Turbolenza 3

Cerchiamo di capire il legame tra l’anomalia dissipativa con l’osservazione del fenomeno multiscala.

Immaginiamo di avere un campo di velocità regolare e differenziabile (tramite le equazioni di Navier-Stokes):

(⃗+Δ⃗,)=(⃗,)+∇⃗⋅Δ⃗+O(|Δ⃗|²)

Possiamo considerare un incremento: (distanza)

Ipoteziamo che ci sarà una scala che eguaglia l’incremento:

=|Δ|

Quindi:

|∇⃗| = ((⃗+̂,)−(⃗,))/

(Rapporto incrementale)

̂ = versore generico nello spazio

Se la soluzione è regolare allora posso dire che la derivata è uguale al rapporto incrementale. Quindi sarà la distanza, minima, tra due punti, che sarà

PICCOLA ABBASTANZA PER NON AVERE VARIAZIONI DI VELOCITÀ A SCALE ANCORA PIÙ PICCOLE.

PER L'ANOMALIA DISSIPATIVA:

|∇_U| ≈ _U₀/^L₀√Re = Δ_u/ΔX

|∇U|max ≈ Δ_u^max/ΔX_min

ΔX_min = η ( SCALA DI KOLMOGOROV )

ΔX_max:

CONSIDERANDO UN PROFILO ALARE, SUL CORPO AVRÒ z=0 PER B.C. E FUORI DALLO STRATO LIMITE z\ _oo

QUINDI | Δ_u^max = z\ _oo − 0 | (SAREBBE QUALCOSA DI PIÙ GRANDE DI z\ _oo PERCHÉ HO UNA LINEA DI CORRENTE CHE AGGIRA IL CORPO, MA SICCOME CONSIDERANDO GLI ORDINI DI GRANDEZZA POSSO ANCHE CONSIDERARE

= >

|∇U|max ≈ η

=> ^{U₀ √Re}/^L₀ η↓ => ΔX ↓ => |∇u|= Δ_u/ΔX ↑

DALLA VISCOSITÀ (ν) E DALLA DISSIPAZIONE DI ENERGIA (ε).

ANALIZZIAMO QUESTA PRIMA IPOTESI:

• Re elevati significa che le piccole scale sono veramente piccole rispetto alle grandi scale.
• Le statistiche delle piccole scale sono universali, quindi il flusso turbolento che si ha su un cilindro, alle piccole scale è uguale al flusso turbolento di un moto convettivo:

• Flusso attorno al cilindro

• Moto convettivo parete calda - parete fredda

• Strato limite su lastra piana

Scale minuscole → se siamo a Re elevati → hanno un comportamento universale tra di loro

|u| = C ϵ^1/3 r^1/3

C → costante di proporzionalità universale

Con questa equazione, se conosco la dissipazione ϵ, posso trovare la variazione di velocità su una scala di grandezza r.

Questa legge qua spiega perché sono ipotesi di autosimilarità; perché riscalando a seconda della scala che stiamo considerando lo stesso fenomeno.

Però quello che ci interessa è l'energia, cioè |u|², quindi q² che è la funzione di struttura:

q² = C' ϵ^2/3 r^2/3

Two-third law

Legge che ci indica quanta energia ho ad ogni scala che c'è nel range inerziale.

Ma per sapere l'energia scala per scala si usa lo spettro di energia:

Ĕ_u = [u²] = [m³/s²] ⇒ Ĕ = C'' ϵ^β

2/s2β -

^{-2- = 3}

_{3 = 2}

= -⁵/₃

= ²/₃

d)

1/2_xi ( ∂²u_i/∂x_j∂x_j - ∂²u_i/∂x_i∂x_j ) = 1/2 ( ∂²δu_i/∂x_j∂x_j + ∂²δu_i/∂x_j∂x_j )

δq² = 2 δu_i δu_i

∂δu_i 2δu_i = 2 δu_i δu_i + 2 δu_i xʼ_j ∂/∂x_i + 2 δu_i δu_i δu_i

∂x_i 2 δu_i - ∂ρ/∂x_i δu_i

a)

2 δu_i ∂/∂t δu_i = 2/t δq²

b)

2 δu_i xʼ_j ∂/∂x_{i ij} δq² = x_j ∂/∂x_j δq²

c)

2 δu_i δu_i ∂/∂x_j x_j = x_j ∂/∂δ δq²

TRASPORTO DA PUNTO A PUNTO

TRASPORTO DA SCALA A SCALA