Matematica per le applicazioni I - Trigonometria
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Appunti a cura di Roberto Bringheli e Carmelo Zucco easy matematica di Adolfo Scimone
Pagina 33
α + α
2 2
cos sen 1
=
α α α α
sen cos sen cos
1 1
=
α α α α
sen cos sen cos
N° 3 α α + α −
2
2 2 1
tg tg
( )
α − α + + α =
2
2
2 cos 2 1 cos
sin tg +
2
2 1
tg
− α α + α −
( ) 2
1 cos 2 tg 2 tg 1
( )
α α − α − α + + α =
2
2 2
2 sin cos cos sin 1 cos
+ α +
2
1 cos tg 1
+ −
α α
2
2 tg 2 tg 1
− + + − =
α α α α α
2 2 2
cos cos cos
2 sin sin 1 +
α
2
tg 1
+ −
α
2
2 tg 2 tg 1
+ − + =
α α α α
2 2
cos cos
2 sin sin 2 1 +
α
2
tg 1
= α + α
2 2
1 sin cos
Adesso bisogna sostituire a ed otterremo:
α + α −
2
2 tg ctg 1
α α + α − α + α + α =
2 2 2 2
2 sin cos sin 2 cos sin cos α +
2
tg 1
Ma questa identità si può scrivere anche così:
α + α α − α α + α −
2 2 2
2 sin 2 sin cos cos 2 tg 2 tg 1
= +
2
1 tg 1
= α + α
2 2
1 sin cos
Quindi sostituendo a otterremo:
+ −
α + α α − α α α
2 2 2
cos cos
2 sin 2 sin 2 tg 2 tg 1
= +
α + α α
2 2 2
cos
sin tg 1 α
2
cos
Ora bisogna dividere sia il numeratore che il denominatore per :
α + α − α + α −
2 2
2 tg 2 tg 1 2 tg 2 tg 1
=
α + α +
2 2
tg 1 tg 1
Abbiamo così verificato che questa è una identità.
EQUAZIONI =
sen x a
Si definisce equazione goniometrica elementare ed ha la forma una uguaglianza
fra due espressioni goniometriche che viene definita per alcuni valori che si attribuiscono agli
angoli. = − ≤ ≤
sen x a 1 a 1
avrà necessariamente come condizione ,
La sopraindicata equazione
poiché il seno non può variare oltre tali valori.
Esempi di equazioni goniometriche elementari sono:
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Pagina 34
Esempio n° 1 P
′
P
1
=
sinx 2 1
Il seno di x assume il valore in due punti, come si nota dal grafico, e precisamente:
2
π
= + κπ
x 2
1) 6 π 5
⇒
= π − + κπ = π + κπ
x 2 x 2
2) 6 6
I due valori ottenuti saranno dunque le soluzioni dell’equazione.
Esempio n°2
3
=
cosx 2 P ′
P 3
Il coseno di x assume il valore in due punti, come si nota dal grafico, e precisamente:
2
π
= + κπ
x 2
1) 6 π
= − + κπ
x 2
2) 6 =
cosx a
Si nota che nelle equazioni goniometriche di tipo il secondo valore non è dato
π − α
dalla differenza , considerando alfa il primo valore dell’angolo trovato.
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Pagina 35
Esempio n° 3
=
tgx 3
a
π + α
α π
= + κπ
x 3 π
Si nota che la tangente è una funzione periodica di e pertanto ha una sola soluzione.
EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI
Sono equazioni riconducibili ad elementari tutte quelle equazioni che attraverso abbassamento
=
sinx a
di grado o semplificazione assumono la forma
Esempio n° 1
+ − =
2
cos x cos x 2 0 ∆ = 9
risolvendo come una equazione algebrica di 2° grado otterremo, essendo
− 2
− ±
1 3
= =
cosx 2 + 1
abbiamo così ricondotto l’equazione iniziale a quelle della forma elementare seguente:
= −2
cosx
1) =
cosx 1
2) cosx
La prima equazione non ha soluzione poiché il valore di varia da –1 a 1.
La seconda equazione ha due soluzioni:
=
x 2κπ
= π + κπ
x 2 EQUAZIONI LINEARI
sen x cosx
e avrà forma:
Un’espressione lineare generica in
+ + =
asinx b cos x c 0
Se c=0 l’equazione è omogenea.
La risoluzione delle equazioni lineari è possibile attraverso diversi metodi:
1° metodo: si divide l’intera equazione per uno dei fattori comuni all’equazione, ossia
sen x cosx
o .
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Pagina 36 π
≠ ≠ + κπ
cosx 0 x
Tale metodo può essere usato supposto che e .
2
Dunque un’equazione del tipo:
+ =
asinx b cos x 0
cosx avrà forma:
dividendo per
+ =
atgx b 0
Esempio
− =
sinx 3 cos x 0
cosx
dividendo per otterremo:
− =
tgx 3 0
=
tgx 3
La soluzione sarà:
π
= + κπ
x 3
2° Metodo: risoluzione con parametriche π
x ≠ π + κπ
π
≠ + x 2
e
Tale metodo può essere utilizzato supposto che tg k
2 2
Si ricordano le formule parametriche del sen e del coseno che sono:
2
t
=
sin x + 2
1 t
− 2
1 t
=
cos x − 2
1 t
Esempio
+ − =
sinx cos x 1 0
sostituendo otterremo:
− 2
2
t 1 t
+ − =
1 0
+ +
2 2
1 t 1 t
da cui si avrà:
+ − − − =
2 2
2
t 1 t 1 t 0
− =
2
2
t 2
t 0
− =
2
t t 0
( )
− =
t t 1 0
=
t 0
1
Quindi avrà soluzioni:
x π π
= =
⇒
1) tg k x 2 k
2 π π
x π π
= + = +
⇒
2) tg k x 2 k
2 4 2
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Pagina 37
4° Metodo (Metodo grafico)
L’equazione del tipo
+ + =
sen x cos x c 0
può essere risolta attraverso il metodo che consente graficamente di trovare le soluzioni.
Tale metodo consiste nel porre
=
cosx X
=
sen x Y
dando così all’equazione la forma:
+ + =
X Y c 0
associando a questa l’equazione di una circonferenza goniometrica, dunque:
+ =
2 2
X Y 1
otterremo un sistema del tipo:
+ + =
X Y c 0
+ =
2 2
X Y 1
Le soluzioni del sistema, che sono rappresentate graficamente, daranno le soluzioni
dell’equazione.
N.B.) si ricorda che tale metodo è il più appropriato per la risoluzione di un’equazione
goniometrica lineare.
Esempio
+ =
sen x cos x 0
=
cos x X
ponendo: =
sen x Y
e associando la circonferenza goniometrica avremo un sistema del tipo:
+ =
X Y 0
+ =
2 2
X Y 1
sviluppando otterremo:
= −
Y X
+ =
2 2
1
X Y = −
= −
Y X
Y X
= −
Y X
1 1 2
= = ± = ±
= 2
2
X
X
2 1
X
2 2
2
otterremo due punti:
2
2
= = −
Y Y 2
2 ∪
2
2
= − =
X X
2 2
le coordinate dei punti che chiameremo rispettivamente A e B saranno:
2 2 2 2
−
A B
; ;−
2 2 2 2
rappresentati graficamente:
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Pagina 38
A
3 π
4 π
− 4
B π
Le soluzioni reali sono due ma poiché sommando ad
entrambi gli angoli si ottiene l’angolo opposto, è bene dunque omettere una delle due
κπ 2κπ
soluzioni, se ne deduce quindi che i due punti risulteranno periodici di e non di e
π
= − + κπ
x
dunque la soluzione sarà: 4
EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO
Un’equazione si dice omogenea di 2° grado quando ha la seguente forma:
+ + =
2 2
asin x bsinx cos x c cos x 0
π
≠ + κπ ≠
x cosx 0
Supposto che e
2 2 2
cos x sin x
o , ottenendo quindi
Tale equazione può essere risolta dividendo l’intera per
tgx ctgx
o .
una o più equazioni elementari in
Dunque:
+ + =
2
atg x btgx c 0
Esempi ( )
+ − − =
2 2
sin x 3 1 sinx cos x 3 cos x 0
2
cos x si otterrà:
dividendo per
( )
+ − − =
2
tg x 3 1 tgx 3 0
( ) ( )
2 2
∆= − + = +
3 1 4 3 3 1 − + − −
3 1 3 1
( ) ( ) =− 3
− − ± +
3 1 3 1 2
= =
tgx − + + +
2 3 1 3 1 = 1
2
le soluzioni sono:
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Pagina 39 π π
= − = − = − + κπ
⇒
tgx 3 tgx x
1) 3 3
π π
= = = + κπ
⇒
tgx 1 tgx x
2) 4 4
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Pagina 40
EQUAZIONI CON PARAMETRO
Le equazioni parametriche goniometriche possono essere risolte attraverso il metodo grafico.
Tali equazioni richiedono che nell’intervallo considerato (detto parametro) si determini una
corrispondenza biunivoca, tale corrispondenza determinerà le soluzioni dell’equazione stessa.
Le equazioni parametriche goniometriche possono essere di vario tipo:
Equazioni elementari:
= κ −
2 1
sinx
π
< <
0 x
6 + = = =
2 2
sin x cos x 1 sinx Y cosx X
e posto e
associando all’equazione data l’identità
il sistema assumerà tale forma:
= κ −
2 1
Y
+ =
2 2
1
X Y
π
< <
0 x
6 cosx
sinx
risolvendo l’intervallo rispetto a e si avrà:
= −
κ
2 1
Y
+ =
2 2
1
X Y
3 1
< < ∨ < <
1 0
x Y
2 2
La prima equazione rappresenta un fascio di rette parallele all’asse x; la seconda equazione
rappresenta un’equazione della circonferenza goniometrica; le limitazioni determinano sulla
3 1
( )
AB A 1
;
0 B ;
circonferenza stessa l’arco di estremi aventi coordinate e
2 2
rappresentando graficamente avremo:
y
3
κ = B
4 A
1
κ = x
2
Sostituendo all’equazione con il parametro le coordinate di A e di B otterremo:
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Pagina 41 1
( ) κ =
= κ −
⇒
A 1
;
0 0 2 1
per cioè 2
3 1 1 3
= κ − κ =
⇒
; 2 1
B
per cioè
4
2 2 2
1 3
κ ∈ ;
Quindi come si vede anche dalla figura la soluzione che otterremo sarà:
2 4
Equazioni lineari in seno e coseno:
+ + κ − =
sen x cos x 1 0
π
< <
0 x
2 + = =
2 2
sen x cos x 1 sen x Y
e posto e
associando all’equazione data l’identità
=
cosx X il sistema assumerà tale forma:
+ + − =
Y X K 1 0
+ =
2 2
X Y 1
< < ∨ < <
X Y
0 1 0 1
per trovare i punti A e B che determinano un arco sulla circonferenza goniometrica π
< <
cosx sen x 0 x
consideriamo i valori assunti da e negli estremi della limitazione
2
dunque:
=
cos0 1 →
A
=
sin 0 0
( )
A 1
;
0
π
=
cos 0
2 →
B
π
=
sen 1
2
( )
B 0
;
1
Considerando il sistema
+ + − =
1 0
Y X K
+ =
2 2
1
X Y
< < ∨ < <
0 1 0 1
X Y
La prima equazione rappresenta un fascio di rette, la seconda rappresenta una circonferenza
AB
goniometrica, le limitazioni determinano nella circonferenza stessa l’arco aventi
( ) ( )
A 1
;
0 B 0
;
1
coordinate e .
Rappresentato graficamente avremo:
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Pagina 42
B A
O
Sostituendo all’equazione con il parametro le coordinate di A e B otterremo:
( ) + + κ − = κ =
⇒
A 1
;
0 0 1 1 0 0
cioè
per ( ) + + κ − = κ =
⇒
B 0
;
1 1 0 1 0 0
per cioè
Sapendo che tra le parallele vi è anche la tangente, imponendone condizione, mediante la
distanza di un punto da una retta avremo:
+ +
ax by c
( ) = 0 0
d Pr +
2 2
a b ( ) + + κ − =
P 0
;
0 Y X 1 0
e la retta , avremo:
considerando il punto
κ − 1
( ) = =
d Pr 1
2
κ − =
1 2
κ = +
1 2
per vedere dov’è verificata la tangente
κ = −
1 2 κ
sostituendo i due valori di all’equazione iniziale, otterremo:
κ = +
1 2
per si avrà
+ + + − =
Y X X 2 1 0
+ + =
Y X 2 0
= −
Y 2 X
κ = −
1 2 si avrà
per
+ + + − =
Y X X 2 1 0
+ + =
Y X 2 0
= −
Y 2 X
κ = 0
per
non esistono soluzioni < −1
la prima non verifica la tangente poiché è , la seconda la verifica
dunque l’equazione avrà soluzioni:
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κ = −
1 2
per 2 soluzioni
< κ < −
0 1 2
per 1 soluzione
κ= 0
per nessuna soluzione
κ< 0
per nessuna soluzione
[ ]
∈ −
x 1 2 ;
0
2 soluzioni
EQUAZIONI DI 2° GRADO IN CUI COMPARE UNA SOLA FUNZIONE
GONIOMETRICA
+ κ + κ − =
2
cos x cos x 2 0
2
< < π
0 x
3 =
cosx X si avrà
Sostituendo alla funzione goniometrica
+ κ + κ − =
2
X X 2 0
2
< < π
0 x
3
2
< < π
cosx
0 x
risolvendo la limitazione per otterremo:
3
+ κ + κ − =
2
X X 2 0
1
− < <
X 1
2
dalla limitazione otteniamo le ascisse dei punti A e B che delimitano l’arco da prendere in
1
−
considerazione dunque A di ascissa e B di ascissa 1.
2
Tornando al sistema, associa alla forma indicata, l’equazione di una parabola con vertice
= 2
Y X
nell’origine degli assi ottenuta sostituendo ottenendo quindi il sistema:
= 2
Y X
κ κ
+ + − =
2 0
Y X
1
− < <
1
X
2
la prima equazione rappresenta come già detto una parabola con vertice nell’origine degli
assi, la seconda un fascio di rette proprio, la terza è una limitazione. κ
Considerando la seconda equazione, bisogna trovarne le generatrici, dunque raccogliendo
otterremo: ( )
− + κ + =
Y 2 X 1 0
= − = =
⇒
k 0 Y 2 0
; Y 2 dunque il centro del fascio avrà coordinate C(-1;2)
= ∞ + = = −
⇒
k X 1 0
; X 1
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Pagina 44 1
−
Ricordando che le ascisse dei punti A e B sono rispettivamente e 1. Per trovare le
2 = 2
Y X
rispettive ordinate teniamo in considerazione la prima equazione dunque i punti
1 1 ( )
−
A B 1
;
1
;
avranno coordinate
2 4
Rappresentando graficamente l’intero sistema e i punti A e B dell’arco da prendere in
considerazione avremo:
y
C
A B x ( )
− −
C 1
; 2
1 1
−
A ;
2 4
( )
B 1 1
; κ assume quando passa
Imponendo ora al fascio il passaggio per A e B otterremo i valori che
per questi punti. Dunque:
1 1
+ κ + κ − = −
Y X 2 0 A ;
considerando la retta: ed il punto si avrà:
2 4
1
1
+ − κ + =
2 0
4 2
= − κ + κ − =
1 2 4 8 0
7
= κ − = κ =
⇒
2 7 0 2 ( )
+ κ + κ − =
Y X 2 0 B 1
;
1
considerando la retta: ed il punto si avrà:
+ κ + κ − =
1 2 0 1
κ − = κ =
⇒
2 1 0 2
1
κ <
per l’equazione non avrà soluzioni, non passando dentro l’arco
2
κ = 0
per l’equazione non avrà soluzione
7 1
< κ < l’equazione avrà una sola soluzione
per 2 2
7
κ >
per l’equazione non avrà soluzione, non passando dentro l’arco
2
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Pagina 45 7
7
κ =
per l’equazione non avrà soluzione perché è escluso.
2 2
EQUAZIONI OMOGENEE O RICONDUCIBILI AD OMOGENEE DI 2°
sen x cosx
E
GRADO IN
− κ + − κ =
2
sen x sen x cos x 2 0
π
< <
0 x
4 2 2
sen x cos x
Esprimendo (e se ci fosse il ) in funzione lineare di 2x mediante le note
formule di bisezione, avremo:
+
− 2 x
cos x cos
1 2 1
=
=
2 2 x
sen x cos
2 2
e trasformando mediante le formule di duplicazione avremo:
1
=
sen x cos x sen 2 x
2
Con tali condizioni le limitazioni diverranno
π π
< < < <
⇒
0 2 x 0 2 x
4 2
dunque l’equazione assumerà forme:
− κ
2
1 cos x − + − =
sen x k
2 2 0
2 2
+ κ − + κ =
cos 2 x sen 2 x 5 2 0
la data equazione implica il seguente sistema:
E
QUAZIONI LINEARI
Data l’equazione
+ + =
asinx b cos x c 0
+
2 2
a b otteniamo:
dividendo per
a b c
+ + =
sinx x
cos 0 (1)
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b a b a b
Poniamo
a b
=κ = h
e
+ +
2 2 2 2
a b a b
si ha:
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Pagina 46
2 2
b
a
+ κ = + =
2 2
h 1
+ +
2 2 2 2
a b a b
Essendo
a b
≤ ≤
1 1
e
+ +
2 2 2 2
a b a b
possiamo porre
= = ϕ
k cosϕ h sin
cioè a b
= = ϕ
cosϕ sin
+ +
2 2 2 2
a b a b
Sostituendo nella (1), otteniamo c
ϕ + ϕ + =
sinx cos cos xsin 0
+
2 2
a b
cioè c
( )
+ ϕ = −
sin x +
2 2
a b
Ponendo
+ ϕ =
x z
avremo c
= −
sinz +
2 2
a b
= +
2 2
A a b
Posto si ha
( )
+ ϕ = −
Asin x c
=
c 0
Se otteniamo
( )
+ ϕ =
Asin x 0
Esempio + =
3
sin 4 x cos 4 x 1
Poniamo
= α
4x
Si ha:
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Pagina 47
+ α =
3
sinα cos 1
e quindi
= =
a 3 b 1
per cui
+ =
2 2
a b 2
otteniamo
3 1 1
+ α =
sinα cos
2 2 2
Inoltre
3 1
= =
cosϕ sinϕ
2 2
e quindi
π
ϕ = 6
L’equazione diviene
π π 1
α + α =
sin cos cos sin
6 6 2
cioè π
1
α + =
sin
6 2
Avremo quindi
π
1
α + =
sin
1)
6 2
α = κπ
2
essendo
= α
4x otteniamo
= κπ
4 x 2
π
=κ
x 2
π π
5
α + = + κπ
2
2) 6 6
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Pagina 48
π π
5
α = − + κπ
2
6 6
π
2
α = + κπ
2
3
cioè π
2
= + κπ
4 x 2
3
π π
= + κ
x 6 2
+ κ − + κ =
cos 2 x sen 2 x 5 2 0
π
< <
0 2 x
2 + = = =
2 2
sen 2 x cos 2 x 1 cos2x Y sen 2x Y
Associando l’identità e ponendo e il
sistema assumerà forma
+ κ − + κ =
X Y 5 2 0
+ =
2 2
X Y 1
< < < <
;
0 X 1 0 Y 1
la prima equazione rappresenta un fascio proprio di rette, la seconda la circonferenza
( )
AB A 1
;
0
goniometrica, le limitazioni determinano su di essa l’arco , aventi estremi ;
( )
B 0
;
1 κ
Considerando la seconda equazione, bisogna trovarne le generatrici, dunque raccogliendo
otterremo:
( )
− + + κ =
X 5 Y 2 0
κ = − = =
⇒
0 X 5 0
; X 5
per κ = ∞ + = = −
⇒ Y 2 0
; Y 2
per ( )
C 5
;− 2
dunque il centro del fascio avrà coordinate:
Rappresentando graficamente l’intero sistema i punti A e B dell’arco da prendere in
considerazione avremo:
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Pagina 49
−
10 2 7
κ = 3
5
κ = 3
κ = 2 B A
+
10 2 7
κ = 3 κ
Imponendo ora al fascio il passaggio per A e per B otterremo i valori che assume quando
passa per questi punti, dunque: ( )
− κ + κ =
X 5
Y 2 0 A 1
;
0
considerando la retta: ed il punto si avrà:
− + + κ =
1 5 0 2 0
κ =
2 4
4
κ= =
⇒ K 2
2 EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD OMOGENEE
Un’equazione è riconducibile ad omogenea quando ha la seguente forma:
+ + + =
2 2
a sen x b sen x cos x c cos x d 0
È riconducibile ad un’equazione omogenea di 2° grado moltiplicando il termine d per
( )
+
2 2
sen x cos x
dunque otterremo: ( )
+ + + + =
2 2 2 2
a sen x b sen x cos x c cos x d sen x cos x 0
dunque sommando:
( ) ( )
+ + + + =
2 2
a d sen x b sen x cos x c d cos x 0
assumendo così la forma di un’equazione omogenea di 2° grado risolvibile pertanto con lo
2 2
cos x sen x
stesso metodo, cioè dividendo l’intera equazione per o :
( ) ( )
+ + + + =
2
a d tg x btgx c d 0
Esempio:
( ) ( )
+ + + − − =
2 2
3 3 sen x 2 cos x 3 1 sen x cos x 3 0
( )
+
2 2
3 sen x cos x
moltiplicando otterremo:
( ) ( ) ( )
+ + + − − + =
2 2 2 2
3 3 sen x 2 cos x 3 1 sen x cos x 3 sen x cos x 0
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Pagina 50
( )
+ − − =
2 2
3 sen x 3 1 sen x cos x cos x 0
cosx
dividendo l'intera equazione per otterremo:
( )
+ − − =
2
3
tg x 3 1 tgx 1 0
( ) ( )
2 2
∆= − + = +
3 1 4 3 3 1
− + − −
3 1 3 1
( ) = −
1
− + ± +
3 1 3 1 2 3
=
tgx − + + +
2 3 3 1 3 1 1 3
= = 3
2 3 3 3
3
= −1 = π = π + κπ
⇒
tgx tgx x
le due soluzioni saranno 1) 4 4
π π
3
= = = + κπ
⇒
tgx tgx x
2) 2 6 6
( )
− κ + κ =
x 5 y 2 0 B 0
;
1
considerando la retta: ed il punto si avrà:
− + κ + κ =
0 5 2 0
5
κ = =
⇒
3 5 k 3
Imponendo alla medesima retta la condizione di tangente mediante la distanza di un punto da
una retta avremo:
+ +
ax by c
( ) = 0 0
d P
; r +
2 2
a b ( ) + κ − + κ =
P 0
;
0 x y 5 2 0
considerando il punto e la retta , avremo:
( )
− κ
5 2
( ) = =
d P
; r 1
+ κ 2
1
sviluppando otterremo:
( )
− κ = + κ
2 2
5 2 1
+ κ − κ = + κ
2 2
25 4 20 1
κ − κ + =
2
3 20 24 0
∆ = − = =
100 72 28 2 7
±
10 2 7
κ= 3
Osservando la figura si deducono le seguenti soluzioni:
5 ≤ κ < 2
per l’equazione avrà una sola soluzione
3
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Pagina 51
−
10 2 7 5
≤ κ <
per l’equazione avrà due soluzioni
3 3
5
κ =
per l’equazione non ammette soluzioni
3
=
k 0
per l’equazione non ammette soluzioni.
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Pagina 52
DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Disequazioni goniometriche elementari: <
>
sen x m
Si definisce disequazione goniometrica elementare ed ha la forma dove m è un
− ≤ ≤ − ≤ ≤
1 sen x 1 1 cosx 1
qualsiasi numero reale poiché e , una disuguaglianza fra due
espressioni goniometriche che viene definita per alcuni valori che si attribuiscono agli angoli.
N° 1
Esempi di disequazioni goniometriche elementari sono: (1° METODO)
1
> −
sen x 2
Risolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata
1
−
maggiore di 2
associando l’equazione:
1
= −
sen x 2
trovando le soluzioni di tale equazione (che rappresentano gli estremi degli archi), che sono:
π
7
= π + κπ = − + κπ
x 2 x 2
e
6 6 1
−
P P
rappresentando graficamente i punti e di ordinata otterremo:
1 2 2
y x
P P
1 2
π
7 1
π −
6 2 6
Come è facile vedere dal grafico, la disequazione risulterà verificata per
π 7
− + κπ < < π + κπ
2 x 2
6 6
N° 1 (2° Metodo)
Tale metodo permette di risolvere una disequazione goniometrica tramite l’uso delle
rappresentazioni sinusoidali e cosinusoidali delle funzioni senx e cosx. Tale metodo è
comunque poco usato nelle risoluzioni di disequazioni non elementari.
1
> −
sen x 2
ponendo la seguente condizione
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Pagina 53
=
sen
y x
1
> −
y
2
la prima identità rappresenta la funzione seno che ha come grafico la sinusoide, la seconda
1
= −
y
cui va associata l’equazione rappresenta una retta parallela all’asse x.
2
Rappresentando graficamente noteremo che:
y 1
π >−
Y
7
− π 2
6 6 x
1
<−
Y 2
N° 2 2
≥
cosx 2
associando avremo:
2
=
cosx 2
di cui le soluzioni sono:
π
=± + κπ
x 2
4
rappresentando graficamente avremo:
y P π
1 4 x
O π
−
P 4
2 π π
− + κπ ≤ ≤ + κπ
2 x 2
La disequazione come si nota dal grafico avrà per soluzioni 4 4
N° 3 2
≤
cosx 2
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Pagina 54
associando l’equazione avremo:
2
=
cosx 2
di cui le soluzioni sono:
π
=± + κπ
x 2
4
rappresentando graficamente
y P π
1 4 x
O π
−
P 4
2
La disequazione, come si nota dal grafico (e tenuto in considerazione il seno, opposto rispetto
π π
κπ κπ
+ ≤ ≤ − +
2 x 2
all’esempio precedente) avrà per soluzione 4 4
DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI A ELEMENTARI
Sono disequazioni riconducibili ad elementari tutte quelle disequazioni che attraverso
<
>
sen x m
abbassamento di grado o semplificazione assumono la forma
Esempio n° 1
+ − ≥
2
4 cos x 2 cos x 2 0
risolvendo come un equazione di 2° grado, avremo:
∆ = + ∆ >
⇒
4 320 0 − −
2 6 8
= = − 1
− ±
2 36 8 8
= =
cosx − +
2 6 4 1
8 = =
8 8 2
1
≤ −1 ≥
cosx cos
e 2
tali valori rappresentano gli estremi dell’arco da considerare, sono infatti soluzioni
+ − =
2
4 cos x 2 cos x 2 0
dell’equazione associata
Essendo
= − = π + κπ
⇒
cosx 1 x 2
π
1 5
= = + κπ = π + κπ
⇒
cosx x 2 x 2
e
2 3 6
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Pagina 55
Rappresentando graficamente avremo:
y π
P
2 3
P
1
π x
O 5 π
P
3 6
Come si nota dal grafico la disequazione è verificata per
π
5 π + κπ ≤ ≤ + κπ
2 x 2
6 3
{ }
− 1
N° 2
2 − ≤
sin x sinx
7 7 0
2 ≤
sin x sinx
7 7
− ≤
2
sin x sinx 0
( )
− ≤
sinx sinx 1 0
0 1
≥
sinx 0 +
-
+
≥
sinx 1
≤ ∨ ≥
sinx 0 sin 1
= = κπ = π + κπ
⇒
sinx 0 x 2 ; x 2
π π
= = + κπ = + κπ
⇒
sinx 1 x 2 ; x 2
2 2
π
y 2
π x
π
− 2
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Pagina 56
Come è facile vedere dal grafico, la disequazione sarà verificata per
κπ ≤ ≤ π + κπ
2 x 2 cosx
DISEQUAZIONI LINEARI IN E
sinx
Una disequazione lineare generica in senx e cosx avrà forma:
+ + >
asinx b cos x c 0 se c=0 la disequazione è omogenea.
Si possono utilizzare diversi metodi per la risoluzione di tali disequazioni.
Si ricordi che i tre metodi che andremo a trattare sono uguali a quelli utilizzati per la
risoluzione di una equazione lineare.
1° metodo (si divide l’intera disequazione per uno dei fattori comuni alla disequazione, ossia
senx o cosx) π
≠ ≠ + κπ
cosx 0 x
e dunque una
Tale metodo può essere usato supposto che 2
disequazione del tipo:
+ >
asinx b cos x 0
cosx
dividendo per avrà forma:
+ >
atgx b 0
Esempio: 3
− >
sinx cos x 0
3 cosx
dividendo per otterremo:
− >
3
tgx 3 0
3
>
tgx 3 π π
2 6 x
π π
κπ κπ
+ < < +
x
6 2
Esempio:
− ≤
sinx 3 cos x 0
− ≤
tgx 3 0
≤
tgx 3
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Pagina 57
=
tgx 3 π 3
3
4 π
3
π 4
κπ π κπ
+ < < +
x
3 3
2° metodo (Risoluzione con formule parametriche) π
x ≠ + κπ ≠ π + κπ
tg x 2
Tale metodo può essere utilizzato supposto che e .
2 2
Si ricordino nuovamente le formule parametriche del seno e del coseno(che ormai dovrebbero
essere note) che sono: − 2
1 t
2
t x x =
= = =
2 2 ; cos x
sen x t tg ; t tg +
+ 2
2 1 t
1 t 2 2
Esempio
+ + <
snex cos x 1 0
sostituendo otterremo
− 2
t t
2 1
+ + <
1 0
+ +
2 2
1 t 1 t
attraverso vari calcoli otterremo le 2 soluzioni:
3
π + κπ < < π + κπ
2 x 2
2
N.B. Si ricordi che tale metodo prevede numerosi passaggi, è pertanto poco usato,
consigliamo pertanto l’utilizzazione del metodo grafico.
3° Metodo (Metodo grafico)
Una equazione lineare in senx e cosx può essere risolta attraverso il metodo che consente
graficamente di trovare le soluzioni.
Tale metodo consiste (come nelle equazioni) nel porre:
=
cosx X
=
sen x Y
dando così alla disequazione la forma:
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Pagina 58
<
+ + >
X Y c 0
associando a questa l’equazione di una circonferenza goniometrica, dunque:
+ =
2 2
X Y 1
otterremo un sistema del tipo:
<
+ +
X Y c 0
>
+ =
2 2
X Y 1
le soluzioni del sistema che sono rappresentate graficamente, daranno le soluzioni
dell’equazione.
N.B. Si ricorda che tale metodo è il più usato ed il più semplice nella risoluzione di
un’equazione di tale tipo.
Esempi:
+ − >
cosx 3
sinx 3 0
=
cos x X
ponendo: =
sen x Y
e associando la circonferenza goniometrica otterremo un sistema del tipo:
+ − >
X Y
3 3 0
+ =
2 2
X Y 1
sviluppando la disequazione come un’equazione otterremo:
= − = −
X Y X Y
3 3 3 3
+ − + = − + =
2 2 2
Y Y Y Y Y
3 3 6 1 4 6 2 0
= −
X Y
3 3
− + =
2
Y Y
2 3 1 0
= −
X Y
3 3
1
±
3 1
= =
Y
2
4
1
3 1
( )
A 0
;
1 B ;
;
otterremo così le coordinate dei due punti:
2 2
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Pagina 59
A π
B 6
La soluzione dell’equazione è data dai due punti A e B.
Dunque:
π π
κπ κπ
+ < < +
2 x 2
6 2
Esempio n° 2 =
cos x X
− >
sinx 3 cos x 0 =
sen x Y
− >
3 0
Y X
+ =
2 2
1
X Y = 3
Y X
= =
3 3
Y X Y X
1
=
+ = = 2
2 2 2
X
3 1 4 1
X X X 4
= 3
Y X
1
= ±
X
2
3 3
= − =
Y Y
2 2
∪
1 1
= − =
X X
2 2
1 3 1 3
− −
A B
; ;
2 2 2 2
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Pagina 60
π
3 B
A 4 π
3
Le soluzioni, come si nota dal grafico, sono:
π 4
κπ π κπ
+ < < +
2 x 2
3 3
Esercizio n° 3
− ≥
3
sin 2 x cos 2 x 0
=
sin 2 x Y
ponendo: =
cos 2 x X
− ≥
= =
3
Y X 0 X 3
Y X 3
Y
+ =
+ = =
2 2 2 2 2
X Y 1
3
Y Y 1 4 Y 1
= =
X 3
Y X 3
Y
1 1
= = ±
2
Y Y
4 2
3 3
= = −
X X
2 2
∪
1 1
= = −
Y Y
2 2
otteniamo così due punti:
3 1
3 1 − −
A B ;
;
2 2
2 2
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Pagina 61
A π
6
B
7 π
6
Le soluzioni saranno:
π 7
κπ π κπ
+ < < +
2 2 x 2
6 6
Quindi:
π 7
κπ π κπ
+ < < +
2 x 2
12 12
RISOLUZIONI DI DISEQUAZIONI FRATTE
N° 1 −
2
tg x tgx < 0
−
x x
3 sen 3 cos
Numeratore:
− > ∆ = ∆ >
⇒
2
tg x tgx 0 1 0
± 0
1 1
= =
tgx 1
2 ] [ ] [
∈ − ∞ +∞
∪
x ;
0 1
;
la disequazione è verificata per intervalli esterni, dunque
rappresentando ora sulla circonferenza goniometrica avremo:
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Pagina 62
1 π
4
O 0
5 π
4 >
tgx 1
<
tgx 0
π 5
+ < < + ∨ + < <
κπ π κπ π κπ κπ
x x
le soluzioni del numeratore sono dunque: 4 4
Denominatore:
− > = =
3 sen x 3 cos x 0 sex Y cosx X
risolvendo col metodo grafico
3
=
Y X
− =
3
Y 3
X 0 3
+ =
2 2 1
X Y 1 + =
2 2
X X 1
3
3
=
3
Y X
=
Y X 3
3
3
= = ±
2
4 3
X X
2
1 1
= − =
Y Y
2 2
∪
3 3
= − =
X X
2 2
3 1 3 1
− −
A ; B ;
2 2 2 2
rappresentando il denominatore graficamente, avremo:
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Pagina 63
π
6
7 π
6 π 7
+ < < +
κπ κπ
2 x 2
La soluzione del denominatore è: 6 6
Rappresentando numeratore e denominatore graficamente, otterremo:
π
+ 4 π
-
+ + 6
-
7 π + -
6 -
5 π
4
Le soluzioni della disequazione sono dunque:
π π 7 5
+ < < + ∨ + < < + ∨ + < <
κπ κπ π κπ π κπ π κπ κπ
2 x 2 2 x 2 2 x 2
6 4 6 6
N° 2 +
2
2 sen x 1 < 0
2
cos x
Numeratore:
+ > ∆<
2
2 sen x 1 0 0
la disequazione risulterà pertanto sempre verificata
Denominatore:
>
cos2 x 0
− >
2 2
cos x sen x 0
2
cos x otterremo:
dividendo per
− < <
1 tgx 1
rappresentando l’intera disequazione graficamente otterremo:
DESCRIZIONE APPUNTO
Appunti di Matematica per le applicazioni I sulla trigonometria. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: le curiosità sulle funzioni arcotangente e logaritmo, la formula di sottrazione degli archi, il teorema del coseno (o di Carnot), ilteorema dei seni.
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le applicazioni I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Gori Franco.
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