Trasmissione del calore - Raffreddamento corpo

Scambio termico di un corpo in un ambiente fluido

Consideriamo un corpo di forma qualsiasi all'interno di un ambiente fluido infinitamente esteso. All'istante di tempo τ = 0, le temperature del corpo e dell'ambiente saranno rispettivamente T e T₀ con T₀ < T. Data l'estensione infinita dell'ambiente, la sua capacità termica avrà un valore infinito, a differenza di quella del corpo: poiché la capacità termica rappresenta la riluttanza che un corpo ha nei confronti della modifica della propria temperatura, l'ambiente sostanzialmente non modifica il proprio stato termico mentre il corpo si porta a temperatura T₀.

Con il trascorrere del tempo, la temperatura del corpo diminuisce: diminuisce quindi la differenza T – T₀ e, poiché è questa la causa dello scambio termico, diminuisce sempre più anche il raffreddamento. Analiticamente ciò si traduce in una curva di tipo esponenziale decrescente in cui la temperatura del corpo tende asintoticamente a quella dell'ambiente (in realtà il tempo per raggiungere l'equilibrio è finito).

Equazione di Fourier e distribuzione della temperatura

Tutto questo è vero soltanto se il corpo modifica uniformemente nello spazio la propria temperatura. La superficie del corpo, essendo a diretto contatto con l'ambiente, tende a raffreddarsi più rapidamente rispetto al centro. All'interno del corpo, quindi, dovrei avere un'espressione della T regolata dall'equazione di Fourier:

∇² T = (1/α) *(∂T/∂τ)

La soluzione di questa equazione risulta molto complessa, ma, se all'interno del corpo non vi sono gradienti di temperatura, o meglio, se tali gradienti sono trascurabili, posso saltare l'equazione di Fourier. È, dunque, necessario valutare l'ordine di grandezza di T_c – T_s (rispettivamente temperatura al centro del corpo e sulla sua superficie) per vedere se questo è trascurabile rispetto a T – T₀.

Abbiamo che (T_c – T_s)/(T – T₀) presenta lo stesso ordine di grandezza di h L/K. Quest'espressione è molto simile al parametro adimensionale Nusselt: in realtà, in questo caso k rappresenta una caratteristica del corpo mentre nel Nu consideriamo il k del fluido. Possiamo, allora, scrivere:

ɛ = h L/k

Determinazione della dimensione caratteristica

La grandezza caratteristica da considerare varia in base alla forma del corpo: se il corpo ha forma compatta, L è pari al raggio; se, invece, il corpo è allungato, possiamo sostituire a L il raggio del cilindro che raccoglie il corpo.

In generale, se il corpo presenta una forma varia, abbiamo che L è pari al rapporto tra il suo volume e la sua superficie. . Se ɛ << 1, il corpo può essere considerato a temperatura uniforme.