascurabile, questo produce sul profilo un discostamento rispetto alla

legge logaritmica. Questa deviazione può essere trattata in vari modi. Per esempio:

∗

−

(,

= ) =

∗

lo strato limite viene detto in “Equilibrio” nel senso che le proprietà

=

Nel caso in cui

macroscopiche medie del flusso possono essere scalabili attraverso un parametro. Infatti in questo caso, il

()

=

flusso libero segue una legge , in modo analogo a quanto accade per le soluzioni similari di

–

Falkner Skan. l’approccio migliore è quello seguito da Coles, il quale

Dato che la funzione risulta molto complessa,

notò una certa somiglianza del profilo esterno con il profilo di una scia. Dunque propose:

2

2 sin ( )

+

+ () ()

− = () = ≈ { 2 (entrambe utilizzabili)

+

− () 3 2

−4 + 6

E di utilizzare: Π()

+

+

= + ()

0.75

Π() = ≈ 0.8( + 0.5)

(determinazione del coefficiente d’attrito)

Esempi:

 Attrito in Tubi:

Ipotesi:

- Strato interno viscoso trascurabile;

- Strato esterno assente;

=

- Bassa rugosità ( altezza media della rugosità); (su una metà, l’altra per simmetria):

Possiamo utilizzare la legge logaritmica su tutto il condotto

∗

1

= ln ( ) +

∗

∗ è direttamente legata all’attrito, attraverso il coefficiente d’attrito, che a seconda del

La velocità , Λ, ):

problema è definito in forma differente (

Λ Λ 2

∗ √ √

= = = = = =

√ 2

2 8 4

Parametro molto importante nei tubi è la portata volumetrica, o equivalentemente la velocità media sul

= ( − ):

condotto. Con riferimento alla figura, la variabile del flusso sarà

2

= ( − ) =

∫ ( raggio del tubo)

0

Sviluppando l’integrale: 1 ≈ 2 log( − 0.8

√Λ)

√Λ

L’effetto della rugosità, quando non più trascurabile, aggiunge al profilo logaritmico un termine:

N.B. ∗ ∗

1 1

+ + + +

) ) )

= ln ( ) + − Δ( Δ( = ln(1 + 0.3 =

∗

 Attrito su Lastra Piana:

Ipotesi:

- Strato interno viscoso trascurabile;

- Strato esterno trascurabile (questo produce un piccolo errore ma semplifica la trattazione);

+ +

( )

Quello che segue vale indipendentemente dalla funzione utilizzata (quindi, sia per lastra liscia che

rugosa). Sviluppando i bilanci: ∗ ∗

1

2

+ + +

= −∫ = − ⇒ =

∗ +

0 +

2

2

+ +

⇒ = = () () = ∫

2

0

= = ∫ = ∫ ()

0 0

–

Flussi Liberi Getto Turbolento

Per “Free si intendono flussi non influenzati da contorni, tipo dal