Turbolenza 3

Cerchiamo di capire il legame tra l’anomalia dissipativa con l’osservazione dei fenomeno multiscala.

Immaginiamo di avere un campo di velocità regolare e differenziabile (tramite le equazioni di Navier-Stokes):

̅u(̅x+Δ̅x,t) = ̅u(̅x,t) + ∇̅u•Δ̅x O(||Δ̅x||²)

(Sviluppo di Taylor)

Possiamo considerare un incremento: η

(distanza)

Ipoteziamo che ci sarà una scala che ugualia l'incremento:

η = |Δx|

Quindi:

|∇̅u| = (̅u(̅x+ηê,t) - ̅u(̅x,t)) / η

(Rapporto incrementale)

ê → versore generico nello spazio

Se la soluzione è regolare allora posso dire che la derivata è uguale al rapporto incrementale.Quindi η sarà la distanza, minima, tra due punti, che sar à

Cerchiamo di capire il legame tra l'anomalia dissipativa con l'osservazione del fenomeno multiscala.

Immaginiamo di avere un campo di velocità regolare e differenziabile (tramite le equazioni di Navier-Stokes):

(Sviluppo di Taylor)

Possiamo considerare un incremento: η (distanza)

Ipoteziamo che ci sarà una scala che uguaglia l'incremento:

Quindi:

(Rapporto incrementale)

ê -> versore generico nello spazio

Al di sotto di questa scala ho una soluzione regolare

Rapporto incrementale = derivata

Se la soluzione è regolare allora posso dire che la derivata è uguale al rapporto incrementale.

Quindi η sarà la distanza minima, tra due punti, che sarà

piccola abbastanza per non avere variazioni di velocità a scale ancora più piccole.

Per l'anomalia dissipativa:

|∇_l| ∼ U₀ / L₀ √Re = ∆u / ∆x

|∇_l|_max = ∆u_max / ∆x_min

{∆x_min = η (scala di Kolmogorov)

∆u_max}

Considerando un profilo alare, sul corpo avrò - _∞ per B.C. e fuori dallo strato limite _∞ quindi ∆u_max = 2_∞ - 0 (sarebbe qualcosa di più grande di _∞ perché ho la linea di corrente che aggira il corpo, ma siccome consideriamo gli ordini di grandezza posso anche considerare _∞

=> |∇_l|_max ∼ _∞ / η

=> _∞ / L₀ √Re <> _∞ / η

=> η / L₀ < 1 / √Re     →→ ☐

ecco perché l'anomalia dissipativa è legata al carattere multiscala della turbolenza

Questa espressione ci dice che η / L₀, cioè il rapporto tra la più piccola scala e la lunghezza di riferimento (la grande scala), è più piccolo di 1 / √Re.

Quindi se aumenta Re le scale diventano sempre più piccole.

Questo spiega perché il gradiente di velocità aumenta con l'aumento di Re:

Re ↑ → η ↓ → ∆x ↓ → |∇| ∼ ∆ / ∆x ↑

Considerando il grafico dello spettro:

Se aumento Re la scala più piccola diventa sempre più piccola quindi avrà una variazione di questo tipo

Questa osservazione, cioè l'andamento delle scale con il Re, ci fa introdurre un fenomeno chiamato cascata di energia (turbulenta).

Sappiamo che la dissipazione è indipendente dalla viscosità:

_ε ∼ _U³/_L         ⇒   η = η(Re)

Quindi praticamente l'energia che dissipiamo dipende dalle grandi scale, ma poi questa energia la andiamo a dissipare alle piccole scale.

Cascata di energia

I vortici grossi, quelli della grande scala formano l'energia associata alla turbolenza quindi definiscono quanta energia dissipano, questi vortici sono quelli che si formano nell'interazione tra flusso e cilindro per esempio.

Ma la dissipazione di questa energia sarà a vortici di scale più piccole, quindi dai vortici delle grandi scale si formeranno vortici sempre più piccoli dove avremo la dissipazione dell'energia, si formano vortici più piccoli per instabilità.

La grandezza della scala minima sarà in relazione a Re siccome ȳ ~ η(Re), alla scala di Kolmogorov abbiamo tutta la dissipazione rimanente.

7) Fenomeno Rotazionale

La turbolenza è un fenomeno strettamente rotazionale e quindi abbiamo la vorticità:

ω = ∇ x u rotore della velocità

Si può ricavare che la pseudo dissipazione:

ε = ν (ω_i ω_i + 2