Trigonometria

Trigonometria

ovvero “misura di triangoli” nota fino dagli antichi greci, anche se le funzioni trigonometriche furono scoperte solo più tardi in India e Medio Oriente.

Misura degli angoli

In 2D (angoli piani)

θ = _l/_r grandezza adimensionale

angolo giro: _2πr/_r = 2π

In 3D (angoli solidi)

settore di una sup. sferica centrato in O

θ = _S/_r²

_4πr²/_r² = 4π

La misura degli angoli è necessaria per la descrizione dei poligoni e dei poliedri e, più in generale, per la misura dello spazio multidimensionale.

Trigonometria

: ovvero "misura di triangoli" nota fino dagli antichi greci, anche se le funzioni trigonometriche furono scoperte solo più tardi in India e Medio Oriente.

Misura degli angoli

In 2D (angoli piani)

₂^l ₂ Θ = ^l/_r grandezza adimensionale arco di angolo giro: ^2πr/_r= 2π circonferenza centrato O

In 3D (angoli solidi)

S

settore di una superficie sferica centrato in O

O _r Θ = ^S/_r²

^4πr2/_r² = 4π

La misura degli angoli è necessaria per la descrizione dei poligoni e dei poliedri e, più in generale, per la misura dello spazio multidimensionale.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni fondamentali sin θ e cos θ sono definite come le proiezioni sugli assi cartesiani di un vettore di lunghezza unitaria O, più in generale come il rapporto tra proiezioni e lunghezza del vettore.

Da questa semplice definizione geometrica se ne deducono tutte le proprietà:

1. sin θ e cos θ sono funzioni periodiche con periodo 2π; sono f. adimensionali e [-1, 1].
2. Data la simmetria del problema, si può pensare dall’una all’altra con uno spost. dell’argomento degli angoli:
   • cos(θ) = sin(θ ± π/2)
   • sin(θ) = cos(θ ± π/2)
3. Dato il Teo. di Pitagora, allora vale:
   • sin²θ + cos²θ = 1

Da queste proprietà si possono ricavare valòri per alcuni angoli notevoli:

• θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2
• sin θ 0 1/2 √2/2 √3/2 1

ad esempio:

θ = π/4

per ovvia simmetria:

sin π/4 = cos π/4

ma sin² θ + cos² θ = 1

⇒ 2 sin² π/4 = 1 ⇒ sin π/4 = √2/2

ancora:

θ = π/3

per simmetria:

sin π/6 = cos π/3

cos π/6 = sin π/3

applicando le formule di duplicare

{sin π/3 = 2 sin π/6 cos π/6

cos π/3 = 1 - 2 sin² π/6 = 1 - 2 cos² π/6 = 1

si trova sin π/6 = 1 - 2 sin² π/6 ⇒ sin π/6 = 1/2

e dall'ovvio sin² θ + cos² θ = 1 ⇒ cos² π/6 = 1 - 1/4 = 3/4 ⇒ cos π/6 = √3/2

le funzioni sono tabulate e ben note:

esiste poi una terna fumica:

tanθ = _sinθ/_cosθ è il rapporto tra i due cateti del triangolo rettangolo

rappresentazione grafica

le f. trigonometriche hanno una simmetria ben definita:

sin(-θ) = -sinθ dispari

cos(-θ) = cosθ pari

tan(-θ) = -tanθ dispari

Si può dimostrare geometricamente una regola di somma di angoli:

quindi:

sin(α+β) = sinα cosβ + sinβ cosα

cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ

Da queste deriviamo le formule di duplicazione e bisezione:

• sin(2α) = 2sinα cosα
• cos(2α) = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

• cos²(^α/₂) = (cosα + 1)/2
• sin²(^α/₂) = (1 - cosα)/2

Si possono trovare regole analoghe per la tangente.

Altre relazioni importanti sono le cosiddette formule di

de servono per trasformare somme di sinusoidali in prodotti, e de hanno un uso frequente in fisica (interferenza, battimenti, etc.)

• ^sin_d + sin_β = 2 sin ^(d+β)/₂ cos ^(d-β)/₂
• cos_d + cos_β = 2 cos ^(d+β)/₂ cos ^(d-β)/₂

Entrambe si dimostrano facilmente con quanto trovato fino ad ora. Ad esempio:

2 sin ^(d+β)/₂ cos ^(d-β)/₂ = 2 [sin_d cos_β + sin_β cos_d]

x [cos ^β/₂ cos^d/₂ + sin^d/₂ sin ^β/₂] =

= 2 [cos^{2 β}/₂ sin_d cos_d + sin^d/₂ cos^β/₂ + cos^{2 d}/₂ sin_β cos_β +

+ sin^{2 β}/₂ cos_d sin_d/₂] = 2 sin_d cos_d + 2 sin_β cos_β =

= sin_d + sin_β

Le f. trigonometriche si applicano alla

risoluzione dei triangoli.

Teorema dei seni

Teorema del coseno

(o di Carnot)

(generalizzazione del teorema di

Pitagora)

Geometricamente è possibile definire la derivata delle funzioni trigonometriche.

x d è piccolo l'arco è uguale alla corda, e l'angolo al vertice superiore è .

Risolvendo il triangolo:

• d = d
• -d = d

⇒

• _d/_d =
• _d/_d = -

Derivata prima

Derivando ancora:

• ^{d^2 sin}/_d^2= -
• ^{d^2 cos}/_d^2 = -

La der. seconda delle funzioni trig. è uguale a meno la funzione stessa.

Queste proprietà si possono derivare direttamente anche dalla forma complessa delle f. trigonometriche

Euler, c. 1750

\( e^{i\Theta} = \cos\Theta + i \sin\Theta \)

\( \cos\Theta = \text{Re} \left[ \frac{e^{i\Theta} + e^{-i\Theta}}{2} \right] \)

\( \sin\Theta = \text{Re} \left[ \frac{e^{i\Theta} - e^{-i\Theta}}{2i} \right] \)

Si ricordi infatti che la funz. esponenziale ha la derivata uguale a se stessa:

\( \frac{d e^x}{dx} = e^x \)

Le sinusoidi sono la soluzione generale dell'eq.

\( \frac{d^2 f(x)}{dx^2} = -A f(x) \)

Esempi notevoli in Fisica:

1. moto in presenza di una forza elastica:

\( m \frac{d^2 x}{dt^2} = -kx \)

2. equazione delle onde:

\( \frac{\partial^2 F(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 F(x,t)}{\partial t^2} \)

Inoltre, le funzioni trigonometriche sono alla base della trasformata di Fourier