Trigonometria

Trigonometria

"Misura di triangoli" nota fino dagli antichi greci, anche se le funzioni trigonometriche furono scoperte solo più tardi in India e Medio Oriente.

Misura degli angoli

In 2D (angoli piani)

θ = _l/_r grandezza adimensionale
angolo giro: _2πr/_r = 2π

In 3D (angoli solidi)

Settore di una superficie sferica centrato in O
θ = _S/_r²
4πr²/_r² = 4π

La misura degli angoli è necessaria per la descrizione dei poligoni e dei poliedri e, più in generale, per la misura dello spazio multidimensionale.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni fondamentali sin θ e cos θ sono definite come le proiezioni sugli assi cartesiani di un vettore di lunghezza unitaria O, più in generale come il rapporto tra proiezioni e lunghezza del vettore. Da questa semplice definizione geometrica se ne deducono tutte le proprietà:

1. sin θ e cos θ sono funzioni periodiche con periodo 2π; sono f. adimensionali e [-1, 1].
2. Data la simmetria del problema, si può pensare dall’una all’altra con uno spostamento dell’argomento degli angoli:
   cos(θ) = sin(θ ± π/2)
   sin(θ) = cos(θ ± π/2)
3. Dato il Teorema di Pitagora, allora vale:
   sin²θ + cos²θ = 1

Da queste proprietà si possono ricavare valori per alcuni angoli notevoli:

Ad esempio:

• θ = π/4
  per ovvia simmetria:
  sin π/4 = cos π/4
  ma sin² θ + cos² θ = 1 ⇒ 2 sin² π/4 = 1 ⇒ sin π/4 = √2/2
• θ = π/3
  per simmetria:
  sin π/6 = cos π/3
  cos π/6 = sin π/3
  applicando le formule di duplicazione:
  sin π/3 = 2 sin π/6 cos π/6
  cos π/3 = 1 - 2 sin² π/6 = 1 - 2 cos² π/6 = 1
  si trova sin π/6 = 1 - 2 sin² π/6 ⇒ sin π/6 = 1/2
  e dall'ovvio sin² θ + cos² θ = 1 ⇒ cos² π/6 = 1 - 1/4 = 3/4 ⇒ cos π/6 = √3/2

Le funzioni sono tabulate e ben note. Esiste poi una terna fumica:

tanθ = _sinθ/_cosθ è il rapporto tra i due cateti del triangolo rettangolo.

Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche hanno una simmetria ben definita:
sin(-θ) = -sinθ (dispari)
cos(-θ) = cosθ (pari)
tan(-θ) = -tanθ (dispari)

Si può dimostrare geometricamente una regola di somma di angoli:

• sin(α+β) = sinα cosβ + sinβ cosα
• cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ

Da queste deriviamo le formule di duplicazione e bisezione:

• sin(2α) = 2sinα cosα
• cos(2α) = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
• cos²(^α/₂) = (cosα + 1)/2
• sin²(^α/₂) = (1 - cosα)/2

Si possono trovare regole analoghe per la tangente. Altre relazioni importanti sono le cosiddette formule che servono per trasformare somme di sinusoidali in prodotti, e che hanno un uso frequente in fisica (interferenza, battimenti, etc.):

^sin_d + sin_β = 2 sin ^(d+β)/₂ cos ^(d-β)/₂
cos_d + cos_β = 2 cos ^(d+β)/₂ cos ^(d-β)/₂

Entrambe si dimostrano facilmente con quanto trovato fino ad ora. Ad esempio:
2 sin ^(d+β)/₂ cos ^(d-β)/₂ = 2 [sin_d cos_β + sin_β cos_d]
x [cos ^β/₂ cos^d/₂ + sin^d/₂ sin ^β/₂]== 2 [cos^{2 β}/₂ sin_d cos_d + sin^d/₂ cos^β/₂ + cos^{2 d}/₂ sin_β cos_β ++ sin^{2 β}/₂ cos_d sin_d/₂]== 2 sin_d cos_d + 2 sin_β cos_β == sin_d + sin_β

Le f. trigonometriche si applicano alla risoluzione dei triangoli.

Teorema dei seni

Teorema del coseno (o di Carnot) (generalizzazione del teorema di Pitagora)

Geometricamente è possibile definire la derivata delle funzioni trigonometriche. Se x è piccolo, l'arco è uguale alla corda, e l'angolo al vertice superiore è .

Risolvendo il triangolo:
d = d-d = d ⇒ _d/_d = _d/_d = -
Derivata prima

Derivando ancora:
^{d2 sin}/_d² = -^{d2 cos}/_d² = -
La derivata seconda delle funzioni trigonometriche è uguale a meno la funzione stessa.

Queste proprietà si possono derivare direttamente anche dalla forma complessa delle f. trigonometriche:
Euler, c. 1750
\( e^{i\Theta} = \cos\Theta + i \sin\Theta \)
\( \cos\Theta = \text{Re} \left[ \frac{e^{i\Theta} + e^{-i\Theta}}{2} \right] \)
\( \sin\Theta = \text{Re} \left[ \frac{e^{i\Theta} - e^{-i\Theta}}{2i} \right] \)

Si ricordi infatti che la funzione esponenziale ha la derivata uguale a se stessa:
\( \frac{d e^x}{dx} = e^x \)

Le sinusoidi sono la soluzione generale dell'equazione:
\( \frac{d^2 f(x)}{dx^2} = -A f(x) \)

Esempi notevoli in Fisica:

1. Moto in presenza di una forza elastica:
   \( m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx \)
2. Equazione delle onde:
   \( \frac{\partial^2 F(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 F(x,t)}{\partial t^2} \)

Inoltre, le funzioni trigonometriche sono alla base della trasformata di Fourier.