Trigonometria

Trigonometria

ovvero "misura di triangoli"

nota fino dagli antichi Greci, anche se le funzioni trigonometriche

furono scoperte solo più tardi in India e Medio Oriente.

Misura degli angoli

In 2D (angoli piani)

θ = _l/_r grandezza adimensionale

arco di circonferenza contata in O

angolo giro: _2πr/₂ = 2π

In 3D (angoli solidi)

settore di una sup. sferica

contata in O

θ = _S/_r²

_4πr²/_r² = 4π

La misura degli angoli è necessaria per la

descrizione dei poligoni e dei poliedri e, più in

generale, per la misura dello spazio multidimensionale.

Funzioni trigonometriche

Le funzioni fondamentali sin θ e cos θ sono definite come le proiezioni sugli assi cartesiani di un vettore di lunghezza unitaria, o, più in generale, come il rapporto tra proiezioni e lunghezza del vettore.

Da questa semplice definizione geometrica se ne deducono tutte le proprietà:

1. Sin θ e cos θ sono funzioni periodiche con periodo 2π; sono f. adimensionali e [−1, 1].
2. Data la simmetria del problema, si può passare dall’una all’altra con uno spost. dell’origine degli angoli:
   • cos(θ) = sin(θ + π/2)
   • sin(θ) = cos(θ − π/2)
3. Dato il Teo. di Pitagora, allora vale:
   • sin²θ + cos²θ = 1

Da queste proprietà si trovano relazioni tra i valori per alcuni angoli notevoli:

• θ: 0, π/6, π/4, π/3, π/2
• sin θ: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1
• cos θ: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0

Altre relazioni importanti sono le cosiddette formule di prostaferesi, che servono per trasformare somme di sinusoidali in prodotti, e che hanno un uso frequente in Fisica (interferenza, battimenti, etc.)

.₂(₊)cos(_-) = 2 sin₂cos(_-)

cos+cos = 2cos(₊)cos(_-)

Entrambe si dimostrano facilmente con quanto trovato fino ad ora. Ad esempio:

2 sin(₊)cos(_-) = 2[sin₂cos₂+sin₂cos₂] x

    x (cos₂cos₂+sin₂sin₂) =

    = 2 (²sin₂cos₂ + sin²cos₂sin₂ + cos²sin₂cos² +

        + sin²cos₂sin₂) = 2sin₂cos₂ + 2 sin₂cos₂ =

= sin + sin